113 年 國立成功大學土木工程系碩士班甲組《結構學》

核心觀念

彎矩圖的判定依據如下：

• 集中力使彎矩圖呈線性變化。
• 集中偶矩使彎矩圖產生跳躍，且跳躍量等於偶矩大小。
• 內鉸處彎矩必為 $0$。
• 滾輪或鉸支承若無外加偶矩，支承截面彎矩為 $0$。
• 力若沿構件軸線作用，只產生軸力，不產生彎矩。
• 剛接節點必須滿足節點彎矩平衡。
• 「所有構件軸向剛性無限大」只能消除軸向變形；若結構靜不定，仍需知道 $EI$ 或各構件剛度比才能求出唯一反力與彎矩值。

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(a)

圖示為 $A$ 固定端、$D$ 滾輪支承，$B$、$C$ 為剛接，故此結構為一次靜不定結構。

令 $D$ 點豎向反力為 $R_D$，取向上為正。

由下方水平構件 $CD$ 取 $D$ 點彎矩為零，可得 $C$ 點彎矩大小：

$$M_C^{(CD)}=6R_D$$

因為 $BC$ 無橫向分布力，其彎矩圖為常數，因此：

$$M_B^{(BC)}=M_C^{(BC)}=6R_D$$

在 $B$ 點，構件 $AB$ 與 $BC$ 剛接，故兩構件端彎矩互相平衡。$AB$ 構件兩端彎矩大小分別為：

$$M_B^{(AB)}=6R_D$$

整體對 $A$ 點取力矩：

$$M_A+6R_D+20(6)=0$$

因此 $A$ 端彎矩大小為：

$$|M_A|=120+6R_D$$

所以彎矩圖形狀為：

• $AB$：由 $A$ 端的 $120+6R_D$ 線性變化至 $B$ 端的 $6R_D$。
• $BC$：全段為常數彎矩 $6R_D$。
• $CD$：由 $C$ 端的 $6R_D$ 線性變化至 $D$ 端的 $0$。

然而，$R_D$ 必須由變形相容條件求得；題目未提供各構件的 $EI$ 或剛度比，因此無法得到唯一的數值峰值。

【答案】(a) 彎矩圖為「$AB$ 線性、$BC$ 矩形、$CD$ 線性」，其數值依 $R_D$ 而定：

$$M_A=120+6R_D,\qquad M_B=M_C=6R_D,\qquad M_D=0$$

題目若要求唯一數值答案，尚缺各構件的彎曲剛度 $EI$。

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(b)

$B$ 點為內鉸，因此垂直構件 $EB$ 的 $B$ 端彎矩為零。構件 $EB$ 無外力，且 $E$ 端雖固定，整支構件仍無彎曲作用，故：

$$M_{EB}=0$$

水平梁 $AD$ 為簡支梁，總長度為：

$$L=3+2+2=7\text{ m}$$

$20\text{ kN}$ 荷載作用於距離 $A$ 點 $5\text{ m}$ 的 $C$ 點。

由靜力平衡：

$$R_A+R_D=20$$

對 $A$ 點取力矩：

$$7R_D-20(5)=0$$

因此：

$$R_D=\frac{100}{7}\text{ kN}$$ $$R_A=\frac{40}{7}\text{ kN}$$

各控制點彎矩為：

$$M_A=0$$ $$M_B=R_A(3) =\frac{120}{7} \approx17.14\text{ kN}\cdot\text{m}$$ $$M_C=R_A(5) =\frac{200}{7} \approx28.57\text{ kN}\cdot\text{m}$$ $$M_D=0$$

因此彎矩圖為：

• $AB$：由 $0$ 線性上升至 $\dfrac{120}{7}$。
• $BC$：由 $\dfrac{120}{7}$ 線性上升至 $\dfrac{200}{7}$。
• $CD$：由 $\dfrac{200}{7}$ 線性下降至 $0$。
• $EB$：全段彎矩為 $0$。

【答案】(b)

$$M_A=0,\qquad M_B=\frac{120}{7},\qquad M_C=\frac{200}{7},\qquad M_D=0$$

單位均為 $\text{kN}\cdot\text{m}$，且 $EB$ 全段為零彎矩。

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(c)

