112 年 國立成功大學土木工程系碩士班乙組《土壤力學》

本題主要在考察土壤力學發展史上兩位重要學者 Karl Terzaghi 與 Arthur Casagrande 所提出的重要理論或方法。

一、 Karl Terzaghi 的理論與方法 (10 pts)

Karl Terzaghi 被譽為「土壤力學之父」，他提出的理論奠定了現代土壤力學的基礎。以下列出兩種其重要貢獻：

1. 有效應力原理 (Principle of Effective Stress)：

   • 說明：Terzaghi 於 1923 年提出此原理，指出土壤的應力傳遞是由土壤顆粒之間的接觸點承受的固體應力（有效應力）與孔隙水壓力共同組成。總應力 $\sigma$ 等於有效應力 $\sigma'$ 與孔隙水壓力 $u$ 的總和，即 $\sigma = \sigma' + u$。
   • 重要性：此原理是理解土壤強度、變形與滲流行為的關鍵。土壤的抗剪強度與變形行為主要取決於有效應力，而非總應力。例如，在固結過程中，總應力增加，但若孔隙水壓力同時增加，有效應力可能不變，土壤強度也就不會立即增加。

2. 一維固結理論 (One-Dimensional Consolidation Theory)：

   • 說明：Terzaghi 於 1925 年提出的此理論，描述了飽和黏土層在承受附加垂直荷載後，由於孔隙水壓力消散而引起的體積壓縮（沉陷）過程。該理論假設土壤是均質、各向同性、飽和的，且變形僅沿垂直方向發生（一維）。
   • 重要性：此理論是計算沉陷量與沉陷速率的基礎，對於工程設計至關重要。它引入了平均固結度 $U$、固結時間因子 $T_v$ 和固結係數 $c_v$ 等概念，使得工程師能夠預測沉陷發生所需的時間，並評估沉陷對結構物的影響。

二、 Arthur Casagrande 的理論與方法 (10 pts)

本題主要考察土壤中的水力學行為，包括滲透係數的測定與地下水滲流的分析。

一、變水頭滲透試驗 (Falling Head Permeability Test) (10 pts)

• 試驗設置描述：
  變水頭滲透試驗適用於滲透係數較小的土樣（如黏土、粉土）。試驗設置包括一個裝有待測土樣的試管，試管頂部連接一個細長的玻璃水柱（稱為變水頭管），底部與試樣連接。試驗開始時，水從變水頭管上方注入，使水頭高於試樣上表面。試驗過程中，水透過試樣滲流，導致變水頭管中的水頭逐漸下降。試驗期間，需要記錄水頭從初始高度 $h_1$ 下降到最終高度 $h_2$ 所需的時間 $t$。
  試驗裝置示意如下（非原卷圖）：

  +-----------------+
  |       Water     |
  |  +-----------+  |
  |  |           |  |  <-- Falling head tube (diameter d)
  |  |           |  |
  |  +-----------+  |
  |       |       |
  |       h1      |
  |       |       |
  |       v       |
  |  +-----------+  |
  |  |  Soil Sample|  |  <-- Soil specimen (Area A)
  |  +-----------+  |
  |       h2      |
  |       |       |
  |       v       |
  +-----------------+
     <-- Outlet
  

• 滲透係數公式推導：
  根據達西定律 (Darcy's Law)，在穩定狀態下，通過土樣的滲流量 $Q$ 與滲流速度 $v$ 成正比：
  $Q = v \cdot A = k \cdot i \cdot A$
  其中：

  • $Q$ 為滲流量 (m³/s)
  • $v$ 為滲流速度 (m/s)
  • $A$ 為試樣的橫截面積 (m²)
  • $k$ 為滲透係數 (m/s)
  • $i$ 為水力坡度 (無因次)，$i = \frac{dh}{L}$，其中 $dh$ 為水頭差，$L$ 為滲流路徑長度。

