114 年 國立成功大學土木工程系碩士班甲組《結構學》

第 1 題

核心觀念

本題考查：

• 剪力圖與彎矩圖的基本關係：
  $\frac{dM}{dx}=V,\qquad \frac{dV}{dx}=-w$
• 集中力會造成剪力圖跳躍，集中力矩會造成彎矩圖跳躍。
• 均佈載重下，剪力圖為一次函數，彎矩圖為拋物線。
• 斜構件上的水平分佈載重，必須分解為構件軸向分量與垂直構件分量。
• 連續梁採用斜率－撓度法，並考慮支承沉陷。

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(a)

由圖得：

• $BC=6\ \text{m}$
• $BA=\sqrt{3^2+4^2}=5\ \text{m}$
• 水平分佈載重為 $10\ \text{kN/m}$，作用高度為 $4\ \text{m}$。
• 因此總水平力為
  $P=10(4)=40\ \text{kN}$

將水平載重換算成沿斜桿長度的分佈載重：

$w_s=10\frac{4}{5}=8\ \text{kN/m}$

其垂直於斜桿的分量為

$w_\perp=8\frac{4}{5}=6.4\ \text{kN/m}$

軸向分量不造成彎矩，故剪力與彎矩只由 $w_\perp$ 決定。

剪力圖

斜桿 $BA$ 上：

$V_B=w_\perp L=6.4(5)=32\ \text{kN}$

$V_A=0$

因此 $BA$ 的剪力圖為由 $A$ 點 $0$ 線性增加至 $B$ 點 $32\ \text{kN}$ 的三角形。

$BC$ 無分佈載重，故：

$V_{BC}=0$

彎矩圖

斜桿 $BA$ 在 $B$ 點的最大彎矩：

$$M_B=\frac{w_\perp L^2}{2} =\frac{6.4(5)^2}{2} =80\ \text{kN}\cdot\text{m}$$

$A$ 點為自由端：

$M_A=0$

所以 $BA$ 的彎矩圖為三次曲線，從 $A$ 點 $0$ 增至 $B$ 點 $80\ \text{kN}\cdot\text{m}$。

由於 $BC$ 無載重且 $B$ 點傳遞彎矩，因此：

$M_{BC}=80\ \text{kN}\cdot\text{m}$

為全段常數。

【答案】

• $BA$：
  $V_A=0,\qquad V_B=32\ \text{kN}$
  $M_A=0,\qquad M_B=80\ \text{kN}\cdot\text{m}$
• $BC$：
  $V=0,\qquad |M|=80\ \text{kN}\cdot\text{m}$

彎矩圖須畫在壓縮側，$BA$ 的最大彎矩位於 $B$ 點。

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(b)

圖中 $B$ 點受順時針集中力矩：

$M_B^{\text{外力}}=100\ \text{kN}\cdot\text{m}$

各構件資料為：

構件	長度	彎曲剛度
$AB$	$3\ \text{m}$	$3EI$
$BC$	$4\ \text{m}$	$EI$
$BD$	$5\ \text{m}$	$5EI$

