108 年 國立成功大學土木工程系碩士班戊組《工程經濟》

這題考的是成本會計中的「機會成本」與「沉沒成本」概念。

成本的定義是為了獲得商品或服務所付出的代價。然而，在工程經濟學中，我們關注的成本是「決策相關成本」，也就是能影響未來決策的成本。有些成本雖然發生了，但由於無法回收或無法影響未來決策，因此在決策時應被忽略。

以下列舉並說明三種不是因為實際支出而產生的成本：

1. 機會成本 (Opportunity Cost)：
   機會成本是指為了獲得某種東西而放棄的其他選擇中，最有價值的那個選擇的價值。它不是一筆實際的現金支出，而是因為資源（如時間、金錢、設備）被用於某個用途後，而無法用於其他用途所喪失的潛在利益。

   • 說明：例如，公司有一塊閒置土地，可以選擇出租賺取租金，或自行開發建設廠房。若選擇建設廠房，那麼原本可以透過出租獲得的租金收入，就是建設廠房的機會成本。這個成本並非實際支付出去的現金，但卻是決策時必須考量的「隱藏成本」。

2. 沉沒成本 (Sunk Cost)：
   沉沒成本是指已經發生且無法回收的成本。由於這類成本已經是過去式，無論未來做何種決策，這筆成本都無法改變。因此，在進行未來決策時，應忽略沉沒成本。

   • 說明：例如，公司投入 100 萬元購買了一批原料，但市場需求突然消失，這批原料的價值歸零。

這題考的是工程經濟學中兩個重要利率概念的比較：最低吸引報酬率 (MARR) 與加權平均資金成本 (WACC)。

核心觀念：
MARR 是公司對投資案期望達到的最低報酬率，它不僅包含資金的實際成本，還包含了公司對風險的補償以及對未來投資機會的考量。WACC 則是公司為籌集營運和投資所需的資金所支付的平均成本。

比較與原因：
一般而言，Minimum Attractive Rate of Return (MARR) 的值會較大。

原因如下：

1. WACC 代表資金的「成本」：
   WACC 是公司從各種來源（如債務、股權）籌集資金的平均成本。它反映了公司為獲得資金所必須支付的最低報酬，以滿足其債權人和股東的要求。例如，銀行貸款有利息，股東期望股利和股價上漲。

2. MARR 包含 WACC，並加上其他考量：
   MARR 作為決策者用來評估投資專案可行性的標準，它通常會至少包含 WACC 作為基礎，因為任何成功的投資都必須能至少覆蓋其資金的成本。然而，MARR 還會額外納入以下考量，使其值高於 WACC：

核心觀念

本題考查「貸款還款方式的現值比較」。若以借款利率 $i=5\%$ 作為折現率，且各方案均依未償本金計算利息，則一筆本金 $P$ 的合理還款計畫，其所有未來付款折算至現在的現值都應等於原始借款本金：

$$PW(\text{還款})=P=1{,}000{,}000$$

因此，付款時間雖然不同，但在折現率等於貸款利率時，對借款人而言各方案的現值成本相同。

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解題方法

逐一將各方案的還款金額折算至第 $0$ 年。折現公式為：

$$PW=\sum_{t=1}^{n}\frac{F_t}{(1+i)^t}$$

其中 $F_t$ 為第 $t$ 年付款金額，$i=5\%$。

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選項分析

(A) 四年後本金及利息一起償還

四年後應償還：

$$F_4=1{,}000{,}000(1.05)^4$$

因此現值為：

$$PW_A=\frac{1{,}000{,}000(1.05)^4}{(1.05)^4} =1{,}000{,}000$$

所以 (A) 的還款現值為 $100$ 萬元。

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(B) 每年償還利息，四年後償還本金

每年利息為：

$$I=1{,}000{,}000(0.05)=50{,}000$$

第 $1$ 至第 $3$ 年各支付 $50{,}000$，第 $4$ 年支付利息及本金共 $1{,}050{,}000$。

$$PW_B= \frac{50{,}000}{1.05} +\frac{50{,}000}{1.05^2} +\frac{50{,}000}{1.05^3} +\frac{1{,}050{,}000}{1.05^4}$$

