114 年 國立成功大學土木工程系碩士班乙組《基礎工程》

本題主要考察基礎工程中關於樁基礎、極限承載力理論、有效面積法、標準貫入試驗以及補償基礎的相關知識。

(1) 樁基礎的使用條件 (5%)
樁基礎主要用於承受較大荷載、基礎埋深較大，或地基土壤承載力較低、不均勻，無法使用淺基礎的情況。具體條件包括：

• 地表土壤承載力不足，無法支撐淺基礎。
• 上層土壤承載力低且不均勻，而下部有較強的承載層。
• 建築物荷載較大，單獨使用淺基礎無法滿足要求。
• 基礎埋深較大，淺基礎施工困難或不經濟。
• 需要抵抗水平力或上拔力。
• 在凍脹性土、膨脹性土、液化土等特殊土質中，需要將荷載傳遞到穩定土層。

(2) Terzaghi 承載力理論的主要假設及 $\phi=0$ 土壤的破壞面 (5%)
Terzaghi 的極限承載力理論基於以下主要假設：

• 土壤為均質、各向同性。
• 基礎底面為剛性，且與土壤間為光滑接觸（但後續考慮了摩擦角，對於粗糙基礎）。
• 土壤體積穩定，不變形。
• 破壞模式為局部剪切破壞或整體剪切破壞。
• 對於 $\phi=0$ 土壤（如飽和黏土），其剪切強度僅由凝聚力 $c$ 決定，內摩擦角 $\phi=0$，且土壤不產生拉伸。
• 對於條形基礎，破壞面為一條由基礎邊緣延伸至地表，並包含一個對稱的螺旋面。

對於粗糙、剛性條形基礎在 $\phi=0$ 土壤中的破壞面，Terzaghi 假設其包含三個區域：

• 區域 I：一個三角形區域，位於基礎下方，隨基礎一起移動。
• 區域 II：一個扇形區域，從區域 I 的邊界向外延伸，土體沿徑向滑動。
• 區域 III：一個傾斜的區域，位於區域 II 的外側，土體沿傾斜面滑動，形成一個傾斜的直線邊界。

🖼️【此處有附圖，請對照原卷】 由於無法直接繪製圖像，請參考標準的 Terzaghi 承載力理論圖示，其中 $\phi=0$ 土壤的破壞面在剛性條形基礎下的形狀，應包含上述三個區域。

(3) Meyerhof (1953) 的有效面積法 (5%)
Meyerhof 的有效面積法主要用於處理非對稱荷載作用下的基礎，特別是當荷載偏心或傾斜時。該方法的核心思想是將偏心或傾斜荷載視為作用在一個「有效面積」上的中心荷載。
其步驟如下：

• 計算基礎的總荷載 $P$ 和傾覆力矩 $M$。
• 根據荷載和力矩，計算基礎底面上的等效壓力分佈。
• 定義一個「有效面積」 $A'$，使得在此有效面積上的壓力分佈趨於均勻（或視為作用在有效面積中心）。
• 有效面積的計算通常涉及荷載的偏心距。

本題主要考察擋土牆穩定性、支撐開挖的土壓力分佈以及黏土中的擋土結構設計。

(1) 懸臂式擋土牆的一般穩定性要求 (5%)
懸臂式擋土牆需要滿足以下幾種主要的穩定性要求：

• 抗滑穩定性 (Sliding Stability)： 牆身底部與地基之間或牆身與填土之間不能發生整體滑動。這主要取決於牆後土體的剪切強度、牆底摩擦角以及牆身自重。
• 抗傾覆穩定性 (Overturning Stability)： 牆身不能繞牆底的某一點發生傾覆。這要求作用在牆底的合力作用點必須位於牆底的有效寬度範圍內（通常要求合力作用點在牆底寬度的 1/2 或 2/3 以內），並確保有足夠的抗傾覆力矩。
• 整體穩定性 (Global Stability / Slope Stability)： 擋土牆及其後方的土體不能形成一個整體滑動破壞面，即不能發生邊坡失穩。這需要對潛在的滑動面進行分析，確保其穩定性。
• 承載力穩定性 (Bearing Capacity Stability)： 牆後土體和牆底地基能夠承受牆身和土體傳來的荷載，不會發生地基破壞。
• 抗隆起穩定性 (Heaving Stability)： 在某些情況下，特別是當牆後土體較軟弱時，需要考慮牆後土體受牆身壓力而向上隆起的可能性。