  在變水頭試驗中，水頭是隨時間變化的。考慮在極短時間 $dt$ 內，水頭從 $h$ 下降到 $h-dh$。此時，變水頭管內水頭的下降速度由通過試樣的滲流量 $Q$ 決定。
  變水頭管內的水頭下降所造成的體積變化為 $a \cdot (-dh)$，其中 $a$ 是變水頭管的橫截面積。
  此體積變化等於在時間 $dt$ 內通過試樣的滲流量 $Q \cdot dt$。
  因此，$Q \cdot dt = -a \cdot dh$。
  將達西定律代入：
  $k \cdot i \cdot A \cdot dt = -a \cdot dh$
  在此試驗中，滲流路徑長度為試樣的長度 $L$（通常為試管長度），水頭差為當前瞬時水頭 $h$。所以，$i = \frac{h}{L}$。
  代入上式：
  $k \cdot \frac{h}{L} \cdot A \cdot dt = -a \cdot dh$
  整理得到：
  $\frac{dt}{a} = -\frac{L \cdot A}{k} \cdot \frac{dh}{h}$

  對上式進行積分，從初始時間 $t=0$（水頭為 $h_1$）到實驗結束時間 $t$（水頭為 $h_2$）：
  $\int_{0}^{t} dt = -\frac{L \cdot A}{k \cdot a} \int_{h_1}^{h_2} \frac{dh}{h}$
  $t = -\frac{L \cdot A}{k \cdot a} [\ln h]_{h_1}^{h_2}$
  $t = -\frac{L \cdot A}{k \cdot a} (\ln h_2 - \ln h_1)$
  $t = \frac{L \cdot A}{k \cdot a} (\ln h_1 - \ln h_2)$
  $t = \frac{L \cdot A}{k \cdot a} \ln \frac{h_1}{h_2}$

  重新整理，得到滲透係數 $k$ 的公式：
  $k = \frac{L \cdot A}{a \cdot t} \ln \frac{h_1}{h_2}$

  其中：

  • $L$：土樣長度 (m)
  • $A$：土樣橫截面積 (m²)
  • $a$：變水頭管橫截面積 (m²)
  • $t$：水頭從 $h_1$ 下降到 $h_2$ 所需時間 (s)
  • $h_1$：初始水頭 (m)
  • $h_2$：最終水頭 (m)

二、單排擋土樁的滲流分析 (15 pts)

• 題目分析：
  此題要求繪製單排擋土樁下的滲流網，並計算滲流量。已知條件包含上、下游水位差，樁的尺寸，以及滲透係數。

• 繪製流網：
  流網由滲流線 (Streamlines) 和等水頭線 (Equipotential Lines) 組成。

  1. 滲流線：代表水流的路徑。在本題中，水從高水位側（左側）流向低水位側（右側）。滲流線應與不滲透的邊界（如樁的側面、底部，以及底部不透水層）垂直。
  2. 等水頭線：代表具有相同水頭的點的連線。在本題中，等水頭線應與滲流線垂直，並與不滲透邊界平行。
  3. 邊界條件：
     • 左側高水位 $H_1 = 3.5 \text{ m}$，為一滲流線。
     • 右側低水位 $H_2 = 0.5 \text{ m}$，為一滲流線。
     • 底部不透水層（Impermeable layer）為等水頭線（水頭為 $0$）。
     • 擋土樁（Sheet pile）的側面是滲流線，樁的底部是等水頭線。

  繪製步驟：

  • 確定總水頭損失 $\Delta h_{total} = H_1 - H_2 = 3.5 \text{ m} - 0.5 \text{ m} = 3.0 \text{ m}$。
  • 估計滲流線的數量 $N_f$ 和等水頭線的數量 $N_d$。由於是單排擋土樁，水流會繞過樁的底部。
  • 繪製幾條滲流線，從左側高水位開始，沿著預期的水流方向，繞過樁的底部，到達右側低水位。

本題考察土壤的壓縮性，主要涵蓋一維固結理論、沉陷種類及其預處理方法。

一、一維固結理論的控制方程式推導 (10 pts)

