109 年 國立宜蘭大學土木工程學系碩士班乙組《測量學》

測量誤差是測量過程中，由於各種因素的影響，導致測量值與真值之間存在的差異。理解誤差的來源與種類，是提高測量精度、進行誤差分析與改正的基礎。

一、誤差的來源

測量誤差的來源可歸納為以下幾大類：

1. 儀器誤差 (Instrumental Errors)：

   • 定義：由測量儀器本身的缺陷、製造上的不完美、校準不準確或磨損所引起。
   • 範例：
     • 經緯儀的照準部或基座不水平。
     • 水準儀的視準軸與水準管軸不平行（視準軸傾斜）。
     • 測距儀的電子元件老化導致測量不準。
     • 鋼捲尺因溫度變化而伸長或收縮。
   • 特性：通常具有系統性，且大小與方向可能與某些測量條件（如儀器使用方式、環境溫度）有關。

2. 人員誤差 (Personal Errors)：

   • 定義：由操作測量儀器的人員的主觀判斷、生理狀況、經驗不足或操作不當所引起。
   • 範例：
     • 瞄準目標時，視線未能準確對準目標中心。
     • 讀數時，視線未垂直於刻度尺（視差）。
     • 記錄數據時的粗心大意。
     • 操作儀器時的手部晃動。
     • 對環境條件（如風、震動）的反應。
   • 特性：可能呈現系統性或偶然性，且因人而異。

3. 外業環境誤差 (Environmental Errors)：

   • 定義：由測量時所處的外部環境條件變化所引起。
   • 範例：
     • 溫度效應：儀器、測量基準線（如鋼捲尺）因溫度變化而產生尺寸變化。
     • 大氣折射：光線通過密度不同的空氣層時發生彎曲，影響視線方向。
     • 重力變化：影響測量儀器的穩定性。
     • 風力：影響儀器（如經緯儀、全測站儀）的穩定性，或導致風向標、尺子晃動。
     • 地表沉降或變形：影響基準點的穩定性。
     • 電磁波傳播延遲：影響電子測距儀和 GNSS 測量。
   • 特性：通常是系統性誤差，且與環境條件的變化有關。

4. 方法誤差 (Method Errors)：

   • 定義：由於選用的測量方法或計算方法本身不夠完善，或未考慮某些影響因素所導致。
   • 範例：
     • 採用簡化公式進行計算，忽略了某些次要項。
     • 在高精度測量中，未使用改正彎曲（折射）和重力影響的公式。
     • 對特定測量（如大地測量）未進行地球曲率的考慮。
   • 特性：通常是系統性誤差，且與所採用的測量模型有關。

二、誤差的種類

根據誤差的性質和影響，可將其分為以下幾類：

1. 系統誤差 (Systematic Errors)：
   • 定義：在相同條件下，對同一量進行一次或一系列測量時，其大小和符號保持恆定，或以一定的規律性變化的誤差。

測量的基本原理是利用已知的條件，通過測量手段來確定未知點的位置或確定已知點之間的幾何關係。其核心在於「已知」與「未知」的聯繫，以及「量測」與「計算」的結合。

一、測量基本原理

測量學的基本原理可以概括為：從整體到局部，從較高精度到較低精度。但更具體的原理體現在如何利用已知點來確定未知點。廣義上，測量學的根本原理是：

1. 從已知求未知 (From Known to Unknown)：任何測量工作都必須基於已知確定的基準點、基準線或基準面。利用這些已知信息，通過測量來確定未知點的位置、高程或兩點間的關係。
2. 利用幾何關係 (Utilizing Geometric Relationships)：測量是將地理空間的實際位置關係，轉化為可以通過測量儀器進行量測的幾何量（如角度、距離、高差），並通過數學方法（如三角學、解析幾何）求解。
3. 精度控制 (Accuracy Control)：為了保證測量結果的可靠性，必須從測量設計、儀器選用、操作方法、數據處理到成果驗證，都進行嚴格的精度控制。通常採用「從高精度到低精度」的原則，即先測定高精度控制點，再以此為基礎向低精度區域延伸。

二、定點方法（利用已知點確定未知點）

所謂「定點」，是指確定一個未知點在平面或空間中的位置。這通常需要建立一個坐標系統，並確定該點在該坐標系統中的坐標值。確定一個平面位置點，一般需要兩個獨立的量測條件。以下介紹三種常用的定點方法及其原理：

1. 前方交會 (Forward Intersection)

