114 年 國立成功大學土木工程系碩士班甲組《材料力學》

核心觀念

本題考查：

1. 剛性板的位移相同，接觸後三根桿的上端具有相同位移。
2. 中間桿初始短 $s$，因此必須先閉合間隙後才開始受力。
3. 軸向桿的勁度與應變能：

$$k=\frac{EA}{L},\qquad U=\frac{1}{2}k\delta^2 =\frac{N^2L}{2EA}$$

依圖，外側兩桿長度為 $L$，中間桿長度為 $L-s$。

已知

$$L=1000\ \text{mm},\quad s=1\ \text{mm},\quad A=3000\ \text{mm}^2$$ $$E_o=100\ \text{GPa}=100000\ \text{N/mm}^2$$ $$E_m=50\ \text{GPa}=50000\ \text{N/mm}^2$$

外側單根桿的勁度為

$$k_o=\frac{E_oA}{L} =\frac{100000(3000)}{1000} =300000\ \text{N/mm}$$

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接觸判定

中間桿尚未接觸前，只有兩根外側桿受力。當剛性板下降 $s$ 時，中間桿剛好接觸，因此接觸臨界載重為

$$P_c=2k_os =2(300000)(1) =600000\ \text{N}=600\ \text{kN}$$

因此：

• $P=400\ \text{kN}<600\ \text{kN}$：中間桿不受力。
• $P=750\ \text{kN}>600\ \text{kN}$：三根桿皆受力。

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(a) $P=400\ \text{kN}$

此時只有兩根外側桿受力，每根承受

$$N_o=\frac{P}{2} =\frac{400}{2} =200\ \text{kN}$$

外側兩桿的總應變能為

$$U=2\left(\frac{N_o^2L}{2E_oA}\right) =\frac{P^2L}{4E_oA}$$

代入數值：

$$U= \frac{(400000)^2(1000)} {4(100000)(3000)} \ \text{N}\cdot\text{mm}$$ $$U=133333.3\ \text{N}\cdot\text{mm} =133.3\ \text{J}$$

此時外側桿的壓縮量為

$$\delta=\frac{P}{2k_o} =\frac{400000}{600000} =0.667\ \text{mm}<s$$

確實尚未接觸中間桿。

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(b) $P=750\ \text{kN}$

1. 中間桿接觸後的勁度

中間桿長度為

核心觀念

本題屬於**組合應力（Combined Stresses）**的經典工程應用，探討薄壁圓筒形壓力容器（Thin-walled Pressure Vessel）在同時承受「內部流體壓力」與「外部橫向橫樑負載（自重/均佈載重）」下的應力狀態。

主要觀念與公式包括：

1. 樑之剪力與彎矩（Shear and Bending Moment in Beam）：
   • 結構為外伸樑（Overhanging Beam），利用靜力平衡求解反力、支承處及跨中斷面的剪力 $V$ 與彎矩 $M$。
2. 薄壁壓力容器應力（Thin-walled Pressure Vessel Stresses）：
   • 環向應力（Hoop Stress / Circumferential Stress）：
     $\sigma_h = \frac{p r}{t}$
   • 軸向應力（Longitudinal Stress）：
     $\sigma_a = \frac{p r}{2t}$
3. 橫樑彎曲應力與橫向剪應力（Bending Stress and Transverse Shear Stress）：
   • 彎曲常應力（Bending Stress）：$\sigma_x = -\frac{M y}{I}$
   • 薄壁圓管的截面二次矩（慣性矩）：$I \approx \pi r^3 t$
   • 橫向剪應力（Transverse Shear Stress）：在薄壁圓管的中性軸處（Neutral Axis）達最大值：
     $\tau_{\text{max}} = \frac{V Q}{I b} = \frac{2V}{A} = \frac{V}{\pi r t}$
4. 平面應力轉換（Plane Stress Transformation）：
   • 主應力（Principal Stresses）：
     $\sigma_{1, 2} = \frac{\sigma_x + \sigma_y}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{\sigma_x - \sigma_y}{2}\right)^2 + \tau_{xy}^2}$
   • 主平面夾角（Principal Directions）：
     $\tan 2\theta_p = \frac{2\tau_{xy}}{\sigma_x - \sigma_y}$
   • 絕對最大剪應力（Maximum In-plane & Absolute Shear Stress）：
     $\tau_{\text{max, in-plane}} = \sqrt{\left(\frac{\sigma_x - \sigma_y}{2}\right)^2 + \tau_{xy}^2}$
     需注意第三主應力（外表面常應力 $\sigma_3 = 0$）對三維絕對最大剪應力的影響。

