112 年 國立成功大學工程科學系碩士班丙組《電磁學》

核心觀念

本題要求說明向量分析中的兩個基本定理：

1. Stokes 定理：將向量場沿封閉曲線的環流，與其旋度穿過該曲線所圍曲面的通量連結。
2. Helmholtz 定理：在適當邊界條件下，向量場可由其散度與旋度唯一決定，並可分解為無旋部分與無散部分。

這兩個定理是電磁學中由積分形式與微分形式互相轉換的基礎。

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一、Stokes 定理

1. 定理敘述

設 $\mathbf{A}$ 為定義在曲面 $S$ 及其鄰域內、具有連續一階偏導數的向量場，曲面邊界為封閉曲線 $C=\partial S$。則

$$\oint_C \mathbf{A}\cdot d\boldsymbol{\ell} = \iint_S (\nabla\times\mathbf{A})\cdot d\mathbf{S}.$$

其中：

• $\oint_C \mathbf{A}\cdot d\boldsymbol{\ell}$ 是向量場沿邊界曲線 $C$ 的環流；
• $\nabla\times\mathbf{A}$ 是 $\mathbf{A}$ 的旋度；
• $d\mathbf{S}=\hat{\mathbf{n}}\,dS$ 是帶有方向的面積向量。

曲線方向與曲面法向量方向必須遵守右手定則：右手四指沿曲線正向彎曲時，拇指所指方向為曲面正法向量。

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2. 物理意義

Stokes 定理表示：

邊界上的總環流，等於曲面上所有局部旋轉程度的總和。

旋度 $\nabla\times\mathbf{A}$ 描述向量場在某一點附近的微小旋轉。曲面上每一個微小面積元素的旋度通量加總後，即得到邊界曲線上的環流。

因此，若某區域內

$$\nabla\times\mathbf{A}=0,$$

則對任意可縮成一點、且不包住奇異點的封閉曲線，有

$$\oint_C \mathbf{A}\cdot d\boldsymbol{\ell}=0.$$

這表示該向量場在該區域內為保守場，可寫成某個純量函數的梯度：

$$\mathbf{A}=\nabla\phi.$$

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3. 直角座標下的推導

令曲面為 $xy$ 平面上的區域 $S$，且

$$\mathbf{A}=A_x\hat{\mathbf{x}}+A_y\hat{\mathbf{y}}+A_z\hat{\mathbf{z}}.$$

若曲面法向量為 $\hat{\mathbf{z}}$，則

$$(\nabla\times\mathbf{A})\cdot\hat{\mathbf{z}} = \frac{\partial A_y}{\partial x} - \frac{\partial A_x}{\partial y}.$$

因此曲面積分為

$$\iint_S(\nabla\times\mathbf{A})\cdot d\mathbf{S} = \iint_S \left( \frac{\partial A_y}{\partial x} - \frac{\partial A_x}{\partial y} \right)dx\,dy.$$

由平面上的 Green 定理，

$$\iint_S \left( \frac{\partial A_y}{\partial x} - \frac{\partial A_x}{\partial y} \right)dx\,dy = \oint_C A_x\,dx+A_y\,dy.$$

在 $xy$ 平面中 $dz=0$，所以

$$\oint_C\mathbf{A}\cdot d\boldsymbol{\ell} = \oint_C(A_x\,dx+A_y\,dy).$$

故得

$$\oint_C \mathbf{A}\cdot d\boldsymbol{\ell} = \iint_S(\nabla\times\mathbf{A})\cdot d\mathbf{S}.$$

一般曲面可透過參數化分割成許多微小平面元素。相鄰小面積的內部邊界方向相反，線積分彼此抵消，只留下最外層邊界 $C$，即得到完整的 Stokes 定理。

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4. 電磁學中的應用

法拉第電磁感應定律

積分形式為

$$\oint_C\mathbf{E}\cdot d\boldsymbol{\ell} = -\frac{d}{dt}\iint_S\mathbf{B}\cdot d\mathbf{S}.$$

若磁通量可寫為

$$\Phi_B=\iint_S\mathbf{B}\cdot d\mathbf{S},$$

則

$$\oint_C\mathbf{E}\cdot d\boldsymbol{\ell} = -\frac{d\Phi_B}{dt}.$$

利用 Stokes 定理，

$$\iint_S(\nabla\times\mathbf{E})\cdot d\mathbf{S} = -\iint_S\frac{\partial\mathbf{B}}{\partial t}\cdot d\mathbf{S}.$$

對任意曲面皆成立，因此得到微分形式：

$$\boxed{\nabla\times\mathbf{E} = -\frac{\partial\mathbf{B}}{\partial t}}.$$

安培—Maxwell 定律

積分形式為

$$\oint_C\mathbf{H}\cdot d\boldsymbol{\ell} = \iint_S \left( \mathbf{J}+\frac{\partial\mathbf{D}}{\partial t} \right)\cdot d\mathbf{S}.$$

利用 Stokes 定理，

$$\iint_S(\nabla\times\mathbf{H})\cdot d\mathbf{S} = \iint_S \left( \mathbf{J}+\frac{\partial\mathbf{D}}{\partial t} \right)\cdot d\mathbf{S}.$$

