109 年 國立成功大學土木工程系碩士班乙組《基礎工程》

核心觀念

本題考查三個重點：

1. 由三軸試驗結果利用莫爾－庫倫破壞準則求有效摩擦角 $\phi'$。
2. 由偏心距 $e=M/Q$ 判斷基礎底面是否與土壤分離。
3. 以 Meyerhof 有效面積法修正偏心荷載，再代入一般承載力公式。

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(1) 求有效摩擦角 $\phi'$

已知：

$$\sigma_3'=150\ \text{kN/m}^2$$ $$\sigma_1'-\sigma_3'=300\ \text{kN/m}^2$$

因此：

$$\sigma_1'=150+300=450\ \text{kN/m}^2$$

對於 $c'=0$ 的砂土，三軸壓縮試驗之破壞條件為：

$$\frac{\sigma_1'}{\sigma_3'} = \frac{1+\sin\phi'}{1-\sin\phi'}$$

代入試驗結果：

$$\frac{450}{150}=3 = \frac{1+\sin\phi'}{1-\sin\phi'}$$

整理得：

$$\sin\phi' = \frac{3-1}{3+1} = \frac{1}{2}$$

所以：

$$\boxed{\phi'=30^\circ}$$

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(2) 判斷是否發生基礎與土壤分離

依圖示，彎矩造成沿 $B$ 方向的偏心。偏心距為：

$$e=\frac{M}{Q} = \frac{50}{200} = 0.25\ \text{m}$$

矩形基礎不發生分離的條件為：

$$e\leq \frac{B}{6}$$

而：

$$\frac{B}{6} = \frac{2}{6} = 0.333\ \text{m}$$

因此：

$$e=0.25<0.333=\frac{B}{6}$$

基礎底面仍可維持全接觸，不會與土壤分離。

亦可由底面最小接觸壓力驗算：

$$q_{\min} = \frac{Q}{BL} \left(1-\frac{6e}{B}\right)$$ $$q_{\min} = \frac{200}{2\times2} \left(1-\frac{6(0.25)}{2}\right) = 50(0.25) = 12.5\ \text{kN/m}^2>0$$

故確定不發生分離。

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(3) 以 Meyerhof 有效面積法檢核承載力

題圖未明列長期承載力所要求的安全係數，以下依基礎工程常用值取 $FS_{\rm req}=3$。

有效基礎尺寸

Meyerhof 有效面積法中：

$$B'=B-2e$$ $$B'=2-2(0.25)=1.5\ \text{m}$$

彎矩只沿 $B$ 方向作用，因此：

$$L'=L=2\ \text{m}$$

有效面積為：

$$A'=B'L'=1.5\times2=3.0\ \text{m}^2$$

一般承載力公式

此題主要考驗基礎工程中關於地基壓力計算、應力擴散（2:1法）及沉陷計算（特別是壓密沉陷）等觀念。

核心觀念：

1. 平均淨基底壓力： 計算由基礎結構施加於地盤上的淨壓力。
2. 應力擴散 (2:1 Method)： 估算基礎載重在地盤下傳遞時，增加的應力。
3. 壓密沉陷計算： 根據土壤參數（壓縮指標、初始應力、應力增量）計算由於土壤體積變化引起的沉陷。

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(1) 計算基礎引起的平均淨壓力 (Average Net Pressure) (5%)

已知條件：

• 基礎尺寸：$B \times L = 6 \, \text{m} \times 12 \, \text{m}$。
• 載重：$Q = 20 \, \text{MN}$。

首先，將載重單位統一。1 MN = 1000 kN。
$Q = 20 \times 1000 \, \text{kN} = 20000 \, \text{kN}$。

基礎面積 $A = B \times L = 6 \, \text{m} \times 12 \, \text{m} = 72 \, \text{m}^2$。

平均基底壓力 $q_{avg} = \frac{Q}{A} = \frac{20000 \, \text{kN}}{72 \, \text{m}^2} \approx 277.78 \, \text{kN/m}^2$。

此處計算的是「平均基底壓力」，題目要求的是「平均淨壓力」。
淨壓力 (Net Pressure) 是指基礎施加於地盤上的「額外」壓力，不包含地盤本身的重量（即覆土壓力）。
由於題目未提及基礎上方結構的重量，且圖示顯示基礎位於地表，通常我們計算的是由基礎載重 $Q$ 引起的壓力。
如果題目要求的是「平均淨基底壓力」，通常是 $q_{net} = q_{gross} - \gamma_{soil} D_f$。
但在此情況下，基礎是在地表，且未提及基礎版自身的重量或上部結構的重量，所以我們將 $Q$ 視為施加在土壤上的總壓力。

