114 年 國立成功大學工程科學系碩士班丙組《近代物理》

核心觀念

本題考查德布羅意物質波（de Broglie matter wave）的動態波動特性，主要涵蓋以下定理與定義：

1. 德布羅意關係式（de Broglie Relations）：
   具有動態特性的微觀粒子展現波粒二象性（wave-particle duality），其能量 $E$ 與動量 $p$ 分別對應物質波的角頻率 $\omega$ 與波矢（波數）$k$：
   $E = \hbar \omega \implies \omega = \frac{E}{\hbar}$
   $p = \hbar k \implies k = \frac{p}{\hbar}$
   其中 $\hbar = \frac{h}{2\pi}$ 為約化普朗克常數。

2. 相速（Phase Velocity, $v_p$）：
   單一頻率的平面波（monochromatic plane wave）在空間中推進時，其等相位面（constant phase front）移動的速度。

3. 群速（Group Velocity, $v_g$）：
   由多個頻率相近的單色波疊加形成波包（wave packet）時，波包整體包絡線（envelope）在空間中推進的速度。群速代表波包能量與粒子本體的實際移動速度。

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解題方法

解題切入點為從「波動學一般物理定義」出發，結合「德布羅意物質波關係式」，導出相速與群速的表達式，並說明其與粒子實際移動速度 $v$ 之關係。

1. 相速（Phase Velocity, $v_p$）的定義與推導

相速定義為單一平面波上特定相位點傳播的速度：
$v_p \equiv \frac{\omega}{k}$

代入德布羅意關係式 $\omega = \frac{E}{\hbar}$ 與 $k = \frac{p}{\hbar}$：
$v_p = \frac{E / \hbar}{p / \hbar} = \frac{E}{p}$

• 非相對論自由粒子（動能 $E = \frac{p^2}{2m}$）：
  $v_p = \frac{\frac{p^2}{2m}}{p} = \frac{p}{2m} = \frac{mv}{2m} = \frac{1}{2}v$
  非相對論下，相速為粒子實際運動速度 $v$ 的一半。

• 相對論粒子（總能量 $E = \gamma m c^2$，動量 $p = \gamma m v$）：
  $v_p = \frac{\gamma m c^2}{\gamma m v} = \frac{c^2}{v}$
  由於實體粒子速度 $v < c$，故相速 $v_p > c$。相速超光速並不違反狹義相對論，因為無限長的單一正弦波無法傳遞獨立資訊或能量。

2. 群速（Group Velocity, $v_g$）的定義與推導

群速定義為波包包絡線推進的速度，即角頻率對波數的微商（導數）：
$v_g \equiv \frac{d\omega}{dk}$

代入德布羅意關係式：
$v_g = \frac{d(E/\hbar)}{d(p/\hbar)} = \frac{dE}{dp}$

• 非相對論自由粒子（$E = \frac{p^2}{2m}$）：
  $v_g = \frac{d}{dp} \left( \frac{p^2}{2m} \right) = \frac{2p}{2m} = \frac{p}{m} = v$
  群速精確等於粒子的經典移動速度 $v$。

核心觀念

1. 德布羅意波長（de Broglie Wavelength）：
   根據德布羅意假說，自由運動粒子的動量 $p$ 與其物質波波長 $\lambda$ 滿足關係式：
   $\lambda = \frac{h}{p}$
2. 駐波與邊界條件（Standing Wave Boundary Conditions）：
   當粒子受限於寬度為 $L$ 的一維剛性無窮深位能井（Box）內時，粒子在硬壁邊界處（$x = 0$ 與 $x = L$）的波函數振幅必須強制為零（即波節 Node）。因此，粒子的物質波在箱內只能以**駐波（Standing Wave）**的形式穩定存在。
3. 量子化條件（Quantization Condition）：
   兩端皆為節點的駐波，其箱寬 $L$ 必須恰好為半波長 $\frac{\lambda}{2}$ 的整數倍，進而導致可允許的波長呈現不連續（量子化）現象。

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解題方法

本題可提供兩種推導路徑：幾何駐波法（直觀簡明）與薛丁格方程式法（嚴謹波動力學推導）。考試時寫出任一種均可獲得滿分，以下介紹完整推導過程。

【方法一：幾何駐波邊界條件法】

1. 建立物理模型：
   粒子被限制在一維箱子中，邊界為 $x = 0$ 與 $x = L$。在 $x \le 0$ 與 $x \ge L$ 區域，粒子出現的機率為零，故波函數在邊界處必為節點：
   $\psi(0) = 0 \quad \text{且} \quad \psi(L) = 0$

