112 年 國立成功大學水利及海洋工程學系碩士班乙組《工程數學》

核心觀念

本題考察二階常係數齊次線性微分方程：

$$a y''+b y'+c y=0.$$

其特徵方程為

$$a r^2+b r+c=0.$$

根的型態決定通解：

• 相異實根 $r_1,r_2$：

$$y=C_1e^{r_1x}+C_2e^{r_2x}$$

• 重根 $r$：

$$y=(C_1+C_2x)e^{rx}$$

• 共軛複根 $\alpha\pm i\beta$：

$$y=e^{\alpha x}\left(C_1\cos\beta x+C_2\sin\beta x\right)$$

其中 $C_1,C_2$ 為任意常數。

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解題方法

原方程為

$$y''(x)+4\pi y'(x)+4\pi^2y(x)=0.$$

因為方程是常係數齊次線性微分方程，設解為

$$y(x)=e^{rx},$$

其中 $r$ 為待定常數。則

$$y'(x)=re^{rx},\qquad y''(x)=r^2e^{rx}.$$

代入原方程：

$$r^2e^{rx}+4\pi re^{rx}+4\pi^2e^{rx}=0.$$

因為 $e^{rx}\neq 0$，可除以 $e^{rx}$，得到特徵方程：

$$r^2+4\pi r+4\pi^2=0.$$

將左側因式分解：

$$r^2+4\pi r+4\pi^2=(r+2\pi)^2.$$

因此

$$(r+2\pi)^2=0,$$

得到二重根

$$r=-2\pi.$$

對於二重根 $r=-2\pi$，兩個線性獨立解為

$$y_1(x)=e^{-2\pi x},$$

以及

$$y_2(x)=xe^{-2\pi x}.$$

因此通解為

$$\boxed{y(x)=C_1e^{-2\pi x}+C_2xe^{-2\pi x}}.$$

也可寫成

$$\boxed{y(x)=(C_1+C_2x)e^{-2\pi x}}.$$

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直接驗算

令

$$y=(C_1+C_2x)e^{-2\pi x}.$$

先求一階導數：

$$\begin{aligned} y' &=C_2e^{-2\pi x}+(C_1+C_2x)(-2\pi)e^{-2\pi x}\\ &=\left[C_2-2\pi(C_1+C_2x)\right]e^{-2\pi x}. \end{aligned}$$

再求二階導數。令

$$A(x)=C_2-2\pi(C_1+C_2x),$$

則

核心觀念

本題考查二階常係數非齊次線性微分方程：

$$y''-2y'=6e^{2x}-4e^{-2x},$$

並利用初始條件

$$y(0)=-1,\qquad y'(0)=6$$

求出唯一解。

解題重點包括：

1. 先求齊次解 $y_h$。
2. 依右側外力項的形式設非齊次特解 $y_p$。
3. 注意 $e^{2x}$ 與齊次解中的 $e^{2x}$ 重複，因此必須乘上 $x$，這就是共振情形。
4. 將初始條件代入，求出任意常數。