$B$ 點為內鉸，因此：

$$M_B=0$$

左側構件 $AB$ 沒有外力，且 $B$ 為內鉸，所以：

$$M_{AB}=0$$

核心觀念

• $AC$、$BD$ 為下端固定、上端可轉動的懸臂構件，水平位移來自彎曲變形。
• 長度為 $L$ 的懸臂構件，若頂端受水平力 $V$，其頂端位移為

$$\delta=\frac{VL^3}{3EI}$$

因此：

$$k_{AC}=\frac{3EI}{L^3},\qquad k_{BD}=\frac{3(2EI)}{L^3}=\frac{6EI}{L^3}$$

• $AB$ 為桁架構件，只承受軸力，其軸向伸長為

$$\Delta_{AB}=\frac{Ns}{EA}$$

其中 $N$ 為桁架拉力。

解題方法

設 $AB$ 受拉力 $N$。

在 $A$ 點，桁架拉力使左側構件 $AC$ 頂端向右位移：

$$u_A=\frac{NL^3}{3EI}$$

在 $B$ 點，外力 $P$ 與桁架拉力 $N$ 共同作用於右側構件，因此 $BD$ 所承受的水平力為 $P-N$，故

$$u_B=\frac{(P-N)L^3}{6EI}$$

桁架的伸長等於兩端水平位移差：

$$u_B-u_A=\frac{Ns}{EA}$$

代入前述位移關係：

$$\frac{(P-N)L^3}{6EI} -\frac{NL^3}{3EI} =\frac{Ns}{EA}$$

核心觀念

本題考查：

1. 固定端梁受集中力時的撓度。
2. 梁與桁架接觸前後的分段受力行為。
3. 由單位荷重法建立梁的柔度係數。
4. 兩支 $45^\circ$ 桿件組成之桁架的垂直等效剛度。
5. 接觸條件與位移相容條件。

梁的幾何位置為：

$$L=11\,\text{m}=11000\,\text{mm},\qquad AE=2\,\text{m}=2000\,\text{mm},\qquad AB=7\,\text{m}=7000\,\text{mm}$$

因此 $BC=4\,\text{m}$。

材料與截面性質為：

$$EI=200000(150\times10^6) =3.0\times10^{13}\,\text{N}\cdot\text{mm}^2$$

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一、梁的柔度係數

固定端梁長度為 $L$，集中力作用於距左端 $a$ 處，$b=L-a$。在距左端 $x$ 處的撓度公式為：

$$\delta(x) = \frac{Pbx}{6LEI} \left(L^2-b^2-x^2\right), \qquad x\leq a$$

以及

$$\delta(x) = \frac{Pa(L-x)}{6LEI} \left[L^2-a^2-(L-x)^2\right], \qquad x\geq a$$

令 $P$ 作用於 $B$ 點，則 $a=7000$ mm、$b=4000$ mm。

$B$ 點的柔度係數為：

$$f_{BB} = \frac{a^2b^2}{3LEI} = 0.791919\ \text{mm/kN}$$

因此接觸前：

$$\Delta_B=f_{BB}P$$

$E$ 點的位移為：

$$f_{EB} = \frac{(4000)(2000)} {6(11000)(3.0\times10^{13})} \left(11000^2-4000^2-2000^2\right)$$

換算成 $\text{mm/kN}$：

$$f_{EB}=0.408081\ \text{mm/kN}$$

若單獨在 $E$ 點施加單位力，則：

$$f_{EE} = \frac{(2000)^2(9000)^2} {3(11000)(3.0\times10^{13})} = 0.327273\ \text{mm/kN}$$

由互等定理：

$$f_{BE}=f_{EB}=0.408081\ \text{mm/kN}$$

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二、桁架的垂直剛度

兩根桿件 $DE'$、$FE'$ 長度皆為：

$$\ell=\sqrt{2^2+2^2}\,\text{m} =2\sqrt{2}\,\text{m} =2828.43\,\text{mm}$$

每根桿件的軸向剛度為：

$$\frac{EA}{\ell} = \frac{(200000)(500)}{2828.43} = 35355.3\,\text{N/mm}$$

頂點 $E'$ 的垂直位移會使兩桿各產生 $45^\circ$ 方向的變形，因此桁架垂直等效剛度為：

$$k_t = 2\left(\frac{EA}{\ell}\right)\sin^2 45^\circ = \frac{EA}{\ell} = 35.3553\,\text{kN/mm}$$

