113 年 國立成功大學水利及海洋工程學系碩士班乙組《工程數學》

核心觀念

本題考查向量微積分中的兩個乘法法則：

1. 梯度的商法則：對純量函數 $f,g$ 逐分量微分。
2. 散度的乘積法則：將散度定義展開，再對每一分量使用一維乘法法則。

設 $f=f(x_1,\ldots,x_n)$、$g=g(x_1,\ldots,x_n)$ 為可微純量函數，且 $g\neq 0$；設

$$\mathbf v=(v_1,\ldots,v_n)$$

為可微向量函數。

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(1) 證明梯度的商法則

梯度定義為

$$\nabla h = \left( \frac{\partial h}{\partial x_1}, \frac{\partial h}{\partial x_2}, \ldots, \frac{\partial h}{\partial x_n} \right).$$

令

$$h=\frac{f}{g}.$$

對任意變數 $x_i$ 微分。由純量函數的商法則，

$$\frac{\partial}{\partial x_i}\left(\frac{f}{g}\right) = \frac{ g\frac{\partial f}{\partial x_i} - f\frac{\partial g}{\partial x_i} }{g^2}.$$

因此，

$$\nabla\left(\frac{f}{g}\right) = \left( \frac{ g f_{x_1}-f g_{x_1} }{g^2}, \ldots, \frac{ g f_{x_n}-f g_{x_n} }{g^2} \right).$$

因為 $g^2$ 是純量，可提出向量之外，故

$$\nabla\left(\frac{f}{g}\right) = \frac{1}{g^2} \left[ g \left( f_{x_1},\ldots,f_{x_n} \right) - f \left( g_{x_1},\ldots,g_{x_n} \right) \right].$$

利用

$$\nabla f=(f_{x_1},\ldots,f_{x_n}), \qquad \nabla g=(g_{x_1},\ldots,g_{x_n}),$$

得到

$$\boxed{ \nabla\left(\frac{f}{g}\right) = \frac{g\nabla f-f\nabla g}{g^2} }.$$

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(2) 證明散度的乘積法則

散度定義為

$$\operatorname{div}\mathbf v = \nabla\cdot\mathbf v = \sum_{i=1}^{n} \frac{\partial v_i}{\partial x_i}.$$

對向量函數 $f\mathbf v$ 而言，

$$f\mathbf v=(fv_1,\ldots,fv_n).$$

因此，

$$\operatorname{div}(f\mathbf v) = \sum_{i=1}^{n} \frac{\partial(fv_i)}{\partial x_i}.$$

對每一項使用乘法法則：

$$\frac{\partial(fv_i)}{\partial x_i} = v_i\frac{\partial f}{\partial x_i} + f\frac{\partial v_i}{\partial x_i}.$$

代回散度式：

核心觀念

本題考查矩陣的秩與正交矩陣：

• $2\times 2$ 矩陣的行列式不為 $0$ 時，矩陣可逆，故秩為 $2$。
• 若行列式為 $0$，再檢查矩陣是否為零矩陣，即可判斷秩為 $1$ 或 $0$。
• 實矩陣 $A$ 為正交矩陣的定義為
  $A^{T}A=I,$
  等價於矩陣的各欄向量皆為單位向量，且彼此正交。