整理後：

$$PW_B=1{,}000{,}000$$

所以 (B) 的還款現值也為 $100$ 萬元。

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(C) 分四年，每年等金額償還本金與利息

設每年付款金額為 $A$。等額年金公式為：

$$A=P(A/P,5\%,4)$$

其中：

$$(A/P,5\%,4) =\frac{0.05(1.05)^4}{(1.05)^4-1} \approx 0.282012$$

因此：

$$A=1{,}000{,}000(0.282012) \approx282{,}012$$

每年支付約 $282{,}012$ 元，其現值為：

$$PW_C=A(P/A,5\%,4)$$

而：

這題考的是名目利率轉換為實質利率（有效利率）的計算，以及不同複利頻率對有效利率的影響。

核心觀念：
名目利率 (Nominal Interest Rate) 是以年為單位標示的利率，但並未考慮一年內的複利次數。
實質利率或有效利率 (Effective Interest Rate, $i_{eff}$ 或 $i_{cr}$) 則是考慮了每年複利次數後，實際一年下來的利率。

公式：
實質利率的計算公式為：
$i_{eff} = (1 + \frac{r}{m})^m - 1$
其中：

• $r$ 是名目年利率 (nominal annual interest rate)。
• $m$ 是每年複利的次數 (number of compounding periods per year)。

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第一部分：12% nominal interest, compounded semi-annually

• 名目年利率 $r = 12\% = 0.12$
• 每年複利次數 $m = 2$ (semi-annually, 每半年一次)

計算：
$i_{eff} = (1 + \frac{0.12}{2})^2 - 1$
$i_{eff} = (1 + 0.06)^2 - 1$
$i_{eff} = (1.06)^2 - 1$
$i_{eff} = 1.1236 - 1$
$i_{eff} = 0.1236$

核心觀念

本題考查：

1. 名目利率按月複利轉換為有效年利率。
2. 幾何遞減現金流的現值（PW）。
3. 以 4 年為分析期間，將現值轉換為等值年金（AW）。

由圖可知，現金流皆發生於各年度年底：

• 第 1 年：1000
• 第 2 年：$1000(0.8)=800$
• 第 3 年：$1000(0.8)^2=640$
• 第 4 年：$1000(0.8)^3=512$

每年遞減率為 20%，因此幾何遞減比率為 $g=0.8$。

解題方法

1. 轉換有效年利率

題目給定名目年利率 12%，每月複利一次，因此月利率為：

$$i_m=\frac{0.12}{12}=0.01$$

有效年利率為：

$$i=(1+i_m)^{12}-1$$ $$i=(1.01)^{12}-1=0.126825$$

因此：

$$i=12.6825\%$$

2. 計算現值 PW

以第 0 年為基準，各期現金流折現至現在：

$$PW=\frac{1000}{(1.126825)^1} +\frac{800}{(1.126825)^2} +\frac{640}{(1.126825)^3} +\frac{512}{(1.126825)^4}$$

逐項計算：

$$PW =887.45+630.05+447.31+317.57$$ $$PW=2282.39$$

也可以使用幾何遞減現金流公式：

$$PW=A_1\frac{1-\left(\frac{g}{1+i}\right)^n}{i-g}$$

其中：

這題考的是在沒有考慮通貨膨脹的情況下，比較兩項投資方案（現在購買或兩年後購買）的經濟效益，並決定最佳決策。這裡需要使用決策相關的利率，即 MARR。

核心觀念：
在工程經濟學中，決策時應比較不同方案在相同時間點（通常是現在）的價值。這裡的價值可以是淨現值 (PW)、平均年金值 (AW) 或終值 (FV)。由於題目沒有指定，我們可以使用淨現值 (PW) 來比較。

已知條件：

• 方案 1：現在購買新機器。
  • 成本 (C1_now) = $68,000$ (發生在現在，時間點 0)
• 方案 2：等待兩年後購買新機器。
  • 預計成本 (C2_later) = $81,000$ (發生在 2 年後，時間點 2)
• 最低吸引報酬率 (MARR) = 10% per year。
• 通貨膨脹率 = 5% per year (此小題不考慮)。

目標： 比較方案 1 和方案 2 的經濟效益，並做出決策。我們將兩個方案的成本折算到現在 (時間點 0)，然後選擇成本較低的方案。

計算過程：

方案 1：現在購買

• 成本發生在時間點 0。
• PW(方案 1) = $-68,000$ (負號表示現金流出，即成本)

方案 2：等待兩年後購買

• 成本發生在時間點 2。
• 我們需要將這個未來的成本折算到現在 (時間點 0)。
• PW(方案 2) = $-81,000 \times (1 + MARR)^{-2}$