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解題方法

將方程寫成

$$Ly=y''-2y'=6e^{2x}-4e^{-2x}.$$

完整解為

$$y=y_h+y_p.$$

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一、求齊次解

先考慮對應的齊次方程：

$$y''-2y'=0.$$

設

$$y=e^{rx},$$

則

$$y'=re^{rx},\qquad y''=r^2e^{rx}.$$

代入齊次方程：

$$r^2e^{rx}-2re^{rx}=0.$$

因為 $e^{rx}\neq 0$，所以特徵方程為

$$r^2-2r=0,$$

即

$$r(r-2)=0.$$

因此

$$r=0,\qquad r=2.$$

齊次解為

$$y_h=C_1+C_2e^{2x}.$$

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二、求非齊次特解

右側為

$$6e^{2x}-4e^{-2x},$$

因此分別處理兩項：

$$y_p=y_{p1}+y_{p2}.$$

（一）處理 $6e^{2x}$

若直接設

$$y_{p1}=Ae^{2x},$$

但 $e^{2x}$ 已經出現在齊次解中，會與齊次解重複，無法產生新的特解。因此需乘上 $x$：

$$y_{p1}=Axe^{2x}.$$

計算導數：

$$y_{p1}'=A(e^{2x}+2xe^{2x}) =A(1+2x)e^{2x},$$ $$y_{p1}''=A\left[2e^{2x}+2(1+2x)e^{2x}\right] =A(4+4x)e^{2x}.$$

代回左側：

\begin{align*}
y_{p1}''-2y_{p1}'
&=A(4+4x)e^{2x}-2A(1+2x)e^{2x}\
&=A\left[(4+4x)-(2+4x)\right]e^{2x}\
&=2Ae^{2x}.
\end{align*}

與右側的 $6e^{2x}$ 比較：

$$2A=6,$$

所以

$$A=3.$$

因此

$$y_{p1}=3xe^{2x}.$$

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（二）處理 $-4e^{-2x}$

設

$$y_{p2}=Be^{-2x}.$$

則

$$y_{p2}'=-2Be^{-2x},$$ $$y_{p2}''=4Be^{-2x}.$$

代入左側：

核心觀念

本題考查矩陣的特徵值與特徵向量。

對方陣 $A$ 而言：

• 特徵值 $\lambda$ 必須滿足特徵方程
  $\det(A-\lambda I)=0$
• 對應於特徵值 $\lambda$ 的特徵向量 $\mathbf{x}\ne\mathbf{0}$，滿足
  $A\mathbf{x}=\lambda\mathbf{x}$
  等價於
  $(A-\lambda I)\mathbf{x}=\mathbf{0}$

本題矩陣為上三角矩陣，因此其特徵值就是主對角線上的元素。

解題方法

令

$$A= \begin{bmatrix} 3&5&3\\ 0&4&6\\ 0&0&1 \end{bmatrix}, \qquad \mathbf{x}= \begin{bmatrix} x\\y\\z \end{bmatrix}.$$

一、求特徵值

由於 $A$ 是上三角矩陣，

$$\det(A-\lambda I) = \det \begin{bmatrix} 3-\lambda&5&3\\ 0&4-\lambda&6\\ 0&0&1-\lambda \end{bmatrix}.$$

上三角矩陣的行列式等於主對角線元素乘積，因此

$$\det(A-\lambda I) = (3-\lambda)(4-\lambda)(1-\lambda).$$

令特徵方程等於零：

$$(3-\lambda)(4-\lambda)(1-\lambda)=0.$$

所以三個特徵值為

$$\lambda_1=3,\qquad \lambda_2=4,\qquad \lambda_3=1.$$

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二、求 $\lambda=3$ 對應的特徵向量

代入 $\lambda=3$：

$$A-3I= \begin{bmatrix} 0&5&3\\ 0&1&6\\ 0&0&-2 \end{bmatrix}.$$

求解

$$(A-3I) \begin{bmatrix} x\\y\\z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0\\0\\0 \end{bmatrix}.$$

得到聯立方程式

$$\begin{cases} 5y+3z=0,\\ y+6z=0,\\ -2z=0. \end{cases}$$

由第三式得

$$z=0.$$

再由第二式得

$$y=0.$$

變數 $x$ 為自由變數，因此令 $x=t$，則

$$\mathbf{x} = \begin{bmatrix} t\\0\\0 \end{bmatrix} = t \begin{bmatrix} 1\\0\\0 \end{bmatrix}, \qquad t\ne0.$$

因此，$\lambda=3$ 的特徵向量可取為

$$\boxed{ \mathbf{v}_1= \begin{bmatrix} 1\\0\\0 \end{bmatrix} }.$$

其特徵空間為

$$E_3= \operatorname{span} \left\{ \begin{bmatrix} 1\\0\\0 \end{bmatrix} \right\}.$$

