109 年 國立宜蘭大學土木工程學系碩士班甲組《靜力學》

核心觀念

依圖取 $A$ 為 $x=0$，各作用位置為：

• $30\ \text{kN}\cdot\text{m}$ 順時針力偶：$x=2\ \text{m}$
• $10\ \text{kN}$ 向下集中力：$x=3\ \text{m}$
• 支承 $B$：$x=5\ \text{m}$
• $20\ \text{kN/m}$ 均布載重：$5\le x\le 8\ \text{m}$

均布載重可等效為

$$W=20(3)=60\ \text{kN}$$

作用於均布區段中央，即 $x=6.5\ \text{m}$。

採用正剪力向上、正彎矩為下凹彎矩，並使用

$$\frac{dV}{dx}=-w,\qquad \frac{dM}{dx}=V$$

集中力使剪力圖產生跳躍；集中力偶不影響剪力，但會使彎矩圖產生跳躍。

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解題方法：先求支承反力

水平方向沒有外力，因此

$$A_x=0$$

垂直力平衡：

$$A_y+B_y-10-60=0$$ $$A_y+B_y=70$$

以 $A$ 點取逆時針力矩：

$$5B_y-10(3)-60(6.5)-30=0$$ $$5B_y=450$$ $$B_y=90\ \text{kN}$$

因此

$$A_y=70-90=-20\ \text{kN}$$

負號表示 $A$ 點實際反力方向向下 $20\ \text{kN}$。

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剪力圖

由 $A$ 點右側開始：

1. $A$ 點反力使剪力跳至

$$V=-20\ \text{kN}$$

2. $30\ \text{kN}\cdot\text{m}$ 力偶不改變剪力，因此 $0<x<3$ 時

$$V=-20\ \text{kN}$$

3. $x=3\ \text{m}$ 處有 $10\ \text{kN}$ 向下集中力：

$$V(3^+)=-20-10=-30\ \text{kN}$$

4. $B$ 點反力使剪力增加 $90\ \text{kN}$：

$$V(5^+)=-30+90=60\ \text{kN}$$

5. 均布載重區間內：

$$V(x)=60-20(x-5),\qquad 5\le x\le 8$$

故自由端

$$V(8)=60-20(3)=0$$

剪力圖主要座標如下：

位置	剪力
$A^+$	$-20\ \text{kN}$
$x=3^-$	$-20\ \text{kN}$
$x=3^+$	$-30\ \text{kN}$
$B^-$	$-30\ \text{kN}$
$B^+$	$60\ \text{kN}$
$x=8$	$0$

因此剪力圖為：

• $A$ 至 $x=3$：水平線 $V=-20\ \text{kN}$
• $x=3$ 至 $B$：水平線 $V=-30\ \text{kN}$
• $B$ 點向上跳至 $60\ \text{kN}$
• $B$ 至自由端：以斜率 $-20\ \text{kN/m}$ 線性下降至零

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彎矩圖

$A$ 點為鉸支承，因此

$$M(0)=0$$

由剪力面積計算彎矩：

核心觀念

本題屬於三維剛體平衡，需同時使用：

$$\sum \mathbf F=\mathbf 0,\qquad \sum \mathbf M_A=\mathbf 0$$

其中外力包含：

• $200\ \text{kN}$ 的空間集中力；
• $100\ \text{kN}\cdot\text{m}$ 的力偶；
• $A、B、C$ 支承所產生的反力。

三維問題必須先將集中力分解為 $x、y、z$ 三方向分量，再建立三個力平衡式與三個力矩平衡式。

解題方法

由原卷圖可判讀集中力與鉛直方向夾角為 $45^\circ$，因此其鉛直分量大小為

$$F_z=200\cos45^\circ=141.4\ \text{kN}$$

其水平分量大小為

$$F_h=200\sin45^\circ=141.4\ \text{kN}$$

但原圖中下列關鍵資料無法由目前提供的影像明確判定：

核心觀念

由圖可知陰影區域由

$$y=x^{2/3},\qquad y=x^{3/2}$$

所圍成，兩曲線交於 $(0,0)$ 與 $(1,1)$。在 $0\le x\le1$ 時，

$$x^{2/3}\ge x^{3/2}$$

因此區域為

$$0\le x\le1,\qquad x^{3/2}\le y\le x^{2/3}.$$

使用垂直微小面積條：

$$dA=\left(x^{2/3}-x^{3/2}\right)dx.$$

形心公式為

$$x_c=\frac{1}{A}\int x\,dA,\qquad y_c=\frac{1}{A}\int y\,dA.$$

對原點軸的面積慣性矩為

$$I_x=\int y^2\,dA,\qquad I_y=\int x^2\,dA.$$

解題方法

先求面積：

$$\begin{aligned} A &=\int_0^1\left(x^{2/3}-x^{3/2}\right)dx\\ &=\left[\frac{3}{5}x^{5/3}-\frac{2}{5}x^{5/2}\right]_0^1\\ &=\frac{1}{5}\ \text{m}^2. \end{aligned}$$

求 $x$ 方向形心座標：

$$\begin{aligned} \int x\,dA &=\int_0^1x\left(x^{2/3}-x^{3/2}\right)dx\\ &=\int_0^1\left(x^{5/3}-x^{5/2}\right)dx\\ &=\frac{3}{8}-\frac{2}{7} =\frac{5}{56}\ \text{m}^3. \end{aligned}$$

因此

$$x_c=\frac{5/56}{1/5} =\frac{25}{56}\ \text{m}.$$

求 $y$ 方向形心座標：

核心觀念

將斷面分成三個互不重疊的矩形，並使用平行軸定理：

$$I_x=\sum\left(I_{x,c_i}+A_i y_i^2\right)$$ $$I_y=\sum\left(I_{y,c_i}+A_i x_i^2\right)$$ $$I_{xy}=\sum\left(I_{xy,c_i}+A_i x_i y_i\right)$$

矩形自身兩軸與邊平行，因此其形心慣性積 $I_{xy,c_i}=0$。以下採用

$$I_{xy}=\int_A xy\,dA$$

的定義。

解題方法

依圖，水平矩形寬度為

$$160=80+80\ \text{mm}$$

厚度為 $10\ \text{mm}$；左右兩個直立矩形均為 $10\text{ mm}\times100\text{ mm}$。

由圖中尺寸，左右直立矩形形心至 $y$ 軸的距離為

$$x_i=80-\frac{10}{2}=75\ \text{mm}$$

其形心至 $x$ 軸的距離為

$$y_i=100+\frac{10}{2}=55\ \text{mm}$$

左直立矩形形心座標為 $(-75,55)$，右直立矩形形心座標為 $(75,-55)$。

1. 水平矩形

$$A_1=160(10)=1600\ \text{mm}^2$$ $$I_{x1}=\frac{160(10)^3}{12}=13333.33\ \text{mm}^4$$ $$I_{y1}=\frac{10(160)^3}{12}=3413333.33\ \text{mm}^4$$

2. 左、右直立矩形

每一個直立矩形的面積為