108 年 國立宜蘭大學土木工程學系碩士班甲組《靜力學》

核心觀念

任意力系可化為一個合力與一個參考點的合矩。力扭系統的合矩必須平行於合力：

$$\mathbf M_R=\frac{\mathbf F_R\cdot\mathbf M_O}{|\mathbf F_R|^2}\mathbf F_R$$

其中 $O$ 取圖中的 $C$ 點。若合力作用線通過板上的 $P(x,y)$，則以 $P$ 為基準的合矩也等於 $\mathbf M_R$。

解題方法

依圖取 $C$ 為原點，$+x$ 軸由 $C$ 指向 $B$，$+y$ 軸由 $C$ 沿板面指向右側；$+z$ 軸向上。因此

$$B=(5,0,0)\ \text{m},\qquad A=(5,8,0)\ \text{m}$$

依圖示方向，三力為

$$\mathbf F_A=(120,0,0)\ \text{N},\quad \mathbf F_B=(0,0,-90)\ \text{N},\quad \mathbf F_C=(0,60,0)\ \text{N}$$

合力為

$$\mathbf F_R=\mathbf F_A+\mathbf F_B+\mathbf F_C =(120,60,-90)\ \text{N}$$ $$|\mathbf F_R|=\sqrt{120^2+60^2+90^2} =\sqrt{26100}=161.6\ \text{N}$$

以 $C$ 點取矩。$C$ 點的力 $\mathbf F_C$ 不產生力矩：

$$\mathbf M_C =\overrightarrow{CA}\times\mathbf F_A +\overrightarrow{CB}\times\mathbf F_B$$ $$=(5,8,0)\times(120,0,0) +(5,0,0)\times(0,0,-90) =(0,450,-960)\ \text{N}\cdot\text{m}$$

因此力扭系統的偶矩為

核心觀念

光滑頸軸承只提供垂直於軸線的力，不提供力矩，也不提供沿軸線的反力。依圖中軸線方向：

• A 軸承軸線沿 $x$ 軸，因此
  $\mathbf R_A=A_y\mathbf j+A_z\mathbf k$
• B 軸承軸線沿 $y$ 軸，因此
  $\mathbf R_B=B_x\mathbf i+B_z\mathbf k$
• C 軸承軸線沿 $x$ 軸，因此
  $\mathbf R_C=C_y\mathbf j+C_z\mathbf k$

兩個外力皆為鉛直向下：

$$\mathbf F_1=-10\mathbf k\ \text{kN},\qquad \mathbf F_2=-5\mathbf k\ \text{kN}$$

解題方法

取 B 為矩心，設各作用點相對於 B 的座標為

$$\mathbf r_A=(x_A,y_A,0),\quad \mathbf r_C=(x_C,y_C,0)$$ $$\mathbf r_1=(x_1,y_1,z_1),\quad \mathbf r_2=(x_2,y_2,z_2)$$

由力平衡：

$$\sum F_x=0:\qquad B_x=0$$ $$\sum F_y=0:\qquad A_y+C_y=0$$ $$\sum F_z=0:\qquad A_z+B_z+C_z=15$$

由 B 點力矩平衡：

$$\sum M_{Bz}=0$$

因為鉛直力不產生 $z$ 軸力矩，只有 A、C 軸承的 $y$ 向反力產生力矩，因此

$$x_AA_y+x_CC_y=0$$

核心觀念

本題考查組合梁的：

• 內鉸鏈條件：鉸鏈處彎矩為 $0$。
• 整體及分段平衡方程：
  $\sum F_y=0,\qquad \sum M=0$
• 剪力圖與彎矩圖關係：
  $\frac{dM}{dx}=V,\qquad \frac{dV}{dx}=-w$

依圖取 $x=0$ 於 $A$，各點位置為：

$A=0,\quad \text{集中力}=3,\quad B=5,\quad C=7,\quad D=9,\quad E=11,\quad F=15\ \text{m}$