$A,C$ 固定，$D$ 為鉸支承。由於 $B$ 點的水平、垂直位移均受構件軸向變形限制，可取 $B$ 點僅有轉角 $\theta_B$。

各構件對 $B$ 點的轉動剛度

對固定端構件：

$k=\frac{4EI}{L}$

因此：

$k_{BA}=\frac{4(3EI)}{3}=4EI$

$k_{BC}=\frac{4(EI)}{4}=EI$

$BD$ 的遠端 $D$ 為鉸支承，故：

$k_{BD}=\frac{3(5EI)}{5}=3EI$

$B$ 點平衡：

$(4EI+EI+3EI)\theta_B=100$

$\theta_B=\frac{12.5}{EI}$

各桿件在 $B$ 點的彎矩

$M_{BA}=4EI\theta_B=50\ \text{kN}\cdot\text{m}$

$M_{BC}=EI\theta_B=12.5\ \text{kN}\cdot\text{m}$

$M_{BD}=3EI\theta_B=37.5\ \text{kN}\cdot\text{m}$

遠端彎矩

對 $AB$ 與 $BC$，遠端固定端彎矩為

$M_{AB}=\frac{1}{2}M_{BA}=25\ \text{kN}\cdot\text{m}$

$M_{CB}=\frac{1}{2}M_{BC}=6.25\ \text{kN}\cdot\text{m}$

$D$ 為鉸支承：

$M_{DB}=0$

剪力圖

各桿件均無分佈載重，因此剪力為常數。

$V_{AB}=\frac{25+50}{3}=25\ \text{kN}$

$V_{BC}=\frac{12.5+6.25}{4}=4.6875\ \text{kN}$

$V_{BD}=\frac{37.5}{5}=7.5\ \text{kN}$

【答案】

彎矩圖均為直線：

• $AB$：兩端彎矩為 $25$ 與 $50\ \text{kN}\cdot\text{m}$。
• $BC$：兩端彎矩為 $12.5$ 與 $6.25\ \text{kN}\cdot\text{m}$。
• $BD$：
  $M_B=37.5\ \text{kN}\cdot\text{m},\qquad M_D=0$

剪力圖為各桿件上的常數矩形：

$$V_{AB}=25\ \text{kN},\qquad V_{BC}=4.6875\ \text{kN},\qquad V_{BD}=7.5\ \text{kN}$$

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(c)

已知：

$E=200\ \text{GPa},\qquad I=120\times10^6\ \text{mm}^4$

故

$$EI=200\times10^3(120\times10^6) =24\times10^{12}\ \text{N}\cdot\text{mm}^2 =24000\ \text{kN}\cdot\text{m}^2$$

$C$ 點沉陷 $30\ \text{mm}=0.03\ \text{m}$。

採用斜率－撓度法。取順時針端彎矩為正，均佈載重 $18\ \text{kN/m}$ 作用於 $AB$。

固端彎矩

核心觀念

本題考查共軛梁法中的兩個面積定理：

1. $M/EI$ 圖的面積等於兩點間的轉角差：
   $\theta_E-\theta_B=\int_B^E\frac{M(x)}{EI}\,dx$

2. $M/EI$ 圖對某點的一次矩，等於該點相對於另一點之切線偏差。

由圖形與載重配置可知，結構及載重關於 $E$ 點對稱，因此：

$\theta_E=0$

又因為 $B,C$ 為支承點：

$v_B=v_C=0$

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支承反力

取 $B$ 點力矩：

$40-2P-80+4R_C=0$

因此

$R_C=10+\frac{P}{2}\ \text{kN}$

由垂直力平衡：

$R_B+R_C=20+P$

得

$R_B=10+\frac{P}{2}\ \text{kN}$

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$B$ 至 $E$ 段的彎矩函數

令 $x$ 自 $B$ 點向右量，$0\leq x\leq 2$ m。

截面彎矩為

$M(x)=-10(4+x)+\left(10+\frac{P}{2}\right)x$

整理得

$M(x)=-40+\frac{P}{2}x\quad(\text{kN}\cdot\text{m})$

所以 $B$ 至 $E$ 段的 $M/EI$ 圖為一直線，其端點彎矩為

$M_B=-40\ \text{kN}\cdot\text{m}$

$M_E=-40+\frac{P}{2}(2)=P-40\ \text{kN}\cdot\text{m}$

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核心觀念

這題考「影響線」與「移動均佈載重的最佳載重範圍」。向下單位集中力作用於位置 $x$ 時，若 A 點垂直反力的影響線縱座標為 $\eta_A(x)$，則強度為 $5\ \text{kN/m}$ 的均佈載重對 A 點反力的貢獻為

$$R_A=5\int_{\text{載重範圍}}\eta_A(x)\,dx$$

要使向上的 $R_A$ 最大，均佈載重應放在影響線為正的區域；影響線為負的區域則不載重。題目允許載重不連續，因此各正值區域可分開施載。

解題方法

令 $x$ 自固定端 A 起算，則 $B$、$C$、$D$ 分別位於 $x=4$、$7$、$9\ \text{m}$。以 A 固定的懸臂梁作為基本結構，將 B、C 的支承反力視為冗餘力。

懸臂梁在位置 $u$ 受單位力時，位置 $v$ 的柔度係數為

$$f(u,v)=\frac{\min(u,v)^2\left[3\max(u,v)-\min(u,v)\right]}{6EI}$$

B、C 的柔度矩陣為

$$\mathbf F=\frac{1}{3EI} \begin{bmatrix} 64&136\\ 136&343 \end{bmatrix}$$

對位置 $x$ 施加向下單位力，B、C 的位移向量可寫成 $\mathbf d=[g_4(x),g_7(x)]^T/EI$，其中