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（1）矩陣秩與 $p$ 的關係

給定

$$A= \begin{bmatrix} 1 & 4\\ 1-p & p \end{bmatrix}.$$

計算行列式：

$$\det(A) = 1\cdot p-4(1-p) = p-4+4p = 5p-4.$$

當 $5p-4\neq 0$

亦即

$$p\neq \frac45,$$

此時 $\det(A)\neq 0$，矩陣 $A$ 可逆，因此

$$\operatorname{rank}(A)=2.$$

當 $5p-4=0$

亦即

$$p=\frac45,$$

此時

$$A= \begin{bmatrix} 1 & 4\\[2pt] \frac15 & \frac45 \end{bmatrix}.$$

第二列為第一列的 $\frac15$ 倍：

$$\left(\frac15,\frac45\right) = \frac15(1,4).$$

因此矩陣的兩列線性相依，且矩陣並非零矩陣，所以

$$\operatorname{rank}(A)=1.$$

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（2）矩陣為正交矩陣的條件

給定

$$A= \begin{bmatrix} -q & p\\ 1 & -q \end{bmatrix},$$

其轉置為

$$A^T= \begin{bmatrix} -q & 1\\ p & -q \end{bmatrix}.$$

計算 $A^TA$：

核心觀念

本題考察二階常係數非齊次線性微分方程：

$$ay''+by'+cy=f(x).$$

完整解由兩部分組成：

$$y=y_h+y_p,$$

其中：

• $y_h$：齊次方程的通解；
• $y_p$：非齊次方程的一組特解。

齊次解由特徵方程求得；特解則依右側函數形式使用待定係數法。

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（1）求 $y''+y=\cos x$ 的通解

1. 求齊次解

先考慮齊次方程：

$$y''+y=0.$$

其特徵方程為

$$r^2+1=0,$$

因此

$$r=\pm i.$$

所以齊次解為

$$y_h=C_1\cos x+C_2\sin x.$$

2. 求特解

右側為 $\cos x$，但 $\cos x$、$\sin x$ 已經出現在齊次解中，因此發生共振，待定係數形式必須乘上 $x$：

$$y_p=Ax\sin x.$$

微分得

$$y_p'=A\sin x+Ax\cos x,$$ $$y_p''=2A\cos x-Ax\sin x.$$

代回原方程：

$$y_p''+y_p = 2A\cos x-Ax\sin x+Ax\sin x = 2A\cos x.$$

與右側 $\cos x$ 比較：

$$2A=1, \qquad A=\frac12.$$

故

$$y_p=\frac{x}{2}\sin x.$$

3. 合併通解

因此通解為

$$\boxed{ y=C_1\cos x+C_2\sin x+\frac{x}{2}\sin x }.$$

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（2）求 $y''+2y'+y=2x\cos x$ 的通解

1. 求齊次解

先考慮齊次方程：

$$y''+2y'+y=0.$$

特徵方程為

$$r^2+2r+1=0 = (r+1)^2.$$

因此有重根 $r=-1$，齊次解為

$$y_h=(C_1+C_2x)e^{-x}.$$

2. 設定特解形式

右側為一次多項式乘上 $\cos x$：

$$2x\cos x.$$

由於特徵根為 $-1$，而 $\cos x$ 對應複數根 $\pm i$，兩者不重合，因此不需額外乘上 $x$。

設

$$y_p=(Ax+B)\cos x+(Cx+D)\sin x.$$

直接代入計算較繁瑣，可利用複數法。令

$$2x\cos x=\operatorname{Re}\left(2xe^{ix}\right),$$

並設複數特解為

$$Y=e^{ix}v(x),$$

其中 $v(x)$ 為一次多項式。

微分運算可寫成

$$(D+1)^2Y = e^{ix}(D+1+i)^2v,$$

所以需解

核心觀念

本題分為兩部分：

1. Green 定理：將平面閉曲線上的線積分轉換為區域上的二重積分：

$$\oint_C P\,dx+Q\,dy =\iint_D\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)dA$$

其中 $C$ 必須採取逆時針正向，$D$ 為 $C$ 所圍成的區域。

2. 向量場的曲面通量積分：對曲面 $S$ 計算
   $\iint_S\mathbf F\cdot\mathbf n\,dS$
   其中 $\mathbf n$ 為曲面的單位外法向量。

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（1）驗證 Green 定理

已知

$\mathbf F=[P,Q]=[y,-x]$

因此

$P=y,\qquad Q=-x$

曲線 $C$ 為單位圓

$x^2+y^2=1$

其內部區域為單位圓盤 $D$。

以 Green 定理計算

先計算偏微分：

$$\frac{\partial Q}{\partial x}=-1,\qquad \frac{\partial P}{\partial y}=1$$

所以

$$\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y} =-1-1=-2$$

由 Green 定理，

$$\oint_C y\,dx-x\,dy =\iint_D(-2)\,dA$$

單位圓盤面積為 $\pi$，因此

$$\oint_C y\,dx-x\,dy=-2\pi$$

直接參數化驗證

取逆時針方向參數化：

$$x=\cos t,\qquad y=\sin t,\qquad 0\le t\le 2\pi$$

則

$$dx=-\sin t\,dt,\qquad dy=\cos t\,dt$$

線積分為

$$\begin{aligned} \oint_C y\,dx-x\,dy &=\int_0^{2\pi} \left(\sin t(-\sin t)-\cos t(\cos t)\right)dt\\ &=\int_0^{2\pi}-(\sin^2t+\cos^2t)\,dt\\ &=\int_0^{2\pi}-1\,dt\\ &=-2\pi \end{aligned}$$

兩種方法結果一致，故 Green 定理在此例中驗證成立：

$$\boxed{\oint_C y\,dx-x\,dy=-2\pi}$$

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（2）計算第一卦限球面上的通量積分

球面為

$$x^2+y^2+z^2=1,\qquad x,y,z\ge 0$$

即單位球面的第一卦限部分。向量場為

$$\mathbf F=[0,x,0]$$

此處的曲面積分解讀為向量場穿過球面的外向通量：

$$\iint_S\mathbf F\cdot\mathbf n\,dS$$

方法一：球面座標直接計算

使用球面座標：