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解題方法

1. 幾何尺寸與截面幾何性質計算

• 總長度 $L = 6\text{ m}$，兩支承間距 $L_s = 3.6\text{ m}$。
• 對稱外伸，兩端懸臂長度為：
  $a = \frac{6 - 3.6}{2} = 1.2\text{ m}$
• 內半徑 $r = 1.2\text{ m}$，壁厚 $t = 19\text{ mm} = 0.019\text{ m}$。
• 薄壁判定比值：$\frac{r}{t} = \frac{1.2}{0.019} \approx 63.16 > 10$，薄壁理論完全適用。
• 截面面積：
  $A \approx 2\pi r t = 2\pi (1.2)(0.019) \approx 0.14326\text{ m}^2$
• 截面二次矩（慣性矩）：
  $I \approx \pi r^3 t = \pi (1.2)^3 (0.019) \approx 0.10314\text{ m}^4$

2. 樑的內力計算（靜力平衡）

均佈載重 $q = 150\text{ kN/m}$，總重 $W = q L = 150 \times 6 = 900\text{ kN}$。
兩側支承對稱，各支承反力：
$R_1 = R_2 = \frac{900}{2} = 450\text{ kN}$

• Element A 位置分析：
  Element A 位於左支承正右側（$x = 1.2^+\text{ m}$），外表面中性軸（側面中心線水平面）上。

  • 剪力 $V_A$：
    $V_A = -q a + R_1 = -150 \times 1.2 + 450 = +270\text{ kN}$
  • 彎矩 $M_A$：
    $M_A = -\frac{1}{2} q a^2 = -\frac{1}{2}(150)(1.2)^2 = -108\text{ kN}\cdot\text{m}$

• Element B 位置分析：
  Element B 位於跨中（$x = 3\text{ m}$），筒身最底表面（$y = -r$）。

  • 對稱中央截面剪力：$V_B = 0$
  • 跨中彎矩 $M_B$：
    $M_B = R_1 (3 - 1.2) - \frac{1}{2}q(3)^2 = 450(1.8) - \frac{1}{2}(150)(3)^2 = 810 - 675 = +135\text{ kN}\cdot\text{m}$

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3. (a) Element A 之應力狀態、主應力與主方向

取局部坐標：$x$ 軸沿管身長度方向（水平向右），$y$ 軸沿筒壁環向（垂直方向），$z$ 軸沿管壁法線向外。

(1) 各應力分量計算

• 內部壓力 $p = 720\text{ kPa} = 0.72\text{ MPa}$ 產生之應力：

  • 環向應力（垂直方向）：
    $\sigma_y = \sigma_h = \frac{p r}{t} = \frac{0.72 \times 1.2}{0.019} \approx 45.474\text{ MPa}$
  • 軸向應力（水平方向）：
    $\sigma_{a} = \frac{p r}{2t} = \frac{45.474}{2} \approx 22.737\text{ MPa}$

• 外載重（樑彎曲與剪切）產生之應力：

  • 彎曲應力：因 Element A 位於中性軸位置（$y = 0$），故彎曲常應力為零：
    $\sigma_{\text{bending}} = 0 \implies \sigma_x = \sigma_a = 22.737\text{ MPa}$
  • 橫向剪應力：在圓管中性軸兩側管壁處，剪應力方向向下，對應正截面剪應力為：
    $\tau_{xy} = -\frac{V_A}{\pi r t} = -\frac{270 \times 10^3}{\pi (1.2)(0.019)} \approx -3.771\text{ MPa}$
    （大小為 $3.771\text{ MPa}$，在 $x$ 正向面上方向朝 $-y$ 方向）

(2) 應力狀態總結（Element A）

$\sigma_x = 22.74\text{ MPa}, \quad \sigma_y = 45.47\text{ MPa}, \quad \tau_{xy} = -3.77\text{ MPa}$

(3) 主應力計算

$\sigma_{\text{avg}} = \frac{\sigma_x + \sigma_y}{2} = \frac{22.737 + 45.474}{2} = 34.106\text{ MPa}$