• 原理：在已知點（標稱點）上安置儀器，測量未知點（目標點）的方向角，同時在另一個已知點上，測量未知點的方向角。通過兩個已知點與未知點之間形成的夾角，利用三角學原理計算未知點的位置。
• 繪圖與說明：
  • 假設已知點為 $A$ 和 $B$，其坐標已知。
  • 在已知點 $A$ 處，安置測量儀器，對未知點 $P$ 測量其方向角（或水平角）。得到直線 $AP$ 的方位。
  • 在已知點 $B$ 處，安置測量儀器，對未知點 $P$ 測量其方向角（或水平角）。得到直線 $BP$ 的方位。
  • 在已知點 $A$ 和 $B$ 之間，已知邊長 $AB$。
  • 在三角形 $ABP$ 中，已知邊 $AB$ 的長度，以及角 $\angle PAB$ 和 $\angle PBA$（由測量得到的方向角計算而得）。
  • 利用正弦定理，可以計算出邊長 $AP$ 和 $BP$，進而根據已知點 $A$ 的坐標和邊長 $AP$ 及方位角，或根據已知點 $B$ 的坐標和邊長 $BP$ 及方位角，計算出未知點 $P$ 的坐標 $(x_P, y_P)$。
  • 繪圖：

          P (未知點)
         /|
        / |
       /  |
      /   |
     /    |
    A-----B
    

  (已知點) (已知點)
  ```
  圖中，點 A 和 B 是已知點，點 P 是未知點。從 A 測量 $\angle PAB$ (或 $AP$ 的方位角)，從 B 測量 $\angle PBA$ (或 $BP$ 的方位角)。已知邊長 $AB$。

2. 前方切線 (Forward Tangent)

• 原理：在已知點上測量未知點的方向角，並測量該方向線與已知點上另一已知方向線（通常是已知點之間的邊）的夾角。同時，在未知點上，測量其到另一個已知點的距離。
• 繪圖與說明：
  • 假設已知點為 $A$ 和 $B$，其坐標已知。
  • 在已知點 $A$ 處，安置儀器，測量未知點 $P$ 的方向角。
  • 在已知點 $A$ 處，也知道 $AB$ 的方位角。從測量得到的 $AP$ 的方位角，可以計算出 $\angle PAB$。
  • 在未知點 $P$ 處，安置儀器（或使用其他方法），測量其到已知點 $B$ 的距離 $PB$。
  • 在三角形 $ABP$ 中，已知邊 $AB$ 的長度，已知角 $\angle PAB$，已知邊 $PB$ 的長度。
  • 根據邊邊角（SAS）或邊角邊（ASA）的原理，可以計算出未知點 $P$ 的坐標。
  • 繪圖：

一、前方交會 (Forward Intersection) 定義

前方交會是一種在已知點上安置儀器，向未知點進行定向（測量方向角或方位角），並在其他已知點上同時進行同樣觀測，藉由已知點與未知點所構成的幾何圖形，運用三角學原理來計算未知點坐標的方法。此方法的核心在於，從兩個或兩個以上已知點，對同一個未知點進行角度量測，從而確定該未知點的位置。

二、基本原理

前方交會的原理是基於平面三角形的解算。若已知三角形的一條邊長及其兩個對角，則可以解算整個三角形。在測量學中，我們有兩個已知坐標的點 $A$ 和 $B$，它們之間的距離 $AB$ 是已知的。我們在 $A$ 點和 $B$ 點分別安置儀器，測量到未知點 $P$ 的方向角（或方位角）。

• 在已知點 $A$ 處，測得 $AP$ 的方位角為 $\alpha_{AP}$。
• 在已知點 $B$ 處，測得 $BP$ 的方位角為 $\alpha_{BP}$。
• 已知點 $A$ 的坐標為 $(x_A, y_A)$。
• 已知點 $B$ 的坐標為 $(x_B, y_B)$。
• 已知邊長 $AB$ 的長度 $d_{AB}$。

通過這些已知信息，我們可以計算出未知點 $P$ 的坐標 $(x_P, y_P)$。

三、計算公式

假設已知點 $A$ 和 $B$ 的坐標分別為 $(x_A, y_A)$ 和 $(x_B, y_B)$，以及它們之間的距離 $d_{AB}$。
在 $A$ 點測得 $AP$ 的方位角為 $\alpha_{AP}$，在 $B$ 點測得 $BP$ 的方位角為 $\alpha_{BP}$。
為了計算 $P$ 的坐標，我們首先需要確定三角形 $ABP$ 中的三個角。

1. 計算邊 $AB$ 的方位角：
   邊 $AB$ 的方位角 $\alpha_{AB}$ 可以由 $A$ 和 $B$ 的坐標計算得出：
   $\alpha_{AB} = \operatorname{atan2}(x_B - x_A, y_B - y_A)$
   （注意：這裡的 atan2 函數是標準的數學函數，第一個參數是 $\Delta x$，第二個參數是 $\Delta y$，它能正確處理象限問題，返回 0 到 360 度之間的角度。如果使用 $\operatorname{atan}(\Delta x / \Delta y)$，需要額外判斷象限。）
   為了方便計算，我們通常將所有方位角統一在 0° 到 360° 之間。