因此微分形式為

$$\boxed{ \nabla\times\mathbf{H} = \mathbf{J} + \frac{\partial\mathbf{D}}{\partial t} }.$$

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二、Helmholtz 定理

1. 定理敘述

若向量場 $\mathbf{F}(\mathbf{r})$ 在整個空間中充分平滑，且在無限遠處衰減得足夠快，則 $\mathbf{F}$ 可唯一分解為

$$\boxed{ \mathbf{F} = -\nabla\phi+\nabla\times\mathbf{A} }$$

其中：

• $-\nabla\phi$ 是無旋部分，也稱縱向部分；
• $\nabla\times\mathbf{A}$ 是無散部分，也稱橫向部分；
• $\phi$ 是純量勢；
• $\mathbf{A}$ 是向量勢。

該向量場由兩項資料決定：

$$\nabla\cdot\mathbf{F} \quad\text{與}\quad \nabla\times\mathbf{F},$$

再加上適當的邊界條件，即可唯一決定 $\mathbf{F}$。

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2. 為何散度與旋度足以決定向量場

對分解式取散度：

$$\nabla\cdot\mathbf{F} = \nabla\cdot(-\nabla\phi) + \nabla\cdot(\nabla\times\mathbf{A}).$$

由向量恆等式

$$\nabla\cdot(\nabla\times\mathbf{A})=0,$$

可得

核心觀念

本題考查導體內部自由電荷的「電荷鬆弛時間」以及導體達到靜電平衡的條件。

導體具有有限導電率 $\sigma$，其電流密度遵守歐姆定律：

$$\mathbf{J}=\sigma\mathbf{E}$$

自由電荷密度 $\rho$ 與電流密度則必須滿足電荷連續方程：

$$\frac{\partial \rho}{\partial t}+\nabla\cdot\mathbf{J}=0$$

此外，由高斯定律：

$$\nabla\cdot\mathbf{E}=\frac{\rho}{\varepsilon}$$

其中 $\varepsilon$ 為導體材料的介電常數。

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解題方法

將 $\mathbf{J}=\sigma\mathbf{E}$ 代入連續方程：

$$\frac{\partial \rho}{\partial t} =-\nabla\cdot\mathbf{J} =-\sigma\nabla\cdot\mathbf{E}$$

再利用高斯定律 $\nabla\cdot\mathbf{E}=\rho/\varepsilon$，得到：

$$\frac{\partial \rho}{\partial t} =-\frac{\sigma}{\varepsilon}\rho$$

這是一階衰減微分方程，其解為：

$$\rho(t)=\rho(0)e^{-t/\tau}$$

其中

$$\boxed{\tau=\frac{\varepsilon}{\sigma}}$$

即為電荷鬆弛時間。

因此，導體內部的自由電荷密度會以時間常數 $\tau$ 指數衰減，電場也會隨之衰減：

$$\mathbf{E}(t)=\mathbf{E}(0)e^{-t/\tau}$$

嚴格來說，指數衰減永遠不會在有限時間內完全等於零；但經過數個 $\tau$ 後即可視為達到平衡：

• $t=\tau$：剩下約 $36.8\%$
• $t=3\tau$：剩下約 $5.0\%$
• $t=5\tau$：剩下約 $0.67\%$

通常以 $t\approx 5\tau$ 作為實際上的平衡時間估計。

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數值估計

若以良導體銅為例：

核心觀念

三條導線皆為無限長、彼此平行，且電流方向相同，因此任兩條導線間皆產生相互吸引力。

平行長直導線間的單位長度作用力為

$$\frac{F}{L} = \frac{\mu_0 I_1 I_2}{2\pi d}$$

其中

• $\mu_0=4\pi\times10^{-7}\ \mathrm{N/A^2}$
• $I_1=I_2=15\ \mathrm{A}$
• $d=15\ \mathrm{cm}=0.15\ \mathrm{m}$

三條導線彼此等距，因此在垂直於導線的截面上形成正三角形。

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解題方法

先計算任意兩條導線間的吸引力。單位長度所受力為

$$f=\frac{F_{\text{pair}}}{L} = \frac{\mu_0 I^2}{2\pi d}$$

代入數值：

$$f = \frac{(4\pi\times10^{-7})(15)^2} {2\pi(0.15)}$$ $$f = \frac{(4\pi\times10^{-7})(225)} {0.3\pi} = 3.00\times10^{-4}\ \mathrm{N/m}$$

對任意一條導線而言，另外兩條導線各施加大小為 $f$ 的吸引力。由正三角形幾何關係，這兩個力的夾角為 $60^\circ$。

因此合力大小為

$$\frac{F_{\text{net}}}{L} = \sqrt{f^2+f^2+2f^2\cos60^\circ}$$

因為 $\cos60^\circ=\frac12$，所以

設光纖折射率為 $n=\sqrt{\varepsilon_r}$，外界為空氣。端面入射角任意時，最大折射角 $\theta$ 發生於掠射入射：

$$\sin\theta_{\max}=\frac{1}{n}$$

波入射側壁的入射角為 $90^\circ-\theta$。欲發生全反射，須滿足

$$90^\circ-\theta_{\max}\ge \theta_c, \qquad \sin\theta_c=\frac{1}{n}$$

故