108 年 國立成功大學土木工程系碩士班丙組《工程材料學》

本題主要考驗對金屬材料應力-應變曲線的理解，包含彈性模數、降伏強度（以 0.2% 證明應力定義）以及彈性應變與塑性應變的計算。

核心觀念：

• 楊氏模數 (Young's Modulus, $E$): 材料在彈性範圍內的應力與應變成正比的斜率，即 $E = \frac{\Delta\sigma}{\Delta\epsilon}$。
• 降伏強度 (Yield Strength, $\sigma_y$): 材料開始發生顯著塑性變形時的應力值。在工程上，常用 0.2% 證明應力 (0.2% proof stress) 來定義降伏強度，也就是在應變為 0.002 (或 0.2%) 時的應力值。
• 彈性應變 (Elastic Strain): 應力移除後會完全恢復的應變。
• 塑性應變 (Plastic Strain): 應力移除後無法完全恢復的永久變形。總應變等於彈性應變加上塑性應變。

解題步驟：

(a) 楊氏模數與 0.2% 證明應力

1. 楊氏模數 ($E$)：
   從圖中可以看出，在應力-應變曲線的初始階段（彈性區），應力與應變近似成線性關係。我們需要找出這段直線的斜率。
   觀察圖形，可以選擇兩個點來計算斜率。例如，選擇原點 (0, 0) 和曲線上的一個點。
   在應變 $\epsilon \approx 0.002$ 時，應力 $\sigma \approx 50$ MPa。
   因此，楊氏模數 $E = \frac{\sigma}{\epsilon} = \frac{50 \text{ MPa}}{0.002} = 25,000 \text{ MPa} = 25 \text{ GPa}$。
   或者，選擇應變 $\epsilon \approx 0.004$ 時，應力 $\sigma \approx 100$ MPa。
   $E = \frac{100 \text{ MPa}}{0.004} = 25,000 \text{ MPa} = 25 \text{ GPa}$。
   從圖中讀取精確值可能有些許誤差，但大致範圍是 25 GPa。

2. 0.2% 證明應力：
   0.2% 證明應力定義為當總應變為 0.2% (即 $\epsilon = 0.002$) 時的應力值。
   從圖中，當 $\epsilon = 0.002$ 時，對應的應力 $\sigma$ 約為 50 MPa。
   因此，0.2% 證明應力約為 50 MPa。

【答案】(a) 楊氏模數約為 25 GPa，0.2% 證明應力約為 50 MPa。

(b) 總應變為 3% 時的塑性應變

1. 總應變與彈性/塑性應變的關係：
   總應變 ($\epsilon_{total}$) = 彈性應變 ($\epsilon_{elastic}$) + 塑性應變 ($\epsilon_{plastic}$)

2. 判斷應變 3% 屬於哪個區域：
   總應變為 3% 即 $\epsilon_{total} = 0.03$。

本題主要考驗對粒料篩分析試驗結果的處理能力，包含計算通過率、繪製級配曲線以及計算細度模數。

核心觀念：

• 篩分析 (Sieve Analysis): 測定粒料（骨材）粒徑分佈的方法，透過一系列不同孔徑的篩網，將粒料依尺寸大小分類。
• 通過率 (Percent Passing): 指通過某一篩網的粒料重量佔總粒料重量的百分比。
• 級配曲線 (Grading Curve): 以對數尺度的篩孔尺寸為橫座標，通過率（或累積通過量）為縱座標所繪製的曲線，用來表示粒料的級配情況。
• 細度模數 (Fineness Modulus, FM): 一個用於表示細骨材（砂）粗細程度的經驗數值，計算方法是將特定標準篩網上累積保留的粒料重量百分比加總。

解題步驟：

首先，我們需要計算篩分析試驗的總重量。
總重量 = $\sum$ (Amount retained)
總重量 = 0 + 38.7 + 36.8 + 77.5 + 127.8 + 164.6 + 174.3 + 141.4 + 105.6 + 67.8 + 33.9 = 968.4 g