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三、求 $\lambda=4$ 對應的特徵向量

代入 $\lambda=4$：

$$A-4I= \begin{bmatrix} -1&5&3\\ 0&0&6\\ 0&0&-3 \end{bmatrix}.$$

求解

$$(A-4I) \begin{bmatrix} x\\y\\z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0\\0\\0 \end{bmatrix}.$$

得到

$$\begin{cases} -x+5y+3z=0,\\ 6z=0,\\ -3z=0. \end{cases}$$

由第二式或第三式得

$$z=0.$$

代回第一式：

$$-x+5y=0,$$

所以

$$x=5y.$$

令 $y=t$，則

$$\mathbf{x} = \begin{bmatrix} 5t\\t\\0 \end{bmatrix} = t \begin{bmatrix} 5\\1\\0 \end{bmatrix}, \qquad t\ne0.$$

因此，$\lambda=4$ 的特徵向量可取為

核心觀念

本題考查：

• 單位階躍函數 $u(t-a)$ 的拉普拉斯轉換：
  $\mathcal{L}\{u(t-a)f(t-a)\}=e^{-as}F(s)$
• Dirac 脈衝函數的拉普拉斯轉換：
  $\mathcal{L}\{\delta(t-a)\}=e^{-as}$
• 微分的拉普拉斯轉換：
  $\mathcal{L}\{y'\}=sY(s)-y(0)$
  $\mathcal{L}\{y''\}=s^2Y(s)-sy(0)-y'(0)$
• 部分分式分解與反拉普拉斯轉換。

其中，$u(t-1)$ 表示在 $t=1$ 之後才開始作用的單位輸入；$\delta(t-2)$ 表示在 $t=2$ 瞬間施加的脈衝輸入。

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解題方法

令

$$Y(s)=\mathcal{L}\{y(t)\}.$$

題目為

$$y''+5y'+6y=u(t-1)+\delta(t-2),$$

且

$$y(0)=0,\qquad y'(0)=1.$$

對方程式兩側取拉普拉斯轉換。

1. 左側各項轉換

首先，

$$\mathcal{L}\{y''\} =s^2Y(s)-sy(0)-y'(0) =s^2Y(s)-1.$$

其次，

$$\mathcal{L}\{5y'\} =5\left[sY(s)-y(0)\right] =5sY(s).$$

以及

$$\mathcal{L}\{6y\}=6Y(s).$$

因此左側為

$$\mathcal{L}\{y''+5y'+6y\} =(s^2+5s+6)Y(s)-1.$$

因為

$$s^2+5s+6=(s+2)(s+3),$$

故左側可寫成

$$(s+2)(s+3)Y(s)-1.$$

2. 右側各項轉換

由單位階躍函數的公式，

$$\mathcal{L}\{u(t-1)\} =\frac{e^{-s}}{s}.$$

由脈衝函數的公式，

$$\mathcal{L}\{\delta(t-2)\}=e^{-2s}.$$

所以右側為

$$\frac{e^{-s}}{s}+e^{-2s}.$$

3. 解出 $Y(s)$

將左右兩側相等：

$$(s+2)(s+3)Y(s)-1 =\frac{e^{-s}}{s}+e^{-2s}.$$

移項後得到

$$(s+2)(s+3)Y(s) =1+\frac{e^{-s}}{s}+e^{-2s}.$$

因此

$$Y(s) = \frac{1}{(s+2)(s+3)} + \frac{e^{-s}}{s(s+2)(s+3)} + \frac{e^{-2s}}{(s+2)(s+3)}.$$

