108 年 國立宜蘭大學土木工程學系碩士班甲組《土壤力學》

核心觀念

本題考查土壤三相組成與基本物理量之間的關係：

• 含水量：
  $w=\frac{W_w}{W_s}$
• 比重：
  $G_s=\frac{\gamma_s}{\gamma_w}$
• 孔隙率：
  $n=\frac{V_v}{V_t}$
• 孔隙比：
  $e=\frac{V_v}{V_s}=\frac{n}{1-n}$
• 乾單位重：
  $\gamma_d=\frac{G_s\gamma_w}{1+e}$
• 土壤天然單位重：
  $\gamma=\gamma_d(1+w)$
• 飽和度：
  $S=\frac{V_w}{V_v}=\frac{wG_s}{e}$

取水的單位重為：

$\gamma_w=9.81\ \text{kN/m}^3$

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解題方法

1. 由孔隙率求孔隙比

已知：

$n=45\%=0.45$

因此：

$$e=\frac{n}{1-n} =\frac{0.45}{1-0.45} =\frac{0.45}{0.55} =0.8182$$

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2. 求乾單位重 $\gamma_d$

乾單位重公式為：

$\gamma_d=\frac{G_s\gamma_w}{1+e}$

代入 $G_s=2.7$、$e=0.8182$：

$$\gamma_d =\frac{2.7(9.81)}{1+0.8182}$$ $$\gamma_d =\frac{26.487}{1.8182} =14.57\ \text{kN/m}^3$$

亦可直接利用孔隙率計算：

$\gamma_d=G_s\gamma_w(1-n)$

本題考查液性限度試驗的數據處理與圖形繪製，以及如何從試驗結果求得液性限度。液性限度是指土壤在特定條件下，由塑性狀態轉變為流動性狀態的臨界含水量。

解題步驟如下：

1. 繪製流性曲線 (Flow Curve)
   液性限度試驗的數據繪製時，通常將擊數 $N$ 取對數作為橫軸，含水量 $w$ 作為縱軸。根據試驗結果，我們有三個數據點：$(N=12, w=47\%)$, $(N=20, w=43.5\%)$, $(N=35, w=41\%)$。
   在繪圖時，橫軸（擊數）通常使用對數刻度，縱軸（含水量）使用線性刻度。

   • 點 1: $N=12$, $\log_{10}(12) \approx 1.08$, $w=47\%$
   • 點 2: $N=20$, $\log_{10}(20) \approx 1.30$, $w=43.5\%$
   • 點 3: $N=35$, $\log_{10}(35) \approx 1.54$, $w=41\%$
     將這三個點繪製在對數-線性座標紙上，並畫出一條最佳擬合直線（即流性曲線）。

2. 求取液性限度 ($w_L$)
   根據 ASTMD4318 標準，液性限度定義為在 25 次擊數下土壤所具有的含水量。
   因此，我們需要找到當擊數 $N=25$ 時，在流性曲線上的對應含水量。
   首先計算 $N=25$ 的對數值：$\log_{10}(25) \approx 1.40$。
   我們可以使用兩點或三點法來求得直線方程式，進而計算 $N=25$ 時的含水量。
   假設流性曲線的方程式為 $w = a \log_{10}(N) + b$ 或 $w = m \cdot \log_{10}(N) + c$。
   我們可以使用其中兩點來計算斜率 $m$ 和截距 $c$。
   取點 1 $(1.08, 47\%)$ 和點 3 $(1.54, 41\%)$：
   $m = \frac{41 - 47}{1.54 - 1.08} = \frac{-6}{0.46} \approx -13.04$
   使用點 3 $(1.54, 41\%)$ 代入 $w = m \log_{10}(N) + c$：
   $41 = -13.04 \times 1.54 + c$
   $41 = -20.0816 + c$
   $c = 41 + 20.0816 = 61.0816$
   所以，直線方程式近似為 $w = -13.04 \log_{10}(N) + 61.0816$。