核心觀念

本題考查通膨調整後的利率與不同時點成本的等值比較。現在支付的 68,000 元與第 2 年支付的 81,000 元，必須換算到同一時點才能比較。

本小題將最低可接受報酬率 $10\%$ 視為未含通膨的實質報酬率。設實質利率為 $i$、通膨率為 $f$，含通膨的市場利率為 $i_f$，則：

$$1+i_f=(1+i)(1+f)$$

因此：

$$i_f=i+f+if =0.10+0.05+(0.10)(0.05) =0.155=15.5\%$$

其中 $if$ 是複利交互項，不能直接以 $10\%+5\%=15\%$ 取代。

解題方法

**以第 2 年為共同比較時點，選擇等值成本較低的方案。**依題目所列資料，只比較購置成本；未提供的提前使用效益、保管費及維護費不納入計算。

一、現在購買

現在支付 68,000 元，其第 2 年的等值成本為：

$$F_{\text{現在買}} =P(1+i_f)^2 =68{,}000(1.155)^2 =90{,}713.70$$

核心觀念

本題評估不同使用年限之互斥投資方案，核心觀念涵蓋以下四項工程經濟理論與公式：

1. 稅後現金流量（After-Tax Cash Flow, ATCF）：
   企業營運產生的稅前淨現金流量（$BTCF_t$）與折舊費用（$D_t$）會影響課稅所得與應納稅額（$Taxes_t$）。在邊際稅率為 $t$ 的條件下：

   $$Taxes_t = t \times (BTCF_t - D_t)$$ $$ATCF_t = BTCF_t - Taxes_t = (1 - t)BTCF_t + t \cdot D_t$$

   其中 $t \cdot D_t$ 即為「折舊稅盾（Depreciation Tax Shield）」。

2. 直線折舊法（Straight-Line Depreciation, SL）與帳面價值（Book Value, BV）：
   題目規定以殘值為零計算折舊，每年折舊額為：

   $$D_t = \frac{\text{Initial Cost} - 0}{N}$$

   期末帳面價值為：

   $$BV_N = \text{Initial Cost} - N \cdot D_t = 0$$

3. 處分資產之稅後殘值（After-Tax Salvage Value）：
   當期末實際市場售價（$S_N$）大於期末帳面價值（$BV_N$）時，產生資產處分利益（折舊回收，Depreciation Recapture），需按稅率課稅：

   $$ATCF_{\text{salvage}, N} = S_N - t \times (S_N - BV_N) = (1 - t)S_N \quad (\text{因 } BV_N = 0)$$

4. 等額年值法（Annual Worth Method, AW）：
   在互斥方案年限不同（$N_A = 3$ 年、$N_B = 5$ 年）時，年值法隱含方案依原條件持續重置（Repeatability Assumption），可直接以單一週期的 $AW$ 進行比較。

   • 資金回收係數：$(A/P, i, N) = \frac{i(1+i)^N}{(1+i)^N - 1}$
   • 償債基金係數：$(A/F, i, N) = \frac{i}{(1+i)^N - 1}$
   • 關係式：$(A/P, i, N) - (A/F, i, N) = i$

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解題方法

已知參數：

• 邊際稅率 $t = 35\% = 0.35$
• 稅後最低可接受報酬率 $MARR = 6\%$

步驟一：方案 A（System A）稅後年值計算

• 初期投資：$I_A =$$150,000
• 壽命：$N_A = 3$ 年
• 每年稅前淨現金流：$BTCF_A = $$60,000
• 每年折舊額： $$D_A = \frac{150,000 - 0}{3} = 50,000$$
• 每年營運稅後現金流（$t = 1, 2, 3$）： $$ATCF_{A, t} = (1 - 0.35)(60,000) + 0.35(50,000) = 39,000 + 17,500 = 56,500$$
• 殘值：$S_A = 0$
• 換算等額年值 $AW_A$： $$(A/P, 6\%, 3) = \frac{0.06(1.06)^3}{(1.06)^3 - 1} = \frac{0.06 \times 1.191016}{0.191016} \approx 0.374110$$ $$AW_A = -150,000(A/P, 6\%, 3) + 56,500 = -150,000(0.374110) + 56,500 = -56,116.50 + 56,500 = +\$383.50$$

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步驟二：方案 B（System B）稅後年值計算

• 初期投資：$I_B =$$850,000
• 壽命：$N_B = 5$ 年
• 每年稅前淨現金流：$BTCF_B = $$20,000
• 每年折舊額（依殘值 0 計算）： $$D_B = \frac{850,000 - 0}{5} = 170,000$$
• 每年營運稅後現金流（$t = 1, \dots, 5$）：