一維固結理論描述飽和黏土在承受垂直荷載後，由於孔隙水壓力消散而引起的垂直向沉陷。其控制方程式的推導基於以下假設：

1. 土壤是飽和的、均質的、各向同性的。
2. 變形僅沿垂直方向發生（一維）。
3. 固結過程中，總應力 $\sigma$ 保持不變，有效應力 $\sigma'$ 和孔隙水壓力 $u$ 發生變化，且 $\sigma = \sigma' + u$。
4. 孔隙水壓力消散遵循達西定律。
5. 土粒和孔隙水是不可壓縮的（或壓縮性極小）。

推導過程：

考慮一厚度為 $H$ 的飽和黏土層，其底部為不透水層，頂部承受均勻的垂直荷載 $\Delta \sigma$。在施加荷載的瞬間，由於水是不可壓縮的，增加的荷載幾乎完全由孔隙水壓力 $u$ 承擔，即 $\Delta u = \Delta \sigma$。此時有效應力 $\sigma'$ 幾乎不變。隨著時間推移，孔隙水壓力 $u$ 沿著滲流路徑（垂直向上）逐漸消散，有效應力 $\sigma'$ 隨之增加，導致土體體積壓縮，產生沉陷。

取一厚度為 $dz$ 的微小土層，其深度為 $z$（從頂部算起）。
在時間 $t$，該微小土層承受的總應力為 $\sigma(z,t)$，孔隙水壓力為 $u(z,t)$，有效應力為 $\sigma'(z,t)$。
根據有效應力原理：$\sigma(z,t) = \sigma'(z,t) + u(z,t)$。

假設初始總應力為 $\sigma_0$。施加荷載 $\Delta \sigma$ 後，總應力變為 $\sigma_0 + \Delta \sigma$。
所以，$\Delta \sigma = \Delta \sigma' + \Delta u$。
此處 $\Delta \sigma$ 為常數（荷載）， $\Delta \sigma'$ 為有效應力增量，$\Delta u$ 為孔隙水壓力增量。

根據達西定律，在深度 $z$ 處的滲流速度 $v_w(z,t)$ 為：
$v_w(z,t) = -k \frac{\partial h}{\partial z} = -\frac{k}{\gamma_w} \frac{\partial u}{\partial z}$
其中 $k$ 是滲透係數，$\gamma_w$ 是水的重度，$h$ 是水力坡度。

考慮厚度為 $dz$ 的微小土層，其體積變化率應等於通過該土層的淨滲流量率。
在深度 $z$ 處的滲流量為 $q_z = A \cdot v_w(z,t)$，其中 $A$ 是土層的橫截面積。
在深度 $z+dz$ 處的滲流量為 $q_{z+dz} = A \cdot v_w(z+dz,t)$。
根據連續性方程，流入該微小土層的淨流量應等於該土層的體積變化率。
$A \cdot v_w(z,t) - A \cdot v_w(z+dz,t) = A \cdot dz \cdot \frac{\partial \epsilon_v}{\partial t}$
其中 $\epsilon_v$ 是體積應變率。

由於孔隙水壓力 $u$ 的變化是導致體積變化的原因，且土粒和水是不可壓縮的，體積應變 $\epsilon_v$ 等於孔隙體積變化 $\Delta e$ 與初始孔隙比 $e_0$ 的比值，即 $\epsilon_v = \frac{\Delta e}{1+e_0}$。
在有效應力 $\sigma'$ 增加 $\Delta \sigma'$ 時，孔隙比 $e$ 發生變化。對於正常固結土，$\Delta e = -a_v \Delta \sigma'$，其中 $a_v$ 是壓縮係數。
或者，我們也可以用體積彈性模量 $E_v$ 來表示：$\Delta \sigma' = E_v \cdot \Delta \epsilon_v$。
由於 $\Delta \sigma = \Delta \sigma' + \Delta u$，且 $\Delta \sigma$ 在此是常數，故 $\Delta \sigma' = -\Delta u$。
所以，$\Delta \epsilon_v = \frac{\Delta \sigma'}{E_v} = -\frac{\Delta u}{E_v}$。
因此，$\frac{\partial \epsilon_v}{\partial t} = -\frac{1}{E_v} \frac{\partial u}{\partial t}$。

