109 年 國立宜蘭大學土木工程學系碩士班甲組《土壤力學》

本題主要考驗土壤基本物理性質參數的計算，包括含水量、孔隙比、孔隙率與飽和度。需從土壤的體積、重量與比重等資訊推導。

已知條件：
土壤體積 $V = 1m^3$
土壤天然重 $W_{total} = 19.2kN$
土壤烘乾重 $W_s = 16.0kN$
土壤比重 $G_s = 2.7$
水的單位重 $\gamma_w = 9.81 kN/m^3$ (此為常用值，若題目未給定，可自行假設或查表)

解題步驟：

1. 計算土壤的單位重 (γ)：
   土壤的單位重即為其在天然狀態下的重量除以體積。
   $\gamma = \frac{W_{total}}{V} = \frac{19.2kN}{1m^3} = 19.2 kN/m^3$

2. 計算土壤的單位重 (γd)：
   土壤的單位重（乾重）即為其烘乾後的重量除以體積。
   $\gamma_d = \frac{W_s}{V} = \frac{16.0kN}{1m^3} = 16.0 kN/m^3$

3. 計算土壤的含水量 (ω)：
   含水量定義為土壤中水的重量與固體顆粒重量之比。
   水的重量 $W_w = W_{total} - W_s = 19.2kN - 16.0kN = 3.2kN$
   $\omega = \frac{W_w}{W_s} \times 100\% = \frac{3.2kN}{16.0kN} \times 100\% = 20\%$

4. 計算土壤固體顆粒的單位重 (γs)：
   土壤比重 $G_s$ 定義為土壤固體顆粒的單位重與水的單位重之比。
   $G_s = \frac{\gamma_s}{\gamma_w}$
   $\gamma_s = G_s \times \gamma_w = 2.7 \times 9.81 kN/m^3 \approx 26.49 kN/m^3$

本題主要考驗對土壤粒徑分布曲線的判讀能力，並計算均勻係數 ($C_u$) 和級配係數 ($C_c$)。這些參數是土壤分類和工程性質評估的重要依據。

核心概念：

• 均勻係數 ($C_u$)： 反映土壤顆粒大小分布的廣泛程度。$C_u$ 值越大，表示土壤顆粒大小範圍越廣，級配越均勻。
• 級配係數 ($C_c$)： 反映粒徑分布曲線的形狀，與曲線的平緩程度有關。

計算公式：
$C_u = \frac{D_{60}}{D_{10}}$
$C_c = \frac{D_{30}^2}{D_{10} \times D_{60}}$

其中，$D_{10}$、$D_{30}$、$D_{60}$ 分別代表通過百分比為 $10\%$、$30\%$、$60\%$ 時對應的粒徑。

解題步驟：

1. 判讀粒徑分布曲線，找出 $D_{10}$、$D_{30}$、$D_{60}$：
   仔細觀察附圖中的三條曲線 (A, B, C)，並在縱軸上找到 $10\%$、 $30\%$、 $60\%$ 的位置，然後對應到橫軸（粒徑）的數值。

   • 土樣 A：

     • $D_{10} \approx 0.06 mm$
     • $D_{30} \approx 0.12 mm$
     • $D_{60} \approx 0.25 mm$

   • 土樣 B：

     • $D_{10} \approx 0.1 mm$
     • $D_{30} \approx 0.4 mm$
     • $D_{60} \approx 1.0 mm$

   • 土樣 C：

     • $D_{10} \approx 0.5 mm$
     • $D_{30} \approx 1.5 mm$
     • $D_{60} \approx 3.5 mm$

核心觀念

本題考查統一土壤分類系統（USCS）對粗粒土與細粒土的分類方法，判斷依據包括：

1. 土中通過 200 號篩（$\mathrm{No.200}$，粒徑 $0.075\ \mathrm{mm}$）之細粒料含量。
2. 粗粒料的級配特性。
3. 細粒料的液限 $LL$ 與塑性指數 $PI$。
4. 粗粒土中細粒料的性質，是粉土質（$M$）或黏土質（$C$）。