(a) 計算通過率與繪製級配曲線

1. 計算累積保留量 (Cumulative Retained Amount)：
   從較大的篩孔尺寸開始，累積前一篩孔的保留量加上當前篩孔的保留量。
   Sieve size (mm) | 12.5 | 9.5 | 4.75 | 2.36 | 1.18 | 0.60 | 0.425 | 0.3 | 0.15 | 0.075 | pan
   Amount retained (g) | 0 | 38.7 | 36.8 | 77.5 | 127.8 | 164.6 | 174.3 | 141.4 | 105.6 | 67.8 | 33.9
   Cumulative retained (g) | 0 | 38.7 | 38.7+36.8=75.5 | 75.5+77.5=153.0 | 153.0+127.8=280.8 | 280.8+164.6=445.4 | 445.4+174.3=619.7 | 619.7+141.4=761.1 | 761.1+105.6=866.7 | 866.7+67.8=934.5 | 934.5+33.9=968.4

2. 計算通過率 (Percent Passing)：
   通過率 (%) = $100\% \times \frac{\text{Total Weight} - \text{Cumulative Retained Weight}}{\text{Total Weight}}$
   總重量 = 968.4 g

   Sieve size (mm)	Cumulative retained (g)	Percent Retained (%)	Percent Passing (%)
   12.5	0	0.0	100.0
   9.5	38.7	$38.7/968.4 \times 100\% \approx 4.0\%$	$100.0 - 4.0\% = 96.0\%$
   4.75	75.5	$75.5/968.4 \times 100\% \approx 7.8\%$	$100.0 - 7.8\% = 92.2\%$
   2.36	153.0	$153.0/968.4 \times 100\% \approx 15.8\%$	$100.0 - 15.8\% = 84.2\%$
   1.18	280.8	$280.8/968.4 \times 100\% \approx 29.0\%$	$100.0 - 29.0\% = 71.0\%$
   0.60	445.4	$445.4/968.4 \times 100\% \approx 46.0\%$	$100.0 - 46.0\% = 54.0\%$
   0.425	619.7	$619.7/968.4 \times 100\% \approx 64.0\%$	$100.0 - 64.0\% = 36.0\%$
   0.3	761.1	$761.1/968.4 \times 100\% \approx 78.6\%$	$100.0 - 78.6\% = 21.4\%$
   0.15	866.7	$866.7/968.4 \times 100\% \approx 89.5\%$	$100.0 - 89.5\% = 10.5\%$
   0.075	934.5	$934.5/968.4 \times 100\% \approx 96.5\%$	$100.0 - 96.5\% = 3.5\%$
   pan	968.4	$968.4/968.4 \times 100\% = 100.0\%$	$100.0 - 100.0\% = 0.0\%$

   級配曲線繪製說明：
   繪製級配曲線時，橫座標為篩孔尺寸（通常使用對數尺度），縱座標為通過率百分比。
   將計算出的通過率與對應的篩孔尺寸標示在圖上，然後用平滑曲線連接這些點。

本題考驗對骨材含水率的計算以及在混凝土拌合中自由水的計算。

核心觀念：

• 含水率 (Moisture Content): 材料中水分重量佔其總重量（乾重+水重）的百分比，通常表示為 $w = \frac{W_w}{W_d} \times 100\%$，其中 $W_w$ 是水的重量，$W_d$ 是乾材料的重量。
• 飽和面乾 (Saturated Surface Dry, SSD): 材料的孔隙被水充滿，但其表面沒有自由水附著的狀態。SSD 狀態下的含水率是定義混凝土拌合水用量時的重要參考。
• 自由水 (Free Water): 指材料表面附著的水，或材料孔隙中超出 SSD 狀態的水。在混凝土拌合設計中，需要考慮骨材帶入的水量，以調整拌合用水量。

解題步驟：

首先，我們需要從給定的數據中計算出乾骨材的重量和水的重量。
乾骨材重量 = (Weight of wet sample+tray) - (Weight of the tray)