核心觀念

本題考查「寬限期貸款」與「本息平均攤還」：

• 寬限期內只支付利息，本金維持不變。
• 寬限期結束後，以本息平均攤還方式支付每月固定金額。
• 名目年利率為 $1.8\%$，按月付款，因此月利率為

$$i=\frac{1.8\%}{12}=0.15\%=0.0015$$

題目文字同時出現「前三年」與「兩年寬限期」，兩者互相矛盾。以下依「7 年中包含兩年寬限期」計算，並假設 20 年為貸款總期間，因此寬限期後剩餘 $18$ 年攤還。

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解題方法

一、寬限期所支付的利息

貸款本金為

$$P=6,000,000$$

每月應付利息為

$$I_m=Pi=6,000,000(0.0015)=9,000$$

寬限期為 $2$ 年，共 $24$ 個月，因此寬限期支付的利息為

$$I_g=24(9,000)=216,000$$

寬限期內本金未減少，因此寬限期結束時本金仍為

$$6,000,000$$

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二、寬限期後的每月本息攤還金額

原貸款期間為 $20$ 年，寬限期占 $2$ 年，因此寬限期後剩餘攤還期間為

$$20-2=18\text{ 年}$$

共

$$n=18(12)=216\text{ 個月}$$

本息平均攤還公式為

$$A=P\left(\frac{A}{P},i,n\right) =P\frac{i(1+i)^n}{(1+i)^n-1}$$

代入數值：

$$A =6,000,000 \frac{0.0015(1.0015)^{216}} {(1.0015)^{216}-1}$$

因此每月付款約為

$$A\approx 32,541$$

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三、7 年後的剩餘本金

7 年中有 2 年寬限期，所以實際本息攤還時間為

$$7-2=5\text{ 年}=60\text{ 個月}$$

60 次付款後，剩餘付款期為

$$216-60=156\text{ 個月}$$

剩餘本金可用未來剩餘付款的現值計算：

核心觀念

本題比較「維持原貸款」與「轉貸至 FGH」兩種方案的現值成本，並以公司可獲得的年報酬率 $12\%$ 作為最低要求報酬率（MARR）。

使用觀念如下：

1. 名目年利率按月付款，月利率為

$$i=\frac{\text{名目年利率}}{12}$$

2. 本題採用題目明載的「已繳款 7 年，其中 2 年寬限期」：

• 前 2 年只繳利息，本金仍為 NT$6,000,000。
• 後 5 年開始本息攤還。
• 總貸款期間 20 年，因此已經過 7 年後，剩餘 13 年。

3. 轉貸決策應將未來每月付款差額折算至目前時點，再扣除轉貸費用。若轉貸的淨現值利益大於零，即應轉貸。

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解題方法

以「目前時點」作為基準，計算轉貸後每月節省的付款，再以 $12\%$ 的投資報酬率折現。

一、原貸款的每月付款

原貸款名目年利率為 $1.8\%$，所以月利率為

$$i_1=\frac{0.018}{12}=0.0015$$

寬限期為 2 年，寬限後剩餘攤還期間為

$$20-2=18\text{ 年}=216\text{ 個月}$$

原貸款在寬限期後的每月本息付款為

$$A_1=P\frac{i_1(1+i_1)^n}{(1+i_1)^n-1}$$

其中

$$P=6,000,000,\qquad n=216$$

因此

$$A_1 =6,000,000 \frac{0.0015(1.0015)^{216}} {(1.0015)^{216}-1} \approx 32,541$$

所以原貸款每月付款約為：

$$\boxed{A_1\approx \text{NT\$32,541}}$$

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二、已繳款 7 年後的貸款餘額

公司已經在寬限期後繳款 5 年，即繳了

$$5\times 12=60\text{ 期}$$

原貸款餘額為

$$B_1=P(1+i_1)^k -A_1\frac{(1+i_1)^k-1}{i_1}$$

其中 $k=60$，故

$$B_1 =6,000,000(1.0015)^{60} -32,541\frac{(1.0015)^{60}-1}{0.0015}$$

計算得

$$B_1\approx 4,523,187$$

因此目前尚未償還的本金約為：

$$\boxed{B_1\approx \text{NT\$4,523,187}}$$

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三、FGH 轉貸後的每月付款

FGH 提供名目年利率 $1.5\%$，月利率為

$$i_2=\frac{0.015}{12}=0.00125$$

剩餘期間為 13 年：

$$n_2=13\times 12=156\text{ 個月}$$

轉貸金額視為目前原貸款餘額 $B_1