2. 計算三角形 $ABP$ 中的角度：

   • $\angle PAB$：這是直線 $AP$ 相對於直線 $AB$ 的夾角。
     $\angle PAB = \alpha_{AP} - \alpha_{AB}$
     如果結果為負，則加上 360°，確保角度在 0° 到 360° 之間。

   • $\angle PBA$：這是直線 $BP$ 相對於直線 $BA$ 的夾角。由於 $BA$ 的方位角為 $\alpha_{AB} + 180^\circ$（或 $\alpha_{AB} - 180^\circ$），我們可以計算：
     $\angle PBA = \alpha_{BP} - (\alpha_{AB} + 180^\circ)$
     或者，更簡單的方法是，已知 $\angle PAB$ 和邊 $AB$ 的長度 $d_{AB}$，我們還可以計算出 $\angle ABP$：
     $\angle ABP = \alpha_{AB} - \alpha_{BP} + 180^\circ$
     （注意：這裡的角度計算需要仔細處理方向和符號，確保在三角形內部。）
     實際上，更常用的是直接利用方位角計算出三角形的內角：

     • $\angle PAB$ (或稱 $\angle APB$ 相對於 $AB$)：
       $\text{角 1} = \alpha_{AP} - \alpha_{AB}$
     • $\angle ABP$ (或稱 $\angle BPA$ 相對於 $BA$)：
       $\text{角 2} = \alpha_{BP} - \alpha_{BA} = \alpha_{BP} - (\alpha_{AB} + 180^\circ)$
     • 另一種計算 $\angle ABP$ 的方式是：
       $\angle ABP = \alpha_{AB} - \alpha_{BP} + 180^\circ$
       （請注意，角度計算的符號和方向非常重要，可能會因定義不同而異。為了清晰，我們將利用正弦定理計算邊長。）

   • 計算 $\angle APB$：
     $\angle APB = 180^\circ - \angle PAB - \angle PBA$
     （這裡 $\angle PAB$ 和 $\angle PBA$ 是指三角形 $ABP$ 的內角。）

3. 利用正弦定理計算邊長 $AP$ 和 $BP$：
   在三角形 $ABP$ 中，我們已知邊 $AB$ 的長度 $d_{AB}$，以及三個角。
   根據正弦定理：
   $\frac{d_{AP}}{\sin(\angle PBA)} = \frac{d_{BP}}{\sin(\angle PAB)} = \frac{d_{AB}}{\sin(\angle APB)}$

本題主要在於定義 RTK 和 e-GNSS 這兩種 GNSS 應用技術，並釐清它們之間的差異。

一、何謂 RTK (Real-Time Kinematic) 即時動態測量？ (6 分)

RTK (Real-Time Kinematic) 是一種高精度的 GNSS（全球導航衛星系統）定位技術。其核心在於利用載波相位觀測值，並通過無線電或網路即時傳輸差分改正訊息，來獲得釐米級（甚至毫米級）的定位精度。

• 基本原理：

  • 載波相位觀測：傳統的 GNSS 測量主要使用 Pseudo Range（偽距）觀測值，而 RTK 使用的是衛星信號的載波相位觀測值。載波相位觀測值具有極高的頻率，因此其測量精度遠高於偽距。
  • 整週模糊度 (Ambiguity Resolution)：載波相位的測量值是相對的，存在一個未知的整數週數（整週模糊度）。RTK 的關鍵技術在於如何快速、可靠地確定這個整週模糊度。
  • 差分技術：為了快速確定整週模糊度並提高精度，RTK 通常採用差分技術。它需要一個已知坐標的基準站 (Base Station) 和一個或多個移動站 (Rover)。
  • 即時傳輸：基準站觀測衛星數據後，計算出改正訊息（如整週模糊度的差分值），並通過無線電或網路即時傳輸給移動站。
  • 移動站解算：移動站接收到基準站的改正訊息後，結合自身觀測到的衛星數據，進行整週模糊度的解算，進而獲得高精度的即時座標。

• 應用：高精度地形測量、工程放樣、管線鋪設、地籍測量、土地管理等。

二、何謂 e-GNSS (Enhanced Global Navigation Satellite System) 測量？ (6 分)

e-GNSS (Enhanced Global Navigation Satellite System) 是一種廣義的概念，指的是經過增強或改進的全球導航衛星系統。它不僅僅是指單一的 GNSS 系統（如 GPS、GLONASS、Galileo、BeiDou），而是指利用多個 GNSS 系統的觀測值，或結合其他輔助訊息（如差分改正數據、慣性導航系統 INS）來提高定位的可用性、可靠性、精度和韌性。