計算乾骨材重量：

• Fine aggregate: $W_{d, \text{fine}} = 1040 \text{ g} - 208 \text{ g} = 832 \text{ g}$
• Coarse aggregate: $W_{d, \text{coarse}} = 1533 \text{ g} - 206 \text{ g} = 1327 \text{ g}$

計算水的重量：
水的重量 = (Weight of wet sample+tray) - (Weight of dry sample+tray)

• Fine aggregate: $W_{w, \text{fine}} = 1040 \text{ g} - 1005 \text{ g} = 35 \text{ g}$
• Coarse aggregate: $W_{w, \text{coarse}} = 1533 \text{ g} - 1516 \text{ g} = 17 \text{ g}$

(a) 計算含水率

含水率 (Moisture Content, MC) 的計算公式為：
$MC = \frac{\text{Weight of water}}{\text{Weight of dry aggregate}} \times 100\%$

1. Fine aggregate 的含水率：
   $MC_{\text{fine}} = \frac{W_{w, \text{fine}}}{W_{d, \text{fine}}} \times 100\% = \frac{35 \text{ g}}{832 \text{ g}} \times 100\% \approx 4.21\%$

2. Coarse aggregate 的含水率：

本題為綜合題，涵蓋了鋼鐵材料學、材料力學、材料測試與結晶學等內容。

核心觀念：

• 鋼鐵相圖: 了解共析鋼 (eutectoid steel) 的組成，以及低於 (hypoeutectoid) 和高於 (hypereutectoid) 共析點的鋼鐵微觀結構。
• 延性-脆性轉變 (Ductile-to-Brittle Transition): 材料在不同溫度下表現出不同斷裂行為的現象，尤其在低溫時，韌性材料可能轉變為脆性材料。
• 流變儀 (Rheometer): 測量材料流變性質（黏度、彈性模數等）的儀器。動態剪切流變儀 (Dynamic Shear Rheometer, DSR) 專門用於測量材料在動態應力下的響應。
• 金屬結晶結構: 了解體心立方 (BCC) 和面心立方 (FCC) 結構的原子堆積密度，以及如何利用原子半徑、密度和晶格常數來判斷結構。

解題步驟：

(a) 差排鋼與過共析鋼的區別

• 共析鋼 (Eutectoid Steel): 在 Fe-C 相圖上，共析點約在 0.76 wt% C 和 727°C。在緩慢冷卻時，共析鋼會直接由奧氏體 (austenite, γ) 轉變為雪明碳鐵 (cementite, Fe₃C) 和肥粒鐵 (ferrite, α) 的混合物，稱為雪明碳鐵 (pearlite)。
• 差排鋼 (Hypoeutectoid Steel): 指碳含量低於共析點的鋼。其碳含量通常在 0.022 wt% 至 0.76 wt% 之間。
  • 在緩慢冷卻過程中，當溫度降至共析溫度 (727°C) 以上時，會先析出少量的肥粒鐵 (proeutectoid ferrite)。
  • 在共析溫度 (727°C) 時，剩餘的奧氏體發生共析轉變，形成雪明碳鐵和肥粒鐵的層狀混合物（雪明碳鐵）。
  • 因此，差排鋼的最終微觀結構包含：共析雪明碳鐵、共析肥粒鐵，以及在晶界上或晶粒內的少量先共析肥粒鐵 (proeutectoid ferrite)。
• 過共析鋼 (Hypereutectoid Steel): 指碳含量高於共析點的鋼。其碳含量通常在 0.76 wt% 至 2.14 wt% (鋼的溶解度極限) 之間。
  • 在緩慢冷卻過程中，當溫度降至共析溫度 (727°C) 以上時，會先析出碳化物的形式，即雪明碳鐵 (proeutectoid cementite)。
  • 在共析溫度 (727°C) 時，剩餘的奧氏體發生共析轉變，形成雪明碳鐵和肥粒鐵的混合物（雪明碳鐵）。
  • 因此，過共析鋼的最終微觀結構包含：共析雪明碳鐵、共析肥粒鐵，以及在晶界上形成網絡狀的先共析雪明碳鐵 (proeutectoid cementite)。

