109 年 國立宜蘭大學土木工程學系碩士班甲組《工程數學》

核心觀念

此題是二階常係數線性非齊次微分方程：

$$y''+6y'+9y=3e^{-3x}.$$

左側微分算子可因式分解為

$$D^2+6D+9=(D+3)^2,$$

其中 $D=\dfrac{d}{dx}$。

解題包含兩部分：

1. 先由特徵方程求齊次解 $y_h$。
2. 再利用待定係數法或變數代換求特解 $y_p$。

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解題方法

一、求齊次解

先考慮對應的齊次方程：

$$y''+6y'+9y=0.$$

其特徵方程為

$$r^2+6r+9=0,$$

因式分解得

$$(r+3)^2=0.$$

因此有重根 $r=-3$，重根的齊次解形式為

$$y_h=(C_1+C_2x)e^{-3x},$$

其中 $C_1,C_2$ 為任意常數。

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二、求非齊次特解

右側為 $3e^{-3x}$，而 $-3$ 正是特徵方程的二重根，因此直接設

$$y_p=Ae^{-3x}$$

會與齊次解重複。由於重根重數為 $2$，試設必須乘上 $x^2$：

$$y_p=Ax^2e^{-3x}.$$

為了簡化計算，令

$$y=e^{-3x}u(x).$$

則

$$y'=e^{-3x}(u'-3u),$$

以及

$$y''=e^{-3x}(u''-6u'+9u).$$

代回左側：

核心觀念

本題是 Cauchy–Euler 方程式：

$$x^2y''+axy'+by=f(x).$$

對齊次方程式，設

$$y=x^m \qquad (x\neq 0),$$

則

$$y'=mx^{m-1},\qquad y''=m(m-1)x^{m-2}.$$

代入後可得到關於 $m$ 的特徵方程。若右側非齊次項的冪次 $x^r$ 同時對應特徵根，便發生共振，特解需乘上 $\ln|x|$。

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解題方法

1. 求齊次解

先考慮齊次方程式：

$$x^2y''-2xy'-4y=0.$$

設

$$y=x^m,$$

則

$$y'=mx^{m-1},\qquad y''=m(m-1)x^{m-2}.$$

代入原式：

$$x^2m(m-1)x^{m-2} -2x(mx^{m-1}) -4x^m=0.$$

整理得

$$\left[m(m-1)-2m-4\right]x^m=0.$$

因為 $x\neq 0$，故特徵方程為

$$m(m-1)-2m-4=0,$$

即

$$m^2-3m-4=0.$$

因式分解：

$$(m-4)(m+1)=0.$$

因此

$$m_1=4,\qquad m_2=-1.$$

齊次解為

$$y_h=C_1x^4+C_2x^{-1}.$$

2. 求特解

非齊次項為

$$2x^4.$$

若直接設 $y_p=Ax^4$，由於 $x^4$ 已是齊次解的一部分，代入微分算子後會得到零，因此必須乘上 $\ln|x|$。設

$$y_p=Ax^4\ln|x|.$$

令

$$u=x^4\ln|x|.$$

則

$$u'=4x^3\ln|x|+x^3,$$

以及

$$u''=12x^2\ln|x|+7x^2.$$

核心觀念

本題考查：

• 特徵值方程式
  $\det(A-\lambda I)=0$
• 特徵向量方程式
  $(A-\lambda I)\mathbf{x}=\mathbf{0}$
• 矩陣對角化：若 $A$ 有兩個線性獨立的特徵向量，則
  $A=PDP^{-1}$
  其中 $D$ 的對角元素為特徵值，$P$ 的各行列向量為對應的特徵向量。
• 利用相似矩陣計算高次方：
  $A^n=PD^nP^{-1}$

解題方法

令

$$A= \begin{bmatrix} -1&2\\ 8&-7 \end{bmatrix}$$

（1）特徵值與特徵向量

特徵值由特徵方程式決定：

$$\det(A-\lambda I) = \det \begin{bmatrix} -1-\lambda&2\\ 8&-7-\lambda \end{bmatrix} =0$$

因此

$$(-1-\lambda)(-7-\lambda)-16=0$$

整理得

$$(\lambda+1)(\lambda+7)-16=0$$ $$\lambda^2+8\lambda-9=0$$ $$(\lambda-1)(\lambda+9)=0$$