本題標示為「續題 2」，但題目未提供第 2 題的粒徑分布曲線、細粒料百分比、$LL$、$PI$ 等資料，因此無法將土樣 A、B、C 分別唯一對應至特定分類符號。以下列出完整判定方法與各種可能分類符號。

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解題方法

一、先判斷粗粒土或細粒土

以 200 號篩為界：

• 通過 200 號篩之土量小於 $50\%$：屬於粗粒土。
• 通過 200 號篩之土量大於或等於 $50\%$：屬於細粒土。

粗粒土的第一個分類字母依主要顆粒決定：

• 礫土：$G$
• 砂土：$S$

細粒土則利用塑性圖判斷：

• $M$：粉土
• $C$：無機黏土
• $O$：有機土
• $P$：泥炭或高度有機土

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二、粗粒土的分類

1. 細粒料含量小於 $5\%$

此時視為乾淨礫土或乾淨砂土，依級配分類。

級配係數為：

$$C_u=\frac{D_{60}}{D_{10}}$$ $$C_c=\frac{D_{30}^{2}}{D_{10}D_{60}}$$

其中 $D_{10}$、$D_{30}$、$D_{60}$ 分別為通過百分率為 $10\%$、$30\%$、$60\%$ 時的粒徑。

若主要為礫土：

• $C_u\geq 4$ 且 $1\leq C_c\leq 3$：$GW$，良好級配礫土。
• 不符合上述條件：$GP$，不良級配礫土。

若主要為砂土：

• $C_u\geq 6$ 且 $1\leq C_c\leq 3$：$SW$，良好級配砂土。
• 不符合上述條件：$SP$，不良級配砂土。

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2. 細粒料含量介於 $5\%$ 至 $12\%$

此範圍屬於過渡區，必須使用雙重分類符號。

礫土可能為：

• $GW-GM$
• $GW-GC$
• $GP-GM$
• $GP-GC$

砂土可能為：

• $SW-SM$
• $SW-SC$
• $SP-SM$
• $SP-SC$

其中：

• $M$ 表示粉土質細粒料。
• $C$ 表示黏土質細粒料。

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3. 細粒料含量大於 $12\%$

此時主要依細粒料性質分類。

礫土可能為：

• $GM$：粉土質礫土。
• $GC$：黏土質礫土。

砂土可能為：

• $SM$：粉土質砂土。
• $SC$：黏土質砂土。

細粒料屬於粉土或黏土，須利用塑性圖判斷：

• 位於 A 線以上：黏土質，採 $C$。
• 位於 A 線以下：粉土質，採 $M$。

A 線方程式為：

$$PI=0.73(LL-20)$$

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三、細粒土的分類

細粒土使用塑性圖分類。若為無機土：

• $ML$：低塑性粉土。
• $CL$：低塑性黏土。
• $MH$：高塑性粉土。
• $CH$：高塑性黏土。

液限的分界為：

• $LL<50\%$：低塑性，代號為 $L$。
• $LL\geq 50\%$：高塑性，代號為 $H$。

判斷流程如下：

1. 先由 $LL=50\%$ 判斷低塑性或高塑性。
2. 再以 A 線判斷粉土或黏土。
3. 位於 A 線上方且 $LL<50\%$：$CL$。
4. 位於 A 線上方且 $LL\geq50\%$：$CH$。
5. 位於 A 線下方且 $LL<50\%$：$ML$。
6. 位於 A 線下方且 $LL\geq50\%$：$MH$。

若土樣具有有機性，則分類為：

本題主要探討土壤液化的發生可能性，並要求說明評估方法。土壤液化是砂土或粉土在地震或快速加載下，孔隙水壓力急劇升高，導致有效應力降低，土壤失去承載力甚至呈現流砂現象。

核心概念：

• 土壤液化： 發生在飽和的鬆散砂土或粉土中，當孔隙水壓力超過應力時，土壤顆粒間的接觸壓力消失，土壤表現得像液體一樣。
• 影響因素： 土壤的密實度、粒徑分布、飽和度、加載速率（地震強度和持續時間）、排水條件等。