主要區別：

• 碳含量: 差排鋼 < 0.76 wt% C；過共析鋼 > 0.76 wt% C。
• 共析溫度以上析出的相: 差排鋼析出先共析肥粒鐵 (proeutectoid ferrite)；過共析鋼析出先共析雪明碳鐵 (proeutectoid cementite)。
• 顯微組織: 差排鋼主要由肥粒鐵和雪明碳鐵構成，通常有較多肥粒鐵；過共析鋼則有較多雪明碳鐵，常以晶界網絡狀出現。

【答案】(a) 差排鋼碳含量低於共析點，冷卻時先析出肥粒鐵；過共析鋼碳含量高於共析點，冷卻時先析出雪明碳鐵。最終組織上，差排鋼以肥粒鐵為主，過共析鋼則有較多雪明碳鐵，且常呈網路狀分佈。

(b) 延性-脆性轉變

• 定義: 延性-脆性轉變是指某些材料（特別是體心立方晶格結構的金屬，如鋼）在特定溫度範圍內，其斷裂行為從延性斷裂轉變為脆性斷裂的現象。
• 影響因素:
  • 溫度: 這是最主要的影響因素。當溫度降低到一個臨界值（稱為轉變溫度，Transition Temperature）以下時，材料的延性急劇下降，脆性顯著增加。
  • 應變速率 (Strain Rate): 應變速率越高（加載越快），轉變溫度越高，材料越容易表現出脆性斷裂。
  • 應力狀態 (Stress State): 存在三軸拉應力時，脆性斷裂傾向增加。例如，缺口效應會集中應力，使材料更容易發生脆性斷裂。
  • 材料成分與微觀結構: 碳含量、雜質（如磷、硫）、晶粒尺寸、熱處理歷史等都會影響轉變溫度。
• 機理:
  在較高溫度下，材料的原子鍵結較弱，位錯運動（延性斷裂的基礎）相對容易，因此表現為延性斷裂。
  當溫度降低時，位錯運動所需的能量增加，變得困難。如果應力集中或應變速率足夠高，超過了位錯運動的能力，材料就會以解理斷裂 (cleavage fracture) 的方式脆性斷裂。
• 重要性: 在工程應用中，特別是結構材料（如橋樑、船舶、管道）在低溫環境下工作時，理解和控制延性-脆性轉變溫度至關重要，以避免災難性的脆性破壞。例如，對鋼材進行適當的合金化和熱處理，以降低其延性-脆性轉變溫度 (DBTT)。

【答案】(b) 延性-脆性轉變是指材料（特別是 BCC 結構金屬）在特定溫度範圍以下，從延性斷裂轉變為脆性斷裂的現象。此現象受溫度、應變速率、應力狀態等因素影響，主要原因是低溫下位錯運動受阻，材料更容易發生解理斷裂。

(c) 動態剪切流變儀 (Dynamic Shear Rheometer, DSR) 測試

• 目的: DSR 是一種用於測量材料（特別是黏彈性材料，如瀝青、聚合物、塗料等）在動態剪切應力作用下的流變性質的儀器。它能提供有關材料的儲能模數 (storage modulus, $G'$)、損耗模數 (loss modulus, $G''$) 和損耗因子 (loss tangent, $\tan\delta$) 等參數。
• 測試原理:
  1. 將樣品置於儀器的測試夾具之間（通常是兩個平行板或一個圓錐/平板組合）。
  2. 對樣品施加一個週期性的正弦剪切應力（或應變）。
  3. 測量樣品對此動態應力的響應，即測量施加的應變（或應力）與響應的應力（或應變）之間的相位差 ($\delta$) 和幅度比。
  4. 通過分析相位差和幅度比，計算出儲能模數 ($G'$) 和損耗模數 ($G''$)。
     • $G'$ 代表材料儲存能量的能力（彈性行為）。