將滲流速度表達式代入連續性方程：
$A \cdot (-\frac{k}{\gamma_w} \frac{\partial u}{\partial z}) - A \cdot (-\frac{k}{\gamma_w} \frac{\partial u}{\partial z+dz}) = A \cdot dz \cdot (-\frac{1}{E_v} \frac{\partial u}{\partial t})$
$\frac{k}{\gamma_w} \frac{\partial}{\partial z} (\frac{\partial u}{\partial z}) dz = \frac{1}{E_v} \frac{\partial u}{\partial t} dz$

核心觀念

本題涵蓋大地工程與土壤力學的三大核心主軸：

1. 土體自重應力與有效應力原理（Terzaghi's Effective Stress Principle）：
   • 總垂直應力 $\sigma_v = \sum \gamma \cdot \Delta z$。
   • 靜水壓分佈 $u = \gamma_w \cdot z_w$（地下水位面以上 $u = 0$）。
   • 有效垂直應力 $\sigma_v' = \sigma_v - u$。
   • 依據三相基本物理量關係求取各層土壤之單位重：乾燥單位重 $\gamma_d = \frac{G_s \gamma_w}{1+e}$；飽和單位重 $\gamma_{sat} = \frac{G_s + e}{1+e}\gamma_w = \frac{G_s(1+w)}{1+e}\gamma_w$。
2. 黏土不排水抗剪強度（Undrained Shear Strength, $S_u$）估算：
   • Skempton（1957）針對正常壓密（NC）黏土提出經驗公式：$(S_u/\sigma_v')_{NC} = 0.11 + 0.0037(PI)$，其中塑性指數 $PI = LL - PL$。
   • 針對過壓密（OC）黏土，可採用 SHANSEP 理論（Ladd & Foott, 1974）進行過壓密比（$OCR$）修正：$(S_u/\sigma_v')_{OC} = (S_u/\sigma_v')_{NC} \cdot (OCR)^m$（通常 $m \approx 0.8$）。
3. Lambe 應力路徑法（Stress Path Method）與有效剪力強度參數：
   • 慢速固結排水（SCD / CD）三軸試驗於破壞時超額孔隙水壓 $u_e = 0$，有效應力即為總應力。
   • Lambe 應力路徑定義：平均主應力 $p' = \frac{\sigma_1' + \sigma_3'}{2}$，剪應力 $q = \frac{\sigma_1' - \sigma_3'}{2} = \frac{\Delta\sigma_f}{2}$。
   • $K_f$ 線為破壞點之軌跡線：$q = d + p' \tan\alpha$。
   • 與 Mohr-Coulomb 破壞準則之轉換關係：$\sin\phi' = \tan\alpha$、$c' = \frac{d}{\cos\phi'}$。

解題方法與詳細計算

取水的單位重 $\gamma_w = 9.81\text{ kN/m}^3$。

第 1 小題：計算並繪製應力深度分佈圖

1. 各土層單位重計算

• 地表至地下水位面（$z = 0 \sim 2\text{ m}$，Silty sand）：
  題目給定 $e = 0.72$，$G_s = 2.69$。水位以上未提供含水量或飽和度，依大地工程常規採乾單位重計算：
  $\gamma_d = \frac{G_s \gamma_w}{1+e} = \frac{2.69 \times 9.81}{1 + 0.72} = 15.34\text{ kN/m}^3$
• 地下水位面至黏土層頂面（$z = 2 \sim 4.2\text{ m}$，Silty sand）：
  此區段處於地下水位以下，完全飽和（$S = 100\%$）：
  $\gamma_{sat1} = \frac{(G_s + e)\gamma_w}{1+e} = \frac{(2.69 + 0.72) \times 9.81}{1 + 0.72} = 19.45\text{ kN/m}^3$
• 粉土質黏土層（$z = 4.2 \sim 9.45\text{ m}$，Silty clay）：
  厚度 $5.25\text{ m}$，全層位於地下水位以下，處於完全飽和狀態（$S = 100\%$）：
  $e = w \cdot G_s = 0.22 \times 2.72 = 0.5984$
  $\gamma_{sat2} = \frac{G_s(1+w)\gamma_w}{1+e} = \frac{2.72 \times (1 + 0.22) \times 9.81}{1 + 0.5984} = 20.37\text{ kN/m}^3$