$A$ 處作用一順時針力偶 $8\ \text{kN}\cdot\text{m}$，$E$ 至 $F$ 有均佈載重 $5\ \text{kN/m}$。

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一、求支承反力

設 $A_y$、$D_y$、$F_y$ 為垂直反力。水平方向沒有外力，因此：

$A_x=0$

先取左側 $A$ 至 $B$ 段，並以內鉸鏈 $B$ 為力矩中心：

$-5A_y+30(2)-8=0$

因此：

$A_y=10.4\ \text{kN}$

左段垂直力平衡：

$A_y+B_y^{(左)}-30=0$

$B_y^{(左)}=19.6\ \text{kN}$

所以右側梁在 $B$ 點受到向下 $19.6\ \text{kN}$ 的鉸鏈作用力。

$E$ 至 $F$ 的均佈載重合力為：

$W=5(4)=20\ \text{kN}$

其作用點在 $x=13\ \text{m}$。

對右側 $B$ 至 $F$ 段取 $B$ 點力矩：

$4D_y+10F_y-20(8)=0$

即：

$4D_y+10F_y=160$

再列垂直力平衡：

$-19.6+D_y+F_y-20=0$

$D_y+F_y=39.6$

解得：

$\boxed{D_y=39.33\ \text{kN}}$

$\boxed{F_y=0.267\ \text{kN}}$

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二、剪力圖

採用「左截面向上為正剪力」的符號約定。

各區段剪力如下：

1. $A$ 至集中力處：

$V=+10.4\ \text{kN},\qquad 0<x<3$

2. 通過 $x=3$ 的 $30\ \text{kN}$ 集中力後：

$V=10.4-30=-19.6\ \text{kN},\qquad 3<x<9$

內鉸鏈 $B$ 不造成剪力跳躍。

3. 通過 $D$ 點後：

$V=-19.6+39.33=+19.73\ \text{kN},\qquad 9<x<11$

4. $E$ 至 $F$ 受均佈載重：

令 $x$ 由 $E$ 點起算，則

$V=19.73-5x,\qquad 0<x<4$

在 $F$ 左側：

$V_{F^-}=19.73-5(4)=-0.267\ \text{kN}$

通過 $F$ 點的反力 $0.267\ \text{kN}$ 使剪力回到零。

剪力圖關鍵值：

$$\begin{array}{c|c} \text{位置} & V\ (\text{kN})\\ \hline A^+ & +10.4\\ x=3^+ & -19.6\\ D^- & -19.6\\ D^+ & +19.73\\ E & +19.73\\ F^- & -0.267\\ F & 0 \end{array}$$

因此剪力圖形狀為：

• $A$ 至 $x=3$：水平線 $+10.4$。
• $x=3$ 處向下跳 $30$，降至 $-19.6$。
• $x=3$ 至 $D$：水平線 $-19.6$。

本題考驗平面區域的幾何性質計算，包括面積、形心、一次矩、二次矩和慣性積。

斷面曲線方程為 $y = kx^{5/2}$。
斷面由曲線 $y = kx^{5/2}$，直線 $y=b$，以及直線 $x=0$ 所圍成。
從圖中可以看出，曲線通過原點 $(0,0)$。
曲線與直線 $y=b$ 的交點可以通過聯立方程得到：
$b = kx^{5/2}$
$x^{5/2} = b/k$
$x = (b/k)^{2/5}$
此交點的 x 座標為 $a = (b/k)^{2/5}$。
所以，斷面的範圍是 $0 \le x \le a$ 且 $0 \le y \le b$。
但是，斷面是由曲線 $y=kx^{5/2}$，直線 $y=b$ 和直線 $x=0$ 所圍成。
這意味著，曲線 $y=kx^{5/2}$ 在 $x=0$ 時 $y=0$。
當 $x=a$ 時，$y=b$。
所以，斷面區域是：
$0 \le x \le a$
$kx^{5/2} \le y \le b$

1. 面積 A
   面積可以通過對 y 方向積分得到，或者對 x 方向積分得到。
   對 x 方向積分：
   $A = \int_{0}^{a} (b - kx^{5/2}) dx$
   $A = \left[ bx - k \frac{x^{5/2+1}}{5/2+1} \right]_0^a$
   $A = \left[ bx - k \frac{x^{7/2}}{7/2} \right]_0^a$
   $A = \left[ bx - \frac{2k}{7} x^{7/2} \right]_0^a$
   $A = ba - \frac{2k}{7} a^{7/2}$
   我們知道 $b = ka^{5/2}$。
   代入 $k = b/a^{5/2}$:
   $A = ba - \frac{2}{7} \left(\frac{b}{a^{5/2}}\right) a^{7/2}$
   $A = ba - \frac{2}{7} b a^{7/2 - 5/2}$
   $A = ba - \frac{2}{7} b a^{2/2}$
   $A = ba - \frac{2}{7} ba$
   $A = \frac{5}{7} ba$

   也可以對 y 方向積分：
   首先，需要將 $y = kx^{5/2}$ 轉換為 $x$ 的函數。
   $y^{2/5} = (kx^{5/2})^{2/5} = k^{2/5} x$
   $x = \frac{1}{k^{2/5}} y^{2/5} = C y^{2/5}$，其中 $C = k^{-2/5}$。
   當 $y=b$ 時，$x=a$。所以 $a = C b^{2/5}$。
   斷面區域為：
   $0 \le y \le b$
   $0 \le x \le C y^{2/5}$ (對於 $y$ 較小時)
   $C y^{2/5} \le x \le a$ (對於 $y$ 較大時) - 這不對。