故桁架頂點的下沉量為：

$$\delta_{E'}=\frac{Q}{k_t}$$

其中 $Q$ 為接觸後梁施加於桁架的向下接觸力。

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三、接觸前

接觸前，梁與桁架尚未接觸，故：

$$\Delta_E=f_{EB}P$$

接觸發生時，$E$ 點向下位移達到間隙 $5$ mm：

$$f_{EB}P_c=5$$

因此：

$$P_c=\frac{5}{0.408081} =12.2525\,\text{kN}$$

核心觀念

本題考查懸臂外伸梁的撓度相容條件，以及彎矩—曲率關係：

$$EI\frac{d^2v}{dx^2}=M(x)$$

其中 $v$ 取向上為正。支承點 $A、B$ 的垂直位移皆為零，但外伸端 $C$ 會因 $B$ 點轉角及 $BC$ 段彎曲而產生位移。

本題沒有水平外力，因此梁內軸力為零，截面積 $A$ 不影響本題結果。

解題方法

令

$$L=AB=5\text{ m},\qquad b=BC=4\text{ m},\qquad w=12\text{ kN/m}$$

其中 $P$ 方向向下。

由整體靜力平衡：

$$R_B(5)=w(5)(2.5)+P(9)$$

因此

$$R_B=30+1.8P$$ $$R_A=w(5)+P-R_B=30-0.8P$$

在 $AB$ 段，距離 $A$ 為 $x$ 的彎矩為

$$M(x)=R_Ax-\frac{wx^2}{2}$$

由兩端 $A、B$ 位移皆為零，可得 $B$ 點轉角

$$\theta_B=\frac{1}{EI\,L}\int_0^L xM(x)\,dx$$

代入 $M(x)$：

$$\theta_B =\frac{1}{EI}\left(\frac{R_AL^2}{3}-\frac{wL^3}{8}\right)$$

代入 $R_A=30-0.8P$、$L=5$、$w=12$：

核心觀念

本題為平面剛架位移分析，結構為：

• $AB$：長度 $4\,\text{m}$ 的垂直柱，底端 $A$ 固定。
• $BC$：長度 $3\,\text{m}$ 的水平梁，$C$ 點為滾輪支承，可水平移動但垂直位移為零。
• $C$ 點受水平力 $P=20\,\text{kN}$。
• $E=200\,\text{GPa}$、$I=180\times10^6\,\text{mm}^4$。
• $A=600\,\text{mm}^2$。

採用單位荷重法：

$$\delta=\int\frac{Mm}{EI}\,ds+\int\frac{Nn}{EA}\,ds$$

其中第一項為彎曲變形，第二項為軸向變形。

令：

$$h=4000\,\text{mm},\qquad L=3000\,\text{mm}$$ $$EI=200000(180\times10^6) =3.6\times10^{13}\,\text{N}\cdot\text{mm}^2$$ $$EA=200000(600) =1.2\times10^8\,\text{N}$$

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解題方法

由於 $C$ 點垂直位移受滾輪限制，先以 $C$ 點垂直反力 $R_C$ 作為多餘未知力。

1. 由垂直位移相容條件求 $R_C$

在 $C$ 點施加單位垂直力，則各桿件的虛擬內力如下：

• $AB$ 桿虛擬彎矩：$m_{AB}=3$
• $BC$ 桿虛擬彎矩：$m_{BC}=L-x$
• $AB$ 桿虛擬軸力：$n_{AB}=1$

實際荷重造成的內力：

• $AB$ 桿彎矩：

$$M_{AB}=P(h-y)+3R_C$$

• $BC$ 桿彎矩：

$$M_{BC}=R_C(L-x)$$

• $AB$ 桿軸力：$N_{AB}=R_C$

因此，$C$ 點垂直位移為

$$\delta_{Cy} = \frac{1}{EI} \left[ \int_0^h 3\{P(h-y)+3R_C\}\,dy + \int_0^L R_C(L-x)^2\,dx \right] + \frac{R_Ch}{EA}$$

因為 $C$ 點垂直位移為零：

$$0= \frac{1}{EI} \left[ \frac{3Ph^2}{2} +9R_Ch +\frac{R_CL^3}{3} \right] +\frac{R_Ch}{EA}$$

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(a) 所有構件軸向剛性，忽略軸向變形

此時 $EA\to\infty$，故

$$0= \frac{1}{EI} \left[ \frac{3Ph^2}{2} +R_C\left(9h+\frac{L^3}{3}\right) \right]$$

所以

$$R_C = -\frac{3Ph^2/2}{9h+L^3/3}$$

代入數值：

$$R_C = -\frac{3(20000)(4000)^2/2} {9(4000)+(3000)^3/3}$$ $$R_C=-53.33\,\text{N}$$

負號表示實際反力方向與假設方向相反。

求 $C$ 點水平位移