(2) 支撐開挖後土壓力分佈與 Peck 的壓力包絡線 (10%)

• 土壓力分佈的差異原因：
  理論土壓力（如 Rankine 或 Coulomb 假設）通常是基於靜止或主動/被動土壓力狀態，假設土體連續且均勻，且牆體為剛性。然而，在支撐開挖（Braced Cut）中，情況複雜得多：

  1. 變形效應： 開挖過程會引起牆體和支撐系統的變形。牆體向開挖區域的變形（通常是向內傾斜）會導致牆後土體進入被動區，增加土壓力；而支撐的剛度也會限制牆體的變形。
  2. 土體應力重分佈： 開挖移除大量土體，使得支撐系統承受了超出理論範圍的應力。特別是當開挖深度較大時，牆後土體會發生應力重分佈，支撐系統實際上承受了相當於「固結」狀態的土壓力。
  3. 支撐剛度與佈置： 支撐的數量、間距、剛度以及其連接方式都會影響土壓力的分佈。

• Peck 的壓力包絡線 (Peck's Pressure Envelopes)：
  Peck 根據大量工程實例和經驗，提出了不同土體類型（如軟黏土、硬黏土、砂土）的支撐開挖土壓力分佈圖，這些圖被稱為 Peck 的壓力包絡線。這些包絡線並非基於嚴格的理論推導，而是對實際觀測數據的總結和歸納。

  • 軟黏土 (Soft Clay)： 土壓力分佈近似於一個「中間大、兩邊小」的梯形或類三角形。在開挖深度的中部，土壓力最大，而在靠近地表和最深處的支撐處，土壓力相對較小。這是因為軟黏土的變形能力較大，開挖後會產生較大的應力釋放和重分佈，中間支撐承受了大部分荷載。

本題主要考察板樁牆（Sheet Pile）的分析方法，包括錨碇式板樁牆、懸臂式板樁牆在砂土和黏土中的設計。

(1) 錨碇式板樁牆的兩種基本分析方法及變形與彎矩的變化 (5%)
錨碇式板樁牆（Anchored Sheet-Pile Walls）通常採用以下兩種基本分析方法：

• 自由土拱法 (Free Earth Support Method)：

  • 原理： 假設板樁牆在錨碇以下的部分，其後方的土體在開挖面處是自由的，沒有被支撐。這意味著板樁牆在錨碇以下的某一點（稱為「自由土拱點」）處，其彎矩為零。
  • 分析過程： 首先假定一個較大的插入深度 $D$，然後計算牆後土體在開挖面處的土壓力，並考慮牆後土體與牆體之間的摩擦力（如果存在）。通過平衡開挖面處的土壓力與牆體所受的拉力（來自錨碇）和牆身彎矩，在牆後方土體中尋找一個能夠抵抗土壓力的「被動土壓力區」。板樁牆的插入深度 $D$ 需要足夠大，以確保牆後土體能夠提供足夠的被動阻力，使得牆身在錨碇以下的某個點（通常是自由土拱點）的彎矩為零。
  • 變形與彎矩： 在此方法下，牆體在錨碇處的彎矩為最大，然後隨著深度增加而減小，在自由土拱點處為零。牆體的變形（位移）在開挖面處最大，並隨著深度增加而減小。

