115 年 國立成功大學建築學系碩士班丁組《建築結構力學》

此題考驗對桁架穩定性與靜不定度的判斷。

核心觀念：

• 穩定度 (Stability): 桁架結構必須能夠抵抗外力而不產生無限大的變形。對於平面桁架，判斷穩定性的基本條件是：
  • 所有桿件必須相互連接，形成一個整體。
  • 結構至少要有三個支承點，且支承點不能共線。
  • 在力學上，穩定性可以透過虛擬工作法或力學平衡條件來更嚴謹地判斷，但對於簡單桁架，可透過觀察其幾何組成來初步判斷。
• 靜不定度 (Statically Indeterminacy): 指的是結構內部的未知反力或內力數目超過了可由靜力平衡方程式求解的數量。對於平面桁架，靜不定度 $i$ 的計算公式為：
  $i = m + r - 2j$
  其中：
  • $m$ 是桿件數量。
  • $r$ 是支承反力數量。
  • $j$ 是節點數量。
    若 $i > 0$，則為靜不定結構；若 $i = 0$，則為靜定結構；若 $i < 0$，則為機構（不穩定）。

解題步驟：

針對圖 1 中的四座桁架 A, B, C, D，我們逐一分析其桿件數 ($m$)、節點數 ($j$)、支承反力數 ($r$)，並計算靜不定度 $i$，同時觀察其幾何組成判斷穩定性。

桁架 A:

• 桿件數 $m = 6$
• 節點數 $j = 4$ (三個連接桿件的節點，加上兩個支點節點)
• 支承反力數 $r = 3$ (一個固定支點提供兩個反力，一個滾支點提供一個反力)
• 靜不定度 $i = m + r - 2j = 6 + 3 - 2(4) = 9 - 8 = 1$
• 穩定性：此桁架的幾何組成使其能夠抵抗外力，結構完整。

核心觀念

六支桿件為四面體六條邊，且長度皆為 $L$，因此 $ABC$ 為正三角形，整體為正四面體。每支桿件皆為二力桿，只承受軸力。

在節點 $O$ 使用三維力平衡：

$$\sum \mathbf F_O=\mathbf 0$$

取桿件軸力拉力為正、壓力為負。依圖中外力方向，$1\ \text{kN}$ 為 $-y$ 方向。

解題方法

建立座標，使 $ABC$ 位於 $xy$ 平面，$B$ 位於 $+y$ 方向，$A$、$C$ 對稱於 $y$ 軸：

$$A=\left(\frac L2,-\frac{L}{2\sqrt3},0\right),\quad C=\left(-\frac L2,-\frac{L}{2\sqrt3},0\right)$$

正四面體高度為

$$h=\sqrt{L^2-\left(\frac{L}{\sqrt3}\right)^2} =\sqrt{\frac23}L$$

因此各桿件由 $O$ 指向地面點的單位向量為

$$\mathbf e_{OA} =\left(\frac12,-\frac{1}{2\sqrt3},-\sqrt{\frac23}\right)$$ $$\mathbf e_{OB} =\left(0,\frac{1}{\sqrt3},-\sqrt{\frac23}\right)$$ $$\mathbf e_{OC} =\left(-\frac12,-\frac{1}{2\sqrt3},-\sqrt{\frac23}\right)$$

令三支桿件軸力分別為 $N_A,N_B,N_C$，則節點 $O$ 的平衡式為

$$N_A\mathbf e_{OA} +N_B\mathbf e_{OB} +N_C\mathbf e_{OC} +(0,-1,0)=\mathbf 0$$

分解為三方向：

$x$ 方向：

核心觀念

本題考查外伸梁的：

• 支承反力計算；
• 剪力圖與彎矩圖；
• 集中力造成剪力跳躍、彎矩斜率改變；
• 由彎矩積分求撓度。

依圖 3，梁左端為鉸支承 $A$，距左端 $3L/4$ 處為滾支承 $B$；兩個向下集中力 $P$ 分別作用於 $x=L/4$ 與 $x=L$。

---

(a) 支承反力

設左支承反力為 $R_A$，右支承反力為 $R_B$，取向上為正。

由垂直力平衡：

$$R_A+R_B-2P=0$$

對 $A$ 點取力矩：

$$R_B\left(\frac{3L}{4}\right) -P\left(\frac{L}{4}\right)-PL=0$$

因此：

$$R_B=\frac{5P}{3}$$

代回垂直力平衡式：

$$R_A=2P-\frac{5P}{3} =\frac{P}{3}$$

所以兩支承反力皆向上：

$$\boxed{R_A=\frac{P}{3}},\qquad \boxed{R_B=\frac{5P}{3}}$$

---

(b) 剪力圖與彎矩圖

取左截面向上的剪力為正，彎矩以凹向上之正彎矩為正。

剪力圖

各區段剪力如下：

$$V(x)= \begin{cases} \dfrac{P}{3}, & 0<x<\dfrac{L}{4}\\[6pt] -\dfrac{2P}{3}, & \dfrac{L}{4}<x<\dfrac{3L}{4}\\[6pt] P, & \dfrac{3L}{4}<x<L \end{cases}$$

剪力跳躍情形：

• $x=0$：由 $0$ 跳至 $P/3$；
• $x=L/4$：受集中力 $P$，由 $P/3$ 跳至 $-2P/3$；
• $x=3L/4$：受支承反力 $5P/3$，由 $-2P/3$ 跳至 $P$；
• $x=L$：受集中力 $P$，由 $P$ 跳回 $0$。