若題目意指「平均淨壓力」是相對於地表土壓力，則：
頂層為砂土，$\gamma = 16 \, \text{kN/m}^3$，地下水位在頂層。
因此，頂層砂土的有效單位重 $\gamma' = \gamma_{sat} - \gamma_w = 16 - 9.81 \approx 6.19 \, \text{kN/m}^3$ (若地下水位在頂部，則頂層砂土的有效單位重應計算)。
但是，圖示顯示地下水位線在頂層砂土上方，且頂層砂土的單位重直接給為 16 kN/m³。這表示這 16 kN/m³ 已經是飽和單位重或總單位重。
若 16 kN/m³ 是總單位重，且地下水位在頂部，則有效單位重為 $16 - 9.81 = 6.19 \, \text{kN/m}^3$。
然而，更常見的理解是，如果地下水位在頂層，且頂層單位重為 $\gamma_{sat}$，則其有效單位重為 $\gamma_{sat} - \gamma_w$。
若 16 kN/m³ 是總單位重，且地下水位在頂部，則此處土層的有效單位重為 $16 - 9.81 = 6.19 \, \text{kN/m}^3$。
但題目給的單位重是 $\gamma = 16 \, \text{kN/m}^3$，這通常指的是乾重或飽和重，且地下水位在頂部。
如果 16 kN/m³ 是飽和單位重，則有效單位重為 $16 - 9.81 = 6.19 \, \text{kN/m}^3$。
如果 16 kN/m³ 是總單位重，則有效單位重為 $16 - 9.81 = 6.19 \, \text{kN/m}^3$。

常見的理解是：

• 若地下水位在頂層砂土之上，則該層砂土為乾燥或潮濕，使用給定的 $\gamma$。
• 若地下水位在頂層砂土之下，則該層砂土為飽和，使用 $\gamma_{sat}$，並計算有效單位重。
• 若地下水位在頂層砂土之中，則該層砂土的上部為乾燥/潮濕，下部為飽和。

圖示顯示地下水位線在頂層砂土的頂部（地面）。這意味著整個 3m 厚的頂層砂土都是飽和的。
所以，頂層砂土的有效單位重 $\gamma'_{sand1} = \gamma_{sat} - \gamma_w = 16 - 9.81 = 6.19 \, \text{kN/m}^3$。
（如果 16 kN/m³ 是總單位重，則有效單位重是 $16-9.81=6.19$）
（如果 16 kN/m³ 是飽和單位重，則有效單位重是 $16-9.81=6.19$）

若題目問「平均淨壓力」，則是指基礎載重 $Q$ 造成的壓力，不包含基礎上方土壤的壓力。
$q_{net} = q_{avg} = 277.78 \, \text{kN/m}^2$。

但是，如果題目要求的是「平均淨基底壓力」，則需要扣除基礎埋深處的土壓力。
基礎埋深 $D_f = 3 \, \text{m}$ (頂層砂土厚度)。
頂層砂土的有效單位重 $\gamma'_{sand1} = 16 - 9.81 = 6.19 \, \text{kN/m}^3$。
覆土壓力 $q = \gamma'_{sand1} \times D_f = 6.19 \, \text{kN/m}^3 \times 3 \, \text{m} = 18.57 \, \text{kN/m}^2$。

平均淨基底壓力 $q_{net} = q_{avg} - q = 277.78 \, \text{kN/m}^2 - 18.57 \, \text{kN/m}^2 = 259.21 \, \text{kN/m}^2$。

通常，題目中的 "average net pressure on soil caused by the mat foundation" 指的是 $q_{net}$。
所以，我們計算 $q_{net}$。

【答案】平均淨壓力 $q_{net} = 259.21 \, \text{kN/m}^2$。

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(2) 使用 2:1 法估算黏土層中點的應力增量 (Stress Increase) (10%)

已知條件：

• 基礎尺寸：$B \times L = 6 \, \text{m} \times 12 \, \text{m}$。
• 基礎淨壓力：$q_{net} = 259.21 \, \text{kN/m}^2$ (從第一小題計算)。
• 土層厚度：頂層砂土 3m，中層砂土 4m，黏土層 4m。
• 目標點：黏土層中點。

2:1 法假設應力是以 45 度角擴散，即在深度 $z$ 處，應力擴散的面積為 $(B+z)(L+z)$。
但更常見的 2:1 法是：在深度 $z$ 處，應力擴散的面積為 $(B+2z)(L+2z)$。
即，應力擴散的邊長每增加 $z$ 的深度，寬度增加 $2z$，長度增加 $2z$。