• 固定土拱法 (Fixed Earth Support Method)：

  • 原理： 假設板樁牆在錨碇以下的部分，其後方的土體並非自由的，而是被錨碇結構（或牆後土體與更深處的土體）所約束，形成一個「固定」的狀態。這意味著板樁牆在錨碇以下的某個點（稱為「固定點」）處，其彎矩和轉角可能不為零，但通常會假設其彎矩為零或一個較小的固定值。
  • 分析過程： 該方法考慮了錨碇結構對牆身產生的約束作用，以及牆後土體在錨碇以下的變形。通常，固定土拱法會假設牆身在錨碇以下有一個「反彎點」，之後彎矩方向改變。這種方法通常會導致較小的最大彎矩和較小的牆體位移，因為錨碇結構和牆後的土體共同分擔了部分荷載。
  • 變形與彎矩： 在此方法下，牆體在錨碇處的彎矩仍然較大，但由於存在反彎點，其最大彎矩通常小於自由土拱法。彎矩在反彎點處為零，然後反向增長，在牆底附近再次減小。牆體的變形在開挖面處最大，並在反彎點附近達到局部極小值，然後再次增加。

• 變形與彎矩的自然變化圖示：
  🖼️【此處有附圖，請對照原卷】 由於無法直接繪製圖像，請想像：

  • 彎矩圖 (Moment Diagram)：
    • 自由土拱法：在開挖面以上，彎矩為負（拉應力在牆後），在錨碇處達到最大負值。在錨碇以下，彎矩先變為正，然後在自由土拱點變為零。
    • 固定土拱法：在開挖面以上，彎矩為負，在錨碇處達到最大負值。在錨碇以下，存在一個反彎點，彎矩先變為正，然後可能再次變為負，或在牆底附近減小。
  • 位移圖 (Deflection Diagram)：
    • 兩種方法下，位移在開挖面處最大，並向牆底方向逐漸減小。固定土拱法通常預測的位移較小。

(2) 懸臂式板樁牆穿過砂土的分析程序與安全係數考慮 (10%)
懸臂式板樁牆（Cantilever Sheet-Pile Wall）是依靠牆身自身的彎曲強度來抵抗土壓力的擋土結構，沒有額外的錨碇。

• 分析程序：

  1. 確定土壓力： 根據砂土的性質（如內摩擦角 $\phi$、單位體積重量 $\gamma$），計算牆後主動土壓力（Active Earth Pressure）和牆前被動土壓力（Passive Earth Pressure）。
  2. 假定插入深度： 假定一個足夠大的插入深度 $D'$（牆後開挖面以下的部分）。
  3. 建立平衡方程： 牆身在開挖面處承受來自後方土體的主動土壓力，在插入深度 $D'$ 的底部，牆前土體提供被動土壓力來抵抗牆身的滑動。需要建立力平衡方程，確保牆身不會整體滑動。
  4. 確定反彎點 (Point of Contraflexure)： 由於牆前土體提供了被動阻力，這會限制牆身的變形，並在牆後和牆前土體之間產生一個反彎點。這個反彎點的位置會影響牆身的彎矩分佈。
  5. 計算最大彎矩 (Maximum Moment)： 根據土壓力分佈和反彎點的位置，計算牆身的最大彎矩 $M_{max}$。這個最大彎矩通常發生在開挖面附近。
  6. 驗算牆體強度： 使用計算出的最大彎矩 $M_{max}$，根據板樁材料的許用彎曲應力，驗算板樁的強度是否足夠。
  7. 驗算牆體位移： 根據牆身的剛度和土壓力的分佈，計算牆身的位移，確保其在允許範圍內。
  8. 調整插入深度： 如果在驗算過程中發現插入深度 $D'$ 不足（例如，滑動平衡不滿足，或最大彎矩過大），則需要增加插入深度，並重新進行計算，直至滿足所有要求。

• 安全係數考慮：

  1. 滑動安全係數 (Factor of Safety against Sliding)： 確保牆後土體提供的總推力小於牆前土體提供的總被動阻力，通常要求安全係數大於 1.5。
  2. 承載力安全係數 (Factor of Safety against Bearing Capacity Failure)： 牆底地基能夠承受牆身和土體傳來的荷載，要求安全係數大於 2.0 或 3.0。
  3. 彎矩強度安全係數 (Factor of Safety against Bending Failure)： 計算出的最大彎矩 $M_{max}$ 所對應的彎曲應力，必須小於材料的允許彎曲應力，即 $\sigma_{max} \le \frac{\sigma_{allowable}}{FS}$，其中 $FS$ 通常取 1.5 到 2.0。
  4. 整體穩定性安全係數 (Factor of Safety against Global Stability)： 需要進行邊坡穩定性分析，確保整個結構的整體穩定性。
  5. 土壓力安全係數： 有時也會對土壓力本身乘以一個安全係數，以考慮土體參數的不確定性。