其中梁中點 $M$ 位於 $x=L/2$，故：

$$\boxed{V_M=-\frac{2P}{3}}$$

彎矩圖

左端為鉸支承，因此：

$$M(0)=0$$

在 $0\leq x\leq L/4$：

$$M(x)=\frac{P}{3}x$$

所以：

$$M\left(\frac{L}{4}\right)=\frac{PL}{12}$$

在 $L/4\leq x\leq 3L/4$：

$$M(x)=\frac{PL}{12} -\frac{2P}{3}\left(x-\frac{L}{4}\right)$$

梁中點 $M$ 位於此區段：

$$M_M =\frac{PL}{12} -\frac{2P}{3}\left(\frac{L}{2}-\frac{L}{4}\right)$$ $$M_M=\frac{PL}{12}-\frac{PL}{6} =-\frac{PL}{12}$$

因此：

$$\boxed{M_M=-\frac{PL}{12}}$$

在右支承處：

核心觀念

本題須先依箭頭判讀載重方向：左斜梁受右下方的法向載重，右斜梁受右上方的法向載重。兩側載重的水平分量同向、鉛直分量反向。

梁柱接頭可自由轉動，因此柱頂不傳遞彎矩；柱底為固定端。採一階線彈性分析，以整體平衡及變形相容求反力，再由桿件平衡求彎矩，柱頂位移則使用懸臂柱公式：

$$\delta=\frac{Hh^3}{3EI}.$$

解題方法

圖中兩柱底均為固定端，柱高皆為 $2.0\ \mathrm{m}$；兩側斜梁的水平投影及高差皆為 $2.0\ \mathrm{m}$，故傾角均為 $45^\circ$。梁柱接頭為鉸接，屋脊未標示內鉸；兩側 $400\ \mathrm{N/m}$ 載重均沿斜梁長度均勻分布，方向分別為右下及右上。

將左柱底、左柱頂、屋脊、右柱頂、右柱底依序記為 $A,B,C,D,F$，取向右為 $x$ 正向、向上為 $y$ 正向：

$$A=(0,0),\quad B=(0,2),\quad C=(2,4),\quad D=(4,2),\quad F=(4,0).$$

（a）柱底反力與反力矩

1. 將分布載重換成合力

每側斜梁長度為

$$\ell=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt2\ \mathrm{m}.$$

每側載重合力大小：

$$W=400(2\sqrt2)=800\sqrt2\ \mathrm{N}.$$

合力作用於各斜梁中點，其分量為

$$\boldsymbol W_L=(800,-800)\ \mathrm{N},\qquad \boldsymbol W_R=(800,800)\ \mathrm{N}.$$

2. 求屋架梁的支承力

先單獨取出屋架梁 $BCD$，令柱頂作用於梁的反力為 $(H_B,V_B)$、$(H_D,V_D)$。

以 $B$ 點取矩，兩側載重合力的力矩恰好抵消：

$$\sum M_B =4V_D+\bigl[1(-800)-1(800)\bigr] +\bigl[3(800)-1(800)\bigr] =0.$$

因此

$$V_D=0,\qquad V_B=0.$$

水平平衡給出

$$H_B+H_D=-1600\ \mathrm{N}.$$

結構左右相同，而載重在「左右鏡射後再反向」下保持相同，故一階變形滿足兩柱頂的水平位移相等。兩柱的高度與彎曲剛度相同，因此柱頂水平力亦相等：

$$H_B=H_D=-800\ \mathrm{N}.$$

亦即，屋架梁對每根柱施加 向右 $800\ \mathrm{N}$ 的柱頂力，且不施加柱頂力矩。

3. 求柱底反力

每根柱均為承受柱頂水平力的懸臂柱，因此：

支承	水平反力	鉛直反力	反力矩
左柱底 $A$	$800\ \mathrm{N}$，向左	$0$	$1600\ \mathrm{N\,m}$，逆時針
右柱底 $F$	$800\ \mathrm{N}$，向左	$0$	$1600\ \mathrm{N\,m}$，逆時針

其中

$$M_A=M_F=800(2)=1600\ \mathrm{N\,m}.$$

代入全架平衡，水平力為 $-800-800+800+800=0$，鉛直力為 $-800+800=0$；以 $A$ 點取矩亦有

$$1600+1600+\bigl[1(-800)-3(800)\bigr] +\bigl[3(800)-3(800)\bigr]=0.$$

（b）梁柱彎矩圖及極值

以下各桿件依指定走向取截面；定義作用於起點側自由體截面上的逆時針內力矩為正。

1. 左斜梁 $BC$

沿 $B\to C$ 取座標 $s$，$0\le s\le2\sqrt2$。左端反力在梁法向上的分量為 $800/\sqrt2=400\sqrt2\ \mathrm{N}$，故

$$M_{BC}(s)=400\sqrt2\,s-\frac{400s^2}{2}.$$

兩端彎矩皆為零：

$$M_B=M_C=0.$$

彎矩極值位於剪力為零處：

$$\frac{dM_{BC}}{ds}=400\sqrt2-400s=0 \quad\Rightarrow\quad s=\sqrt2\ \mathrm{m}.$$

因此左斜梁中點的彎矩為

$$M_{BC,\max}=400\ \mathrm{N\,m}.$$

2. 右斜梁 $CD$