2. 套用駐波幾何關係：
   對於兩端皆為節點的固定端駐波，箱寬 $L$ 與半波長 $\frac{\lambda}{2}$ 的關係為：
   $L = n \cdot \left(\frac{\lambda_n}{2}\right)$
   其中 $n$ 為正整數（量子數），代表駐波的諧波階數。

3. 求解許可波長 $\lambda_n$：
   將上式移項，即得粒子可允許的德布羅意波長公式：
   $\lambda_n = \frac{2L}{n}, \quad n = 1, 2, 3, \dots$

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【方法二：薛丁格方程式推導法】

1. 列出無時間薛丁格方程式：
   在箱內（$0 < x < L$），位能 $V(x) = 0$，薛丁格方程式為：
   $-\frac{\hbar^2}{2m} \frac{d^2\psi(x)}{dx^2} = E\psi(x) \implies \frac{d^2\psi(x)}{dx^2} + k^2\psi(x) = 0$
   其中波數 $k = \frac{\sqrt{2mE}}{\hbar} = \frac{2\pi}{\lambda}$。

2. 通解與邊界條件：
   微分方程的通解為：
   $\psi(x) = A \sin(kx) + B \cos(kx)$
   代入邊界條件：

   • 在 $x = 0$ 處：$\psi(0) = B = 0 \implies \psi(x) = A \sin(kx)$

核心觀念

本題考驗光子能量與波長的關係以及分子解離（Photodissociation）的能量閾值（Threshold energy）。

1. 光量子假說（Einstein's Photon Hypothesis）：
   光子所攜帶的能量 $E$ 與其頻率 $\nu$ 成正比，與其在真空中的波長 $\lambda$ 成反比：
   $E = h\nu = \frac{hc}{\lambda}$
   其中 $h$ 為普朗克常數（Planck constant），$c$ 為真空中光速（Speed of light）。

2. 分子分離（解離）臨界條件：
   若分子的束縛能（Binding energy）為 $E_b$，則打破該化學鍵或使分子分離的入射光子能量至少需等於束縛能：
   $E \ge E_b \implies \frac{hc}{\lambda} \ge E_b$
   由於波長與能量成反比，能量需求存在下限（$E_{\min} = E_b$），對應的入射光波長便存在上限（即最大波長 $\lambda_{\max}$）：
   $\lambda_{\max} = \frac{hc}{E_b}$

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解題方法

1. 建立物理關係式：
   根據能量守恆定律，能分離分子的光子最低能量需求為：
   $E_{\min} = E_b = 10 \text{ eV}$
   光波波長與能量之關係式為：
   $E = \frac{hc}{\lambda} \implies \lambda = \frac{hc}{E}$
   代入最低能量需求 $E_{\min}$，可得分離分子所需光子的最大波長 $\lambda_{\max}$：
   $\lambda_{\max} = \frac{hc}{E_b}$

2. 數值計算與推導：

   • 方法一：標準 SI 單位制推導
     代入基本物理常數：

     • 普朗克常數 $h \approx 6.626 \times 10^{-34} \text{ J}\cdot\text{s}$
     • 光速 $c \approx 3.00 \times 10^8 \text{ m/s}$
     • 單位換算 $1 \text{ eV} = 1.602 \times 10^{-19} \text{ J}$

     將束縛能 $E_b$ 轉換為焦耳（$\text{J}$）：
     $E_b = 10 \text{ eV} = 10 \times 1.602 \times 10^{-19} \text{ J} = 1.602 \times 10^{-18} \text{ J}$

     代入最大波長公式：
     $\lambda_{\max} = \frac{6.626 \times 10^{-34} \times 3.00 \times 10^8}{1.602 \times 10^{-18}} \text{ m}$

先把能量寫成動量形式

$E=\frac{mv^{2}}{2}= \frac{p^{2}}{2m},\qquad p=mv .$

對能量作微分，取不確定量

$\Delta E=\frac{\partial E}{\partial p}\,\Delta p=\frac{p}{m}\,\Delta p=v\,\Delta p .$

時間不確定度由位置與速度給出

$\Delta t=\frac{\Delta x}{v}.$

量子力學的基本不確定關係