$R = \sqrt{\left(\frac{\sigma_x - \sigma_y}{2}\right)^2 + \tau_{xy}^2} = \sqrt{(-11.369)^2 + (-3.771)^2} = \sqrt{129.25 + 14.22} \approx 11.978\text{ MPa}$

主應力大小：
$\sigma_1 = \sigma_{\text{avg}} + R = 34.11 + 11.98 = 46.08\text{ MPa}$

核心觀念

本題結合：

• 靜力平衡求鋼絲張力；
• 鋼絲軸向變形
  $\delta_B=\frac{TL_w}{EA}$
• 梁的彎曲變形與疊加原理。

圖中尺寸為

$AB=500\text{ mm}=0.5\text{ m},\qquad BC=750\text{ mm}=0.75\text{ m},$

因此

$AC=1.25\text{ m},\qquad L_w=500\text{ mm}=0.5\text{ m}.$

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一、求鋼絲張力

對梁整體取 $A$ 點力矩：

$T(0.5)-P(1.25)=0$

所以

$T=\frac{1.25}{0.5}(1\text{ kN})=2.5\text{ kN}=2500\text{ N}.$

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二、求 $B$ 點下降量

鋼絲的軸向伸長為

$$\delta_B=\frac{TL_w}{EA} =\frac{(2500)(0.5)}{1400} =0.892857\text{ m}.$$

因此 $B$ 點向下位移為

$\delta_B=892.857\text{ mm}.$

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三、求 $C$ 點的彎曲變形

梁的彎矩函數為

$$M(x)= \begin{cases} -1.5x, & 0\le x\le 0.5,\\ x-1.25, & 0.5\le x\le 1.25, \end{cases}$$

核心觀念

本題考查：

1. 溫度梯度造成的梁自由曲率。
2. 固定端與彈簧支承的變形相容條件。
3. 靜力平衡與 Euler–Bernoulli 梁撓曲方程。
4. 超靜定反力的相容法。

令梁長為 $L$、梁深為 $h$，取 $x$ 軸由 $A$ 指向 $B$，$y$ 軸向上，撓度 $v(x)$ 向上為正，並定義

$$\Delta T=T_1-T_2$$

其中 $T_1$、$T_2$ 分別為上、下表面溫度。

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溫度造成的自由曲率

梁截面上任意位置的溫度可視為線性分布，因此溫度梯度為

$$\frac{dT}{dy}=\frac{T_1-T_2}{h} =\frac{\Delta T}{h}$$

熱應變為

$$\varepsilon_T=\alpha T$$

由於上表面溫度較高時，上側纖維熱膨脹較大，梁會向下彎曲。因此，以 $v$ 向上為正時，溫度造成的自由曲率為

$$\kappa_T=-\frac{\alpha\Delta T}{h}$$

若僅受溫度梯度而沒有支承拘束，梁的曲率就是 $\kappa_T$。

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解題方法

設彈簧在 $B$ 點對梁施加的垂直反力為 $R_B$，向上為正。

由梁的彎曲關係，

$$EI\left(v''-\kappa_T\right)=M(x)$$

取右端彈簧反力造成的彎矩，可得

$$M(x)=R_B(L-x)$$

因此

$$v''(x) = \kappa_T+\frac{R_B(L-x)}{EI}$$

固定端 $A$ 的邊界條件為

$$v(0)=0,\qquad v'(0)=0$$

積分兩次後得到

$$v'(x) = \kappa_T x+ \frac{R_B}{EI} \left(Lx-\frac{x^2}{2}\right)$$

以及

$$v(x) = \frac{\kappa_T x^2}{2} + \frac{R_Bx^2(3L-x)}{6EI}$$

在 $B$ 點，

$$v(L) = \frac{\kappa_T L^2}{2} + \frac{R_BL^3}{3EI}$$

彈簧的變形相容條件為

$$R_B=-kv(L)$$

代入後，

$$R_B = -k\left( \frac{\kappa_T L^2}{2} + \frac{R_BL^3}{3EI} \right)$$

整理得

$$R_B \left( 1+\frac{kL^3}{3EI} \right) = -\frac{k\kappa_TL^2}{2}$$

所以

$$R_B = -\frac{3kEI\kappa_TL^2} {2(3EI+kL^3)}$$

代入 $\kappa_T=-\alpha\Delta T/h$：

$$\boxed{ R_B= \frac{3kEI\,\alpha(T_1-T_2)L^2} {2h(3EI+kL^3)} }$$

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(a) 所有支承反力