(3) 黏土中懸臂式板樁牆的理論穿透深度 (D) 和最大彎矩 (Mmax) (10%)
對於圖 1 所示的懸臂式板樁牆，其後方為黏土，且 $\phi=0$（僅考慮凝聚力 $c$）。牆頂承受一個線荷載 $P$。

• 原理： 在 $\phi=0$ 的黏土中，土壓力分佈為：牆後為單向的拉應力（或壓縮應力，取決於牆的變形）與凝聚力相關，牆前為被動土壓力。由於是懸臂結構，牆身會向開挖側彎曲，牆後土體處於拉伸或低應力狀態，牆前土體則處於被動壓縮狀態。

• 土壓力計算：

  • 牆後土壓力：對於 $\phi=0$ 土壤，主動土壓力（開挖側）通常為 $p_a = \gamma z - 2c$ （但由於是懸臂牆，牆後土體受拉，牆前土體受壓，這裡的分析是基於牆前土體提供被動阻力）。更準確地說，對於懸臂牆，牆後土體處於「被動」狀態（相對於牆體向外變形），牆前土體處於「被動」狀態（抵抗牆體插入）。
  • 牆前土壓力（被動土壓力）：對於 $\phi=0$ 土壤，被動土壓力為 $p_p = \gamma z + 2c$。
  • 考慮線荷載 $P$ 的影響：線荷載 $P$ 會增加牆後的主動土壓力（或牆前被動土壓力）。

• 分析方法： 這種情況通常採用「擴大基礎法」或「固定土拱法」的變種進行分析，但這裡要求給出理論公式。對於 $\phi=0$ 的黏土，一個簡化的方法是考慮牆後土體和牆前土體的力平衡。

  • 假設牆身在開挖面以下有一個反彎點，並在牆底提供足夠的被動阻力。
  • 牆後土體提供的推力 $T_a$ 和牆前土體提供的被動阻力 $T_p$ 必須平衡。
  • 同時，牆身需要抵抗由土壓力產生的彎矩。

• 理論穿透深度 $D$：
  對於懸臂板樁牆在黏土中的分析，通常需要考慮牆後土體的拉力（或壓縮力）和牆前土體的被動阻力。
  根據文獻，對於在黏土中（$\phi=0$）的懸臂板樁牆，若牆頂承受線荷載 $P$，且牆前土體提供被動阻力，則其理論穿透深度 $D$ 通常與土的凝聚力 $c$ 和牆前土體的被動土壓力係數有關。
  一種簡化的理論是，牆前的被動土壓力強度為 $p_p = \gamma z + 2c$。為了維持平衡，牆的插入深度 $D$ 必須足夠大，以使牆前土體提供的總被動阻力能夠平衡牆後土體的推力（由荷載 $P$ 和牆後土體自重引起）以及牆身自身的彎矩。
  在這種情況下，通常會假設牆後土體在開挖面處的應力為 $\sigma_h = \gamma L_1 - 2c$ （這裡 $L_1$ 是開挖深度，圖中未標示，假設為 $L$）。
  牆前的被動土壓力為 $p_p = \gamma z + 2c$。
  若忽略線荷載 $P$ 的影響，僅考慮土體自重和凝聚力，則對於 $\phi=0$ 土壤，懸臂板樁牆的最小插入深度 $D$ 需滿足：
  $D \approx \frac{2c}{\gamma}$ （這是一個非常簡化的估算，僅考慮凝聚力。實際情況更複雜）。

核心觀念

本題考查淺基礎設計的兩項基本要求、平板載重試驗的尺寸效應，以及 Terzaghi、Meyerhof 極限承載力公式。

淺基礎承載力通常以：

• 總極限承載力 $q_u$：基礎達到剪力破壞時的基礎底面總應力。
• 淨極限承載力 $q_{nu}$：扣除原有覆土壓力 $q=\gamma D_f$ 後的極限承載力。