   現在，我們計算 $N=25$ 時的含水量 $w_L$：
   $w_L = -13.04 \log_{10}(25) + 61.0816$
   $w_L = -13.04 \times 1.40 + 61.0816$
   $w_L = -18.256 + 61.0816$
   $w_L \approx 42.8256\%$

   我們也可以取點 2 $(1.30, 43.5\%)$ 和點 3 $(1.54, 41\%)$：
   $m = \frac{41 - 43.5}{1.54 - 1.30} = \frac{-2.5}{0.24} \approx -10.417$
   $41 = -10.417 \times 1.54 + c$
   $41 = -16.042 + c$
   $c = 41 + 16.042 = 57.042$
   直線方程式近似為 $w = -10.417 \log_{10}(N) + 57.042$。
   $w_L = -10.417 \log_{10}(25) + 57.042$
   $w_L = -10.417 \times 1.40 + 57.042$
   $w_L = -14.5838 + 57.042$
   $w_L \approx 42.4582\%$

   取點 1 $(1.08, 47\%)$ 和點 2 $(1.30, 43.5\%)$：
   $m = \frac{43.5 - 47}{1.30 - 1.08} = \frac{-3.5}{0.22} \approx -15.909$
   $47 = -15.909 \times 1.08 + c$
   $47 = -17.18172 + c$
   $c = 47 + 17.18172 = 64.18172$
   直線方程式近似為 $w = -15.909 \log_{10}(N) + 64.18172$。
   $w_L = -15.909 \log_{10}(25) + 64.18172$
   $w_L = -15.909 \times 1.40 + 64.18172$
   $w_L = -22.2726 + 64.18172$
   $w_L \approx 41.9091\%$

核心觀念

篩分析先由各篩上的存留質量，計算累積存留百分率與通過百分率，再由粒徑分佈曲線讀取：

• $D_{10}$：通過百分率為 $10\%$ 時的粒徑
• $D_{30}$：通過百分率為 $30\%$ 時的粒徑
• $D_{60}$：通過百分率為 $60\%$ 時的粒徑

均勻係數與級配係數定義為：

$$C_u=\frac{D_{60}}{D_{10}}$$ $$C_c=\frac{D_{30}^2}{D_{10}D_{60}}$$

其中粒徑分佈圖的橫軸為對數刻度，因此兩點間應採半對數插值。

解題方法

總土樣質量為

$$M=50+100+100+100+50+50+25+25=500\text{ g}$$

計算各篩的累積存留質量與通過百分率：

篩孔粒徑 (mm)	累積存留質量 (g)	通過質量 (g)	通過百分率
4.75	50	450	$90\%$
2.00	150	350	$70\%$
0.85	250	250	$50\%$
0.425	350	150	$30\%$
0.25	400	100	$20\%$
0.15	450	50	$10\%$
0.075	475	25	$5\%$

因此：

$$D_{10}=0.15\text{ mm}$$ $$D_{30}=0.425\text{ mm}$$

$D_{60}$ 位於 $0.85\text{ mm}$ 與 $2.00\text{ mm}$ 之間。

本題考查三軸試驗中，飽和黏土在不排水條件下的破壞準則，以及摩爾圓的繪製與應用。無圍壓縮強度 $q_u$ 是黏土不排水剪應力強度參數 $c_u$ 的兩倍，且在摩爾-庫倫破壞準則中，黏土的不排水剪應力強度 $c_u$ 等於 $q_u/2$。

解題步驟如下：

1. 確定黏土的不排水剪應力強度參數
   已知無圍壓縮強度 $q_u = 65 \text{ kN/m}^2$。
   對於飽和黏土在不排水試驗中，其破壞準則為摩爾-庫倫準則，但由於是總應力分析，且不排水時黏土的孔隙水壓力變化通常不大，可以視為黏土的內聚力 $c_u$。
   $q_u = 2 c_u$
   $c_u = \frac{q_u}{2} = \frac{65 \text{ kN/m}^2}{2} = 32.5 \text{ kN/m}^2$
   由於是不排水試驗，摩擦角 $\phi_u = 0$。
   因此，破壞線（摩爾圓的包絡線）是一條水平線，其高度等於 $c_u$。