我們需要計算黏土層中點的應力增量。
黏土層總厚度為 4m。
黏土層中點的深度 $z_{mid}$ 相對於基礎底面：
$z_{mid} = \text{頂層砂土厚} + \text{中層砂土厚} + \frac{\text{黏土層厚}}{2}$
$z_{mid} = 3 \, \text{m} + 4 \, \text{m} + \frac{4 \, \text{m}}{2} = 3 + 4 + 2 = 9 \, \text{m}$。

在深度 $z = 9 \, \text{m}$ 處，應力擴散的面積尺寸為：
寬度 $B_z = B + 2z = 6 \, \text{m} + 2 \times 9 \, \text{m} = 6 + 18 = 24 \, \text{m}$。
長度 $L_z = L + 2z = 12 \, \text{m} + 2 \times 9 \, \text{m} = 12 + 18 = 30 \, \text{m}$。

在深度 $z$ 處的應力增量 $\Delta \sigma_z$ 為：
$\Delta \sigma_z = q_{net} \times \frac{B \times L}{(B+2z)(L+2z)}$
$\Delta \sigma_{9m} = 259.21 \, \text{kN/m}^2 \times \frac{6 \, \text{m} \times 12 \, \text{m}}{(24 \, \text{m}) \times (30 \, \text{m})}$
$\Delta \sigma_{9m} = 259.21 \times \frac{72}{720}$
$\Delta \sigma_{9m} = 259.21 \times 0.1 = 25.921 \, \text{kN/m}^2$。

核心觀念

本題考查懸臂式擋土牆的：

1. Rankine 主動土壓力；
2. 主動土壓造成的傾覆力矩；
3. 抗傾覆安全係數；
4. 抗滑安全係數；
5. Coulomb 土壓理論中的牆背摩擦角與滑動面摩擦角。

採用每公尺牆長計算，並依題意忽略牆前被動土壓力 $P_p$。

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幾何與重量計算

由圖可得：

• 基礎底板寬度
  $B=x_4+x_2+x_1+x_3+x_5=1+1.5+1+1.5+1=6\ \text{m}$
• 牆身底部厚度
  $x_2+x_1+x_3=4\ \text{m}$
• 牆身頂部厚度
  $x_1=1\ \text{m}$
• 牆高 $H=8\ \text{m}$
• 基礎底板厚度 $x_6=D?$ 圖中基礎厚度為 $1\ \text{m}$，題目另給的 $D=2\ \text{m}$ 為牆前埋置深度。

1. 基礎底板重量

$W_b=6(1)(24)=144\ \text{kN/m}$

其重心距牆趾：

$\bar{x}_b=3\ \text{m}$

2. 牆身重量

牆身為梯形，其截面積為：

$A_s=\frac{1+4}{2}(8)=20\ \text{m}^2$

因此：

$W_s=20(24)=480\ \text{kN/m}$

牆身左右對稱，重心距牆趾：

$\bar{x}_s=3\ \text{m}$

3. 牆後覆土重量

牆後覆土位於寬度 $x_5=1\ \text{m}$ 的基礎上：

$W_q=(1)(8)(16.5)=132\ \text{kN/m}$

其重心距牆趾：

$\bar{x}_q=5.5\ \text{m}$

總豎向重量：

$W=144+480+132=756\ \text{kN/m}$

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(1) Rankine 主動土壓力

因為背填土之黏聚力 $c'_1=0$，Rankine 主動土壓係數為：

$K_a=\frac{1-\sin\phi'_1}{1+\sin\phi'_1}$

代入 $\phi'_1=35^\circ$：

$$K_a=\frac{1-\sin35^\circ}{1+\sin35^\circ} \approx 0.271$$

主動土壓力呈三角形分布，因此每公尺牆長的主動合力為：

$P_a=\frac{1}{2}K_a\gamma_1H^2$

$P_a=\frac{1}{2}(0.271)(16.5)(8^2)$

$\boxed{P_a\approx143.1\ \text{kN/m}}$

其作用點位於牆底以上：

$\frac{H}{3}=\frac{8}{3}=2.667\ \text{m}$

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(2) 對牆趾的傾覆力矩

主動土壓為水平力，作用點距牆底 $H/3$，故：

$M_o=P_a\frac{H}{3}$

$M_o=(143.1)\left(\frac{8}{3}\right)$

$\boxed{M_o\approx381.6\ \text{kN}\cdot\text{m/m}}$

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(3) 抗傾覆安全係數

各豎向重量對牆趾的抗傾覆力矩如下：

基礎底板

$M_b=W_b\bar{x}_b=(144)(3)=432\ \text{kN}\cdot\text{m/m}$

牆身