114 年 國立成功大學工程科學系碩士班丙組《電磁學》

忽略邊緣效應，設兩導體的有效重疊長度為 $L$。同軸電容為

$$C=\frac{2\pi\epsilon L}{\ln(b/a)}.$$

固定電荷 $q$ 時，靜電能

$$U=\frac{q^2}{2C} =\frac{q^2}{4\pi\epsilon L}\ln\frac{b}{a}.$$

兩導體沿軸向相對位移，使重疊長度改變，故

核心觀念

本題考查介電質中的電位移向量 $\mathbf{D}$、電場 $\mathbf{E}$ 與極化向量 $\mathbf{P}$ 的關係：

$$\mathbf{D}=\epsilon_0\mathbf{E}+\mathbf{P}$$

對於均勻、線性、等向性的介電質，

$$\mathbf{D}=\epsilon\mathbf{E} =\epsilon_0\epsilon_r\mathbf{E}$$

因此

$$\mathbf{P} =\mathbf{D}-\epsilon_0\mathbf{E} =\epsilon_0(\epsilon_r-1)\mathbf{E} =\frac{\epsilon_r-1}{\epsilon_r}\mathbf{D}.$$

由於點電荷位於球心，整個系統具有球對稱性，$\mathbf{D}$、$\mathbf{E}$ 與 $\mathbf{P}$ 均沿徑向方向。

解題方法

考慮半徑為 $r$ 的高斯球面。自由電荷只有位於球心的點電荷 $q$，因此由高斯定律，

$$\oint_S \mathbf{D}\cdot d\mathbf{a}=q.$$

由球對稱性，

$$\mathbf{D}(r)=D(r)\,\hat{\mathbf r},$$

所以

$$D(r)(4\pi r^2)=q,$$

得到

$$\boxed{\mathbf{D}(r)=\frac{q}{4\pi r^2}\hat{\mathbf r}}.$$

這個結果在三個區域都成立，因為高斯定律所包圍的自由電荷始終只有 $q$。

區域一：球形空腔 $0<r<r_i$

此區域為真空，沒有介電質，因此

$$\mathbf{P}=0.$$

電場為

$$\mathbf{E} =\frac{\mathbf{D}}{\epsilon_0} =\frac{q}{4\pi\epsilon_0r^2}\hat{\mathbf r},$$

但真空中不產生介電質極化。

區域二：介電質外殼 $r_i<r<r_o$

在介電質內，

$$\mathbf{E} =\frac{\mathbf{D}}{\epsilon_0\epsilon_r} =\frac{q}{4\pi\epsilon_0\epsilon_r r^2}\hat{\mathbf r}.$$

代入極化關係式：

$$\mathbf{P} =\epsilon_0(\epsilon_r-1)\mathbf{E}.$$

因此

取圓柱中心為原點，軸向為 $z$ 軸，兩端位於 $z=\pm L/2$。均勻磁化產生束縛表面電流

$$\vec K_b=\vec M\times\hat n=M_0\vec a_\phi,$$

等效為表面電流密度 $M_0$ 的有限長螺線管。半徑 $r$、位於 $z'$ 的圓形電流環在軸上產生

$$d\vec B =\vec a_z\frac{\mu_0(M_0\,dz')r^2} {2\left[r^2+(z-z')^2\right]^{3/2}}.$$

積分 $-L/2\le z'\le L/2$：

核心觀念

本題考查「時間諧波平面波」的定義，需同時掌握：

1. 時間諧波場：所有場量皆以同一角頻率 $\omega$ 作正弦式變化。
2. 平面波：場量只依傳播方向上的座標變化，等相位面為互相平行的平面。
3. 相量表示法：將時間因子以複指數表示，最後取實部得到實際物理場。

採用時間慣例 $e^{j\omega t}$ 時，時間諧波平面波可寫成

$$\mathbf{E}(\mathbf{r},t) = \operatorname{Re} \left\{ \mathbf{E}_0 e^{j(\omega t-\mathbf{k}\cdot\mathbf{r})} \right\},$$ $$\mathbf{H}(\mathbf{r},t) = \operatorname{Re} \left\{ \mathbf{H}_0 e^{j(\omega t-\mathbf{k}\cdot\mathbf{r})} \right\}.$$

其中：

• $\mathbf{E}_0$、$\mathbf{H}_0$ 為固定的複數振幅向量；
• $\omega$ 為角頻率；
• $\mathbf{k}$ 為波向量，方向即為波的傳播方向；
• $\mathbf{r}$ 為空間位置向量；
• $\operatorname{Re}\{\cdot\}$ 表示取複數式的實部。

若採用 $e^{-j\omega t}$ 的慣例，則可等價寫成

$$\mathbf{E}(\mathbf{r},t) = \operatorname{Re} \left\{ \mathbf{E}_0 e^{-j\mathbf{k}\cdot\mathbf{r}} e^{-j\omega t} \right\},$$

兩種寫法物理意義相同，差別只在時間相量的符號慣例。

解題方法

題目使用動詞 Define，因此應直接寫出數學定義，再說明各項物理意義。

以沿 $+z$ 方向傳播的均勻平面波為例，波向量為

$$\mathbf{k}=\beta\hat{\mathbf{z}}.$$

電場與磁場可表示為

$$\mathbf{E}(z,t) = \operatorname{Re} \left\{ \mathbf{E}_0 e^{j(\omega t-\beta z)} \right\},$$ $$\mathbf{H}(z,t) = \operatorname{Re} \left\{ \mathbf{H}_0 e^{j(\omega t-\beta z)} \right\}.$$

固定相位條件為

$$\omega t-\beta z=\text{常數}.$$

因此在固定時間下，等相位面滿足

$$z=\text{常數},$$