2. 各關鍵深度之應力數值

各土層均質，應力隨深度呈線性分佈：

1. $z = 0\text{ m}$（地表面）：
   • 總應力 $\sigma_v = 0\text{ kPa}$
   • 孔隙水壓 $u = 0\text{ kPa}$
   • 有效應力 $\sigma_v' = 0\text{ kPa}$
2. $z = 2.0\text{ m}$（地下水位面 G.W.T.）：
   • $\sigma_v = 2.0 \times 15.34 = 30.68\text{ kPa}$
   • $u = 0\text{ kPa}$
   • $\sigma_v' = 30.68 - 0 = 30.68\text{ kPa}$
3. $z = 4.2\text{ m}$（粉土質黏土層頂部）：
   • $\sigma_v = 30.68 + 2.2 \times 19.45 = 73.47\text{ kPa}$
   • $u = 2.2 \times 9.81 = 21.58\text{ kPa}$
   • $\sigma_v' = 73.47 - 21.58 = 51.89\text{ kPa}$
4. $z = 7.7\text{ m}$（點 A，黏土層頂部下 $3.5\text{ m}$）：
   • $\sigma_v = 73.47 + 3.5 \times 20.37 = 144.77\text{ kPa}$
   • $u = (2.2 + 3.5) \times 9.81 = 5.7 \times 9.81 = 55.92\text{ kPa}$
   • $\sigma_v' = 144.77 - 55.92 = 88.85\text{ kPa}$
5. $z = 9.45\text{ m}$（粉土質黏土層底部）：
   • $\sigma_v = 73.47 + 5.25 \times 20.37 = 180.41\text{ kPa}$
   • $u = (2.2 + 5.25) \times 9.81 = 7.45 \times 9.81 = 73.08\text{ kPa}$
   • $\sigma_v' = 180.41 - 73.08 = 107.33\text{ kPa}$

3. 應力深度分佈圖（Profiles down to bottom of Silty Clay）

Depth z (m)     (a) Total Stress σv       (b) Pore Pressure u       (c) Effective Stress σv'
    0 ┼───────── 0 kPa                    0 kPa                     0 kPa
      │         /                         │                         /
      │        /                          │                        /
  2.0 ┼─────── 30.68 kPa                 0 kPa ─────────────────── 30.68 kPa
      │       /                           \                         /
      │      /                             \                       /
  4.2 ┼───── 73.47 kPa                  21.58 kPa ─────────────── 51.89 kPa
      │     /                               \                       /
  7.7 ┼─── 144.77 kPa (Point A)         55.92 kPa                 88.85 kPa (Point A)
      │   /                                   \                     /
  9.45┼── 180.41 kPa                    73.08 kPa ────────────── 107.33 kPa

第 2 小題：估算點 A 處之不排水剪力強度（$S_u$）

1. 塑性指數與正常壓密強度比

由圖 2 給定之阿特堡界限：
$PI = LL - PL = 39 - 20 = 19$
代入題給 Skempton（1957）經驗公式，得正常壓密狀態下之強度比：
$\left(\frac{S_u}{\sigma_v'}\right)_{NC} = 0.11 + 0.0037(PI) = 0.11 + 0.0037 \times 19 = 0.1803$

2. 考慮過壓密狀態（$OCR = 2$）之估算

點 A 處之現地現存垂直有效應力為 $\sigma_{v0}' = 88.85\text{ kPa}$。
題圖特別標註該黏土層之過壓密比 $OCR = 2$，需考量壓密歷史對剪力強度之提升效應：