   斷面區域是：
   $0 \le x \le a$
   $kx^{5/2} \le y \le b$

   面積計算：
   $A = \int_0^a (b - kx^{5/2}) dx = \left[ bx - \frac{2k}{7} x^{7/2} \right]_0^a = ba - \frac{2k}{7} a^{7/2}$
   由於 $b = ka^{5/2}$，所以 $k = b/a^{5/2}$。
   $A = ba - \frac{2}{7} \left(\frac{b}{a^{5/2}}\right) a^{7/2} = ba - \frac{2}{7} ba = \frac{5}{7} ba$

2. 形心 $C = (\bar{x}, \bar{y})$
   形心的 y 座標 $\bar{y}$：
   $\bar{y} = \frac{1}{A} \int y \, dA$
   $\int y \, dA = \int_0^a \int_{kx^{5/2}}^b y \, dy \, dx$
   $= \int_0^a \left[ \frac{y^2}{2} \right]_{kx^{5/2}}^b dx$
   $= \int_0^a \left( \frac{b^2}{2} - \frac{k^2 x^5}{2} \right) dx$
   $= \left[ \frac{b^2}{2} x - \frac{k^2}{2} \frac{x^6}{6} \right]_0^a$
   $= \frac{b^2 a}{2} - \frac{k^2 a^6}{12}$
   將 $b = ka^{5/2}$ 代入。
   $= \frac{(ka^{5/2})^2 a}{2} - \frac{k^2 a^6}{12}$
   $= \frac{k^2 a^5 a}{2} - \frac{k^2 a^6}{12}$
   $= \frac{k^2 a^6}{2} - \frac{k^2 a^6}{12} = \frac{6k^2 a^6 - k^2 a^6}{12} = \frac{5k^2 a^6}{12}$
   $\bar{y} = \frac{1}{A} \frac{5k^2 a^6}{12} = \frac{1}{(5/7)ba} \frac{5k^2 a^6}{12}$
   將 $b = ka^{5/2}$ 代入 $A = (5/7)ba$: $A = (5/7) (ka^{5/2}) a = (5/7) k a^{7/2}$。
   $\bar{y} = \frac{1}{(5/7) k a^{7/2}} \frac{5k^2 a^6}{12} = \frac{7}{5k a^{7/2}} \frac{5k^2 a^6}{12} = \frac{7 k a^{6 - 7/2}}{12} = \frac{7 k a^{5/2}}{12}$
   由於 $b = ka^{5/2}$，所以
   $\bar{y} = \frac{7}{12} b$

   形心的 x 座標 $\bar{x}$：
   $\bar{x} = \frac{1}{A} \int x \, dA$
   $\int x \, dA = \int_0^a \int_{kx^{5/2}}^b x \, dy \, dx$
   $= \int_0^a x [y]_{kx^{5/2}}^b dx$
   $= \int_0^a x (b - kx^{5/2}) dx$
   $= \int_0^a (bx - kx^{7/2}) dx$
   $= \left[ \frac{bx^2}{2} - k \frac{x^{9/2}}{9/2} \right]_0^a$
   $= \left[ \frac{bx^2}{2} - \frac{2k}{9} x^{9/2} \right]_0^a$
   $= \frac{ba^2}{2} - \frac{2k}{9} a^{9/2}$
   將 $b = ka^{5/2}$ 代入。
   $= \frac{(ka^{5/2}) a^2}{2} - \frac{2k}{9} a^{9/2}$
   $= \frac{k a^{9/2}}{2} - \frac{2k}{9} a^{9/2}$
   $= k a^{9/2} \left( \frac{1}{2} - \frac{2}{9} \right) = k a^{9/2} \left( \frac{9-4}{18} \right) = \frac{5}{18} k a^{9/2}$
   $\bar{x} = \frac{1}{A} \frac{5}{18} k a^{9/2}$
   代入 $A = (5/7)ba = (5/7) (ka^{5/2}) a = (5/7) k a^{7/2}$。
   $\bar{x} = \frac{1}{(5/7) k a^{7/2}} \frac{5}{18} k a^{9/2}$
   $\bar{x} = \frac{7}{5 k a^{7/2}} \frac{5 k a^{9/2}}{18} = \frac{7 a^{9/2 - 7/2}}{18} = \frac{7 a^{2/2}}{18} = \frac{7}{18} a$

   所以，形心為 $C(\frac{7}{18}a, \frac{7}{12}b)$。