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4. 各部分進行反拉普拉斯轉換

第一部分

先作部分分式分解：

$$\frac{1}{(s+2)(s+3)} = \frac{A}{s+2}+\frac{B}{s+3}.$$

由

$$1=A(s+3)+B(s+2),$$

分別令 $s=-2$ 與 $s=-3$：

$$A=1,\qquad B=-1.$$

因此

$$\frac{1}{(s+2)(s+3)} = \frac{1}{s+2}-\frac{1}{s+3}.$$

反拉普拉斯得

$$\mathcal{L}^{-1} \left\{\frac{1}{(s+2)(s+3)}\right\} =e^{-2t}-e^{-3t}.$$

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第二部分

考慮

$$\frac{1}{s(s+2)(s+3)} = \frac{A}{s}+\frac{B}{s+2}+\frac{C}{s+3}.$$

因此

$$1=A(s+2)(s+3)+Bs(s+3)+Cs(s+2).$$

分別代入特殊值：

當 $s=0$：

$$1=6A \quad\Longrightarrow\quad A=\frac16.$$

核心觀念

本題考查：

• 單邊拉普拉斯轉換與初始值的處理。
• 微分的拉普拉斯轉換：
  $\mathcal{L}\{y'(t)\}=sY(s)-y(0)$
• 積分的拉普拉斯轉換：
  $\mathcal{L}\left\{\int_0^t z(\tau)\,d\tau\right\}=\frac{Z(s)}{s}$
• 單位階梯函數：
  $\mathcal{L}\{u(t)\}=\frac{1}{s}$

令

$$Y(s)=\mathcal{L}\{y(t)\},\qquad Z(s)=\mathcal{L}\{z(t)\}.$$

已知

$$y(0)=-5,\qquad z(0)=6.$$

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解題方法

將兩式分別作拉普拉斯轉換，得到關於 $Y(s)$ 與 $Z(s)$ 的聯立代數方程式，再消去 $Z(s)$，最後對 $Y(s)$ 作部分分式分解並反轉換。

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第一式的拉普拉斯轉換

原式為

$$y'(t)+z'(t)+z(t)=0.$$

逐項轉換：

$$\mathcal{L}\{y'(t)\}+\mathcal{L}\{z'(t)\}+\mathcal{L}\{z(t)\}=0.$$

代入初始值：

$$[sY(s)-y(0)]+[sZ(s)-z(0)]+Z(s)=0,$$

因此

$$[sY(s)+5]+[sZ(s)-6]+Z(s)=0.$$

整理得

$$sY(s)+(s+1)Z(s)=1. \tag{1}$$

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第二式的拉普拉斯轉換

原式為

$$y'(t)+2y(t)+6\int_0^t z(\tau)\,d\tau=-2u(t).$$

逐項作拉普拉斯轉換：

$$[sY(s)-y(0)]+2Y(s)+6\frac{Z(s)}{s} =-\frac{2}{s}.$$

代入 $y(0)=-5$：

$$sY(s)+5+2Y(s)+\frac{6Z(s)}{s} =-\frac{2}{s}.$$

整理為

$$(s+2)Y(s)+\frac{6Z(s)}{s} =-5-\frac{2}{s}.$$

兩邊乘以 $s$：

$$s(s+2)Y(s)+6Z(s)=-5s-2. \tag{2}$$

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消去 $Z(s)$

由方程式 $(1)$：

$$(s+1)Z(s)=1-sY(s),$$

所以

$$Z(s)=\frac{1-sY(s)}{s+1}.$$

代入方程式 $(2)$：

$$s(s+2)Y(s)+6\left(\frac{1-sY(s)}{s+1}\right) =-5s-2.$$

兩邊乘以 $s+1$：

$$s(s+2)(s+1)Y(s)+6-6sY(s) =(-5s-2)(s+1).$$

將含有 $Y(s)$ 的項合併：

$$\left[s(s+2)(s+1)-6s\right]Y(s) =(-5s-2)(s+1)-6.$$

左側係數：

$$s(s+2)(s+1)-6s =s\left[(s+2)(s+1)-6\right].$$

因為