所以特徵值為

$$\lambda_1=1,\qquad \lambda_2=-9$$

當 $\lambda_1=1$

解

$$(A-I)\mathbf{x}=\mathbf{0}$$ $$A-I= \begin{bmatrix} -2&2\\ 8&-8 \end{bmatrix}$$

令特徵向量為 $\mathbf{x}=\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}$，則

$$-2x+2y=0$$

所以

$$y=x$$

可取

$$\mathbf{v}_1= \begin{bmatrix} 1\\ 1 \end{bmatrix}$$

當 $\lambda_2=-9$

解

$$(A+9I)\mathbf{x}=\mathbf{0}$$ $$A+9I= \begin{bmatrix} 8&2\\ 8&2 \end{bmatrix}$$

因此

$$8x+2y=0$$

整理得

$$y=-4x$$

可取

$$\mathbf{v}_2= \begin{bmatrix} 1\\ -4 \end{bmatrix}$$

（2）以對角化求相似矩陣 $D$

將特徵向量排成矩陣 $P$：

$$P= \begin{bmatrix} 1&1\\ 1&-4 \end{bmatrix}$$

對應的特徵值放在對角線上：

$$D= \begin{bmatrix} 1&0\\ 0&-9 \end{bmatrix}$$

因為

$$AP=PD$$

所以

$$A=PDP^{-1}$$

先求 $P^{-1}$。由

$$\det(P)=1(-4)-1(1)=-5$$

得到

$$P^{-1} = \frac{1}{-5} \begin{bmatrix} -4&-1\\ -1&1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac45&\frac15\\ \frac15&-\frac15 \end{bmatrix}$$

因此 $A$ 可對角化為

核心觀念

此題考查一階常係數線性微分方程組。將未知函數寫成向量

$$\mathbf{X}(t)= \begin{bmatrix} x(t)\\ y(t) \end{bmatrix},$$

原方程組可表示為

$$\mathbf{X}'(t) = \begin{bmatrix} 6&3\\ 2&1 \end{bmatrix} \mathbf{X}(t) + \begin{bmatrix} 1\\ -1 \end{bmatrix}e^t.$$

解法分為：

1. 求齊次方程組的特徵值與特徵向量。
2. 對外力項 $\begin{bmatrix}1\\-1\end{bmatrix}e^t$ 設定特解。
3. 合併通解，再利用初始條件求常數。

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解題方法

一、求齊次解

先考慮齊次系統

$$\mathbf{X}'= A\mathbf{X},\qquad A= \begin{bmatrix} 6&3\\ 2&1 \end{bmatrix}.$$

特徵方程為

$$\det(A-\lambda I) = \begin{vmatrix} 6-\lambda&3\\ 2&1-\lambda \end{vmatrix}$$ $$=(6-\lambda)(1-\lambda)-6 =\lambda^2-7\lambda =\lambda(\lambda-7).$$

因此特徵值為

$$\lambda_1=0,\qquad \lambda_2=7.$$

當 $\lambda_1=0$ 時，

$$\begin{bmatrix} 6&3\\ 2&1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} u\\v \end{bmatrix} =\mathbf{0},$$

可得 $v=-2u$，取特徵向量

$$\mathbf{v}_1= \begin{bmatrix} 1\\-2 \end{bmatrix}.$$

當 $\lambda_2=7$ 時，

$$(A-7I) \begin{bmatrix} u\\v \end{bmatrix} =\mathbf{0},$$

可得 $v=u/3$，取特徵向量

$$\mathbf{v}_2= \begin{bmatrix} 3\\1 \end{bmatrix}.$$

故齊次解為

$$\mathbf{X}_h(t) = C_1 \begin{bmatrix} 1\\-2 \end{bmatrix} + C_2e^{7t} \begin{bmatrix} 3\\1 \end{bmatrix}.$$

也就是

$$x_h(t)=C_1+3C_2e^{7t},$$ $$y_h(t)=-2C_1+C_2e^{7t}.$$

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二、求特解

右側外力項為

$$\begin{bmatrix} 1\\-1 \end{bmatrix}e^t,$$

因此設特解為

$$x_p(t)=ae^t,\qquad y_p(t)=be^t.$$

代回原方程組：

$$ae^t-6ae^t-3be^t=e^t,$$ $$be^t-2ae^t-be^t=-e^t.$$