2. 繪製摩爾圓
   摩爾圓是以 $(\sigma_1 + \sigma_3)/2$ 為圓心，$(\sigma_1 - \sigma_3)/2$ 為半徑的圓。
   破壞時，摩爾圓會與破壞線相切。
   對於 $\phi_u = 0$ 的情況，破壞線是一條水平線，其高度為 $c_u$。因此，最大的摩爾圓（在破壞時）將會與這條水平線相切。
   圓心為 $(\sigma_1 + \sigma_3)/2$，半徑為 $(\sigma_1 - \sigma_3)/2$。
   切點的高度為 $c_u$。
   圓心在水平軸上的位置為 $(\sigma_1 + \sigma_3)/2$。
   圓的半徑為 $(\sigma_1 - \sigma_3)/2$。
   切點的縱座標為 $c_u$。
   因此，圓心的高度（縱座標）等於半徑加上或減去切點的高度。
   對於 $\phi_u = 0$ 的情況，圓心的高度是 $c_u$，而半徑是 $(\sigma_1 - \sigma_3)/2$。
   圓心座標是 $((\sigma_1+\sigma_3)/2, 0)$。
   這裡的圓心是指在 $\sigma-\tau$ 座標系中的圓心。
   對於 $\phi_u = 0$，破壞線為 $\tau = c_u$。
   圓心為 $(\frac{\sigma_1 + \sigma_3}{2}, 0)$。
   半徑為 $R = \frac{\sigma_1 - \sigma_3}{2}$。
   摩爾圓與破壞線 $\tau = c_u$ 相切。
   因此，圓的最高點（或最低點，取決於 $\sigma_1$ 和 $\sigma_3$ 的相對大小，但這裡 $\sigma_1 > \sigma_3$）的 $\tau$ 值為 $c_u$。
   圓心到切點的距離是半徑。
   對於 $\phi_u=0$，圓心在 $\sigma$ 軸上。
   切點的 $\tau$ 值是 $c_u$。
   圓心為 $(\frac{\sigma_1 + \sigma_3}{2}, 0)$。
   半徑為 $R = \frac{\sigma_1 - \sigma_3}{2}$。
   圓心的高度（$\tau$ 值）為 0。
   圓的最高點的 $\tau$ 值是 $0 + R = R$。
   所以，$R = c_u$。

本題考查土壤分類系統 (Soil Classification System) 的知識，特別是美國統一土壤分類系統 (USCS) 中對 SM 土壤的定義。SM 代表「黏質砂土」(Silty Sand) 或「砂質粉土」(Sandy Silt)，屬於中等粒徑的土壤。

土壤被分類為 SM 的條件，主要根據其粒徑分佈和塑性指數 (Plasticity Index, PI) 來判斷。USCS 分類系統將土壤分為有機土、無機土、粗粒土、細粒土和有機質土。SM 屬於粗粒土中的砂土類，但因含有顯著比例的粉土成分，且粉土成分的影響（如塑性）未能達到黏質土的程度。

SM 土壤的分類條件如下：

1. 粗粒土的判斷：
   首先，土壤需要被歸類為粗粒土。粗粒土是指通過 #200 篩 (0.075 mm) 的土粒質量百分比小於 50%。
   SM 土壤的定義是：通過 #200 篩的土粒質量百分比小於 50%，且主要成分是砂。

2. 砂土的判斷：
   如果通過 #200 篩的土粒質量百分比小於 50%，則進一步判斷是砂土還是礫石土。

   • 如果通過 #4 篩 (4.75 mm) 的土粒質量百分比大於 50%，則主要為砂土。
   • 如果通過 #4 篩的土粒質量百分比小於 50%，則主要為礫石土。
     SM 土壤主要成分是砂，意味著通過 #4 篩的土粒質量百分比大於 50%。

3. 粉土或細砂的判斷：
   SM 土壤的關鍵在於其含有顯著比例的粉土（Silt）或細砂（Fine Sand）成分。
   通過 #200 篩的土粒（細粒土）佔總土粒質量的 12% 到 50% 之間。