解題步驟：

(A) 哪一種土樣最可能產生土壤液化災害？

首先，我們需要根據前一題的分析，了解三個土樣的性質：

• 土樣 A： 細粒料含量高（約 $85\%$），粒徑集中在 $0.06 mm$ 到 $0.25 mm$ 之間。雖然細粒料（尤其是粉土）在特定條件下也可能液化，但一般而言，鬆散、飽和的砂土 是最容易液化的土。土樣 A 的粒徑分布範圍較窄，且大量細粒料可能使其結構較為緻密，或表現出黏性土的性質（需塑性參數確認）。
• 土樣 B： 粗粒料為級配良好的砂 ($SW$)，細粒料含量中等（約 $30\%$）。其粒徑分布範圍相對較廣，含有相當比例的細粒料。
• 土樣 C： 粗粒料為級配良好的砂 ($SW$)，細粒料含量低（約 $5\%$）。其粒徑分布範圍相對較廣。

判斷：
土壤液化的主要發生對象是砂土，且鬆散的砂土比密實的砂土更容易液化。

• 土樣 B 和 C 都是砂土。
• 土樣 C 的細粒料含量（$5\%$）非常少，主要成分是砂。
• 土樣 B 的細粒料含量（$30\%$）較高，這使得其可能具有一定的塑性，或孔隙結構與純砂不同。
• 通常，粒徑分布較窄、顆粒形狀圓鈍、且呈現鬆散狀態的砂土 最容易液化。USCS 分類中的 $SP$ (級配不良的砂) 和 $SW$ (級配良好的砂) 都可能液化，但 $SP$ 通常比 $SW$ 更容易液化，因為其級配不良，顆粒間空隙較大，更容易被水填充並產生高孔隙水壓力。不過，題目給定的 $C_u$ 和 $C_c$ 值顯示 B 和 C 都是級配良好 (SW) 的砂。
• 在級配良好的砂土中，粒徑較小的砂土（如土樣 B 的 $D_{50} \approx 0.5 mm$）相較於粒徑較大的砂土（如土樣 C 的 $D_{50} \approx 2.0 mm$），可能因為顆粒間的接觸面較多，在高應力或地震作用下更容易產生孔隙水壓力的累積。
• 此外，細粒料（粉土）的含量也會影響液化潛能。少量粉土（如土樣 B 的 $30\%$）有時會增加液化潛能，因為細粒料可以填充砂粒間的空隙，使得整個土體結構更為鬆散。然而，過多的細粒料（如土樣 A）則可能使土體表現出黏性，降低液化風險。

結論：
在 A, B, C 三者中，土樣 B 最可能產生土壤液化災害。原因如下：

1. 它主要是砂土，而砂土是液化的高風險土。
2. 它屬於級配良好的砂 (SW)，但與 C 相比，其粒徑較小，且含有較高的細粒料（$30\%$），這可能使其結構更為鬆散，或細粒料填充空隙後，在快速加載下孔隙水壓力更容易累積。

(B) 土壤液化潛能如何評估？

土壤液化潛能的評估是一個複雜的過程，通常包含以下幾個主要方面：

1. 場址的地震危害評估：

   • 確定場址可能遭遇的最大地震強度（地震規模）、震源距離、預期的地面加速度 PGA (Peak Ground Acceleration) 等。
   • 考慮場址的土壤條件，包括土壤的剪切波速 ($V_s$)，用於判斷土壤的平均剪切波速（$V_{s30}$），這與土壤的密實度密切相關。

2. 土壤條件的評估：

   • 土壤類型： 確定土壤是否為易液化土，通常是飽和的砂土、粉砂土或細砂。
   • 土壤參數：
     • 粒徑分布： $D_{10}$、$D_{50}$、$C_u$、$C_c$ 等。一般而言，$D_{50}$ 在 $0.02 mm$ 到 $2.0 mm$ 之間的砂土最易液化。

本題主要考驗對三軸試驗結果的解讀，以及如何利用有效應力原理和破壞準則（Mohr-Coulomb 準則）來計算土壤的摩擦角和孔隙水壓力參數。題目給予的是一個不排水三軸試驗 (CU test, Consolidated-Undrained test) 的結果。