表示為：

$$q_{nu}=q_u-\gamma D_f$$

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（1）淺基礎設計的兩項主要要求

淺基礎設計必須同時滿足下列兩項要求：

1. 承載力安全要求

基礎底面下的土壤不得發生整體剪力破壞、局部剪力破壞或沖切破壞。設計承載壓力必須小於容許承載力：

$$q_{service}\leq q_{allow}$$

其中容許承載力通常由極限承載力除以安全係數取得。

2. 沉陷量在容許範圍內

基礎的總沉陷量與差異沉陷量均不得超過結構物可容許的限值。即使土壤尚未發生剪力破壞，若沉陷過大，仍會造成結構物使用功能或安全問題。

因此，淺基礎設計必須同時符合：

1. 不發生承載力破壞。
2. 沉陷量及差異沉陷量不超過容許值。

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（2）平板載重試驗與實際基礎的極限承載力關係

Terzaghi 極限承載力公式

以條形基礎為例，Terzaghi 極限承載力可寫成：

$$q_u=cN_c+\gamma D_fN_q+\frac{1}{2}\gamma BN_\gamma$$

其中：

• $c$：土壤黏聚力
• $\gamma$：土壤單位重
• $D_f$：埋置深度
• $B$：基礎寬度
• $N_c,N_q,N_\gamma$：承載力因子

平板載重試驗中的試驗板寬度為 $B_p$，實際基礎寬度為 $B_f$。

黏土：極限承載力大致與寬度無關

在不排水黏土中，通常採用：

$$\phi=0$$

此時：

$$N_q=1,\qquad N_\gamma=0$$

淨極限承載力為：

$$q_{nu}=cN_c$$

由於公式中不含基礎寬度 $B$，因此在相同土壤條件與相同埋置深度下：

$$q_{nu,f}\approx q_{nu,p}$$

也就是說，黏土中由平板載重試驗得到的極限承載力，可直接近似套用至實際基礎。

其理論原因是黏土在 $\phi=0$ 時，承載力主要由黏聚力項 $cN_c$ 控制，而此項不隨基礎寬度增加而增加。

砂土：極限承載力會隨基礎寬度增加

乾砂或排水砂土可視為：

$$c=0$$

其淨極限承載力為：

$$q_{nu}=\frac{1}{2}\gamma BN_\gamma$$

因此，實際基礎與試驗板的淨極限承載力關係為：

$$q_{nu,f} = q_{nu,p} + \frac{1}{2}\gamma N_\gamma(B_f-B_p)$$

若比較總極限承載力，且兩者埋置深度相同，則覆土壓力相同，因此同樣可寫成：

$$q_{u,f} = q_{u,p} + \frac{1}{2}\gamma N_\gamma(B_f-B_p)$$

因此，砂土中不能直接將小尺寸平板試驗結果套用於大型實際基礎；必須考慮基礎寬度所造成的尺寸效應。

其理論原因是砂土的極限承載力包含：

$$\frac{1}{2}\gamma BN_\gamma$$

此項與基礎寬度 $B$ 成正比，基礎越寬，極限承載力通常越大。

判斷重點

• 黏土：$N_\gamma=0$，極限承載力對 $B$ 不敏感。
• 砂土：$N_\gamma>0$，極限承載力會隨 $B$ 增加。
• 平板試驗結果外推至實際基礎時，砂土必須修正尺寸效應，黏土則可近似直接採用。

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（3）正方形基礎的淨極限承載力

已知條件

$$B=L=1.5\ \text{m}$$ $$D_f=1.0\ \text{m}$$ $$c_u=45\ \text{kPa}$$

因題目給定不排水剪力強度，採用黏土不排水分析：

$$\phi=0$$

因此：

$$N_q=1,\qquad N_\gamma=0$$

淨極限承載力只剩黏聚力項。

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A. Terzaghi（1943）

正方形基礎的 Terzaghi 承載力公式為：