• 廣義定義：

  • 多系統整合：同時接收和處理來自不同 GNSS 系統的衛星信號（如 GPS + GLONASS + Galileo + BeiDou）。這可以增加可見衛星的數量，提高衛星幾何構型（DOP 值），從而在衛星信號較弱或有遮擋的環境下仍能維持定位。
  • 差分 GNSS (DGNSS)：利用差分技術（如 RTK、PPP-RTK）來提高定位精度。
  • 組合導航 (Integrated Navigation)：將 GNSS 與其他導航傳感器（如 IMU/INS、輪速編碼器、雷達、光學傳感器）結合，以彌補 GNSS 在特定環境下的不足（如遮擋、信號干擾），提供更連續、更穩定的定位服務。
  • 增強服務 (Augmentation Services)：例如 WAAS (Wide Area Augmentation System)、EGNOS (European Geostationary Navigation Overlay Service) 等，提供基於區域的差分改正服務，提高定位精度。

• 目的：提高定位的精度、可靠性（韌性）、可用性，尤其是在城市峽谷、室內、樹林等 GNSS 信號較差的環境。

三、說明 RTK 和 e-GNSS 兩種定位技術的差異性。(8 分)

RTK 和 e-GNSS 是相互關聯但概念層級不同的術語。RTK 是 e-GNSS 的一種具體應用技術或方法，而 e-GNSS 則是一個更廣泛的概念或範疇。

本題主要考察 GNSS 測量中橢球高 (Ellipsoidal Height, $h$) 與正高 (Orthometric Height, $H$) 之間的關係，以及大地水準面 (Geoid) 的概念。

基本概念回顧

• 橢球體 (Ellipsoid)：用來近似地球形狀的數學模型，是 GNSS 衛星導航系統的參考體，其表面稱為參考橢球體。GNSS 測量直接得到的是點在參考橢球體上的高程，即橢球高 ($h$)。
• 大地水準面 (Geoid)：地球的平均海平面，在遠離陸地的大洋上延伸，是一個重力等位面。它是定義高程（高程）的基準面，即正高 ($H$) 是相對於大地水準面的高程。
• 大地水準面差距 (Geoid Undulation, $N$)：參考橢球體表面與大地水準面之間的垂直距離。
  • 如果大地水準面在高於參考橢球體，則 $N$ 為正值。
  • 如果大地水準面在參考橢球體之下，則 $N$ 為負值。
• 橢球高、正高與大地水準面差距的關係：
  $h = H + N$
  或
  $H = h - N$
  其中：
  • $h$：橢球高 (Ellipsoidal Height)
  • $H$：正高 (Orthometric Height)
  • $N$：大地水準面差距 (Geoid Undulation)

題目分析

題目給定：

• 台北市區某水準點：橢球高減去正高值為 $A$。即 $A = h_{台北} - H_{台北}$。
• 玉山山區某水準點：橢球高減去正高值為 $B$。即 $B = h_{玉山} - H_{玉山}$。

根據公式 $h = H + N$，我們有 $h - H = N$。
所以，$A = N_{台北}$，而 $B = N_{玉山}$。
問題就轉化為：台北市區和玉山山區的大地水準面差距 $N$ 是正值還是負值？

一、(a) A 為正值或負值？為何？(5 分)

• 分析：台北市區位於台灣西部平原地區，相對靠近海岸線。台灣的大地水準面與參考橢球體之間的關係，在西部地區，大地水準面普遍高於參考橢球體。
• 原因：這是由於地球表面的質量分佈不均勻造成的。台灣西部地區的地形相對平坦，但受到地殼構造、岩石密度分佈等因素的影響，大地水準面在該區域通常比參考橢球體略高。
• 結論：因此，$N_{台北}$（即 $A$）應為正值。
  $A = h_{台北} - H_{台北} = N_{台北} > 0$。

二、(b) B 為正值或負值？為何？(5 分)

• 分析：玉山山區位於台灣東部高聳的山脈地區。在高山地區，由於地形起伏劇烈，質量分佈更加複雜。一般而言，在高山地區，大地水準面相對於參考橢球體的位置變化較大。
• 原因：在高山地區，地表物質的密度分佈與參考橢球體的假設可能存在較大偏差。在某些高山區域，大地水準面可能相對參考橢球體略低。具體而言，台灣的山區，尤其是高山地區，大地水準面相較於參考橢球體，其差距 $N$ 值通常是負的（大地水準面在參考橢球體之下）。
• 結論：因此，$N_{玉山}$（即 $B$）應為負值。
  $B = h_{玉山} - H_{玉山} = N_{玉山} < 0$。

三、(c) A 減去 B 為正值或負值？為何？(5 分)

• 分析：我們已知 $A = N_{台北}$ (正值) 且 $B = N_{玉山}$ (負值)。
  我們要求計算 $A - B$ 的符號。
  $A - B = N_{台北} - N_{玉山}$。
• 計算：
  由於 $N_{台北} > 0$ 且 $N_{玉山} < 0$，