核心概念：

• 有效應力原理： 總應力、孔隙水壓力與有效應力的關係：$\sigma' = \sigma - u$。
• Mohr-Coulomb 破壞準則： 土壤的破壞發生在有效應力路徑達到一條與有效應力軸相切的直線時。
  • 對於排水條件 (drained) 或有效應力分析 (effective stress analysis)：$\tau_f = c' + \sigma' \tan \phi'$。
  • 對於不排水條件 (undrained) 或總應力分析 (total stress analysis)：$\tau_f = c_u + \sigma \tan \phi_u$。
• 三軸試驗參數：
  • 均向壓力 (Confining pressure)：$\sigma_3$。
  • 軸差應力 (Deviatoric stress)：$\Delta \sigma_d = \sigma_1 - \sigma_3$。
  • 總應力：$\sigma_1$ (最大主應力), $\sigma_3$ (最小主應力)。
  • 孔隙水壓力 (Pore water pressure)：$u$ 或 $\Delta u$ (對於 CU 試驗，通常指增加的水壓)。
  • 有效應力：$\sigma_1'$ (最大主有效應力), $\sigma_3'$ (最小主有效應力)。
  • 摩擦角：$\phi'$ (有效應力摩擦角), $\phi_u$ (總應力摩擦角)。
  • 黏聚力：$c'$ (有效應力黏聚力), $c_u$ (總應力黏聚力)。
  • 孔隙水壓力參數：$A_f$ (Skempton's pore pressure parameter)。

已知條件：

• 壓密階段均向壓力 (總應力) $\sigma_3 = 150 kN/m^2$。
• 不排水試驗階段，破壞時軸差應力 $\Delta \sigma_{d,f} = (\sigma_1 - \sigma_3)_f = 100 kN/m^2$。
• 破壞時孔隙水壓力增量 $(\Delta u)_f = 50 kN/m^2$。
• 假設此土壤為無黏性土 (cohesionless soil)，故 $c' = 0$ 且 $c_u = 0$。這是土壤力學常見的假設，除非題目明確給出黏聚力。

解題步驟：

A. 計算壓密-不排水摩擦角 $\phi'$ (Effective Stress Friction Angle)

在 CU 試驗中，壓密階段是以總應力進行，但破壞時分析的是有效應力。

1. 計算破壞時的總應力：
   最大主應力 $\sigma_1 = \sigma_3 + \Delta \sigma_{d,f} = 150 kN/m^2 + 100 kN/m^2 = 250 kN/m^2$。
   最小主應力 $\sigma_3 = 150 kN/m^2$。

2. 計算破壞時的有效應力：
   此階段為不排水，孔隙水壓力增量為 $(\Delta u)_f = 50 kN/m^2$。
   最小主有效應力 $\sigma_3' = \sigma_3 - (\Delta u)_f = 150 kN/m^2 - 50 kN/m^2 = 100 kN/m^2$。
   最大主有效應力 $\sigma_1' = \sigma_1 - (\Delta u)_f = 250 kN/m^2 - 50 kN/m^2 = 200 kN/m^2$。

3. 應用有效應力 Mohr-Coulomb 破壞準則：
   對於無黏性土 ($c'=0$)，破壞準則為 $\tau_f = \sigma' \tan \phi'$。
   在 Mohr 圓的有效應力座標系中，破壞準則曲線通過原點 (假設 $c'=0$)，且與破壞時的有效應力圓相切。
   我們知道 $\sigma_1'$ 和 $\sigma_3'$，可以利用它們與 $\phi'$ 的關係來求解。
   $\sigma_1' = \sigma_3' \tan^2(45^\circ + \frac{\phi'}{2}) + 2c' \tan(45^\circ + \frac{\phi'}{2})$
   由於 $c'=0$， $\sigma_1' = \sigma_3' \tan^2(45^\circ + \frac{\phi'}{2})$。
   另一種常用關係是： $\sin \phi' = \frac{\sigma_1' - \sigma_3'}{\sigma_1' + \sigma_3'}$。