108 年 國立成功大學工程科學系碩士班丙組《近代物理》

核心觀念
本題旨在考驗對**海森堡不確定原理（Heisenberg Uncertainty Principle）以及能量-時間不確定關係（Energy-Time Uncertainty Relation）**的推導能力。核心概念包含：

1. 位置與動量的不確定原理：$\Delta x \Delta p \ge \frac{\hbar}{2}$（若以普朗克常數 $h$ 表示，則為 $\frac{h}{4\pi}$，其中 $\hbar = \frac{h}{2\pi}$）。
2. 經典力學之能量與動量關係：一維直線上運動之非相對論粒子，其動能 $E = \frac{1}{2}mv^2 = \frac{p^2}{2m}$。
3. 不確定度的微商傳播：利用微分關係 $dE = v\, dp$，將能量的不確定度 $\Delta E$ 與動量不確定度 $\Delta p$ 建立連結，再結合時間不確定度 $\Delta t = \frac{\Delta x}{v}$，證明出時間與能量的不確定關係。

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解題方法

【步驟一】建立能量與動量的變量關係
已知粒子的非相對論能量公式為：
$E = \frac{1}{2}mv^2$
結合動能與動量的關係 $p = mv$，可將能量表示為動量 $p$ 的函數：
$E = \frac{p^2}{2m}$
對動量 $p$ 求全微分，得到能量微小變化量 $dE$ 與動量微小變化量 $dp$ 的關係：
$dE = \frac{d}{dp}\left(\frac{p^2}{2m}\right) dp = \frac{2p}{2m} dp = \frac{p}{m} dp$
因為 $v = \frac{p}{m}$，故：
$dE = v \, dp$
在極小不確定度範圍內，可將微分量轉化為不確定度關係：
$\Delta E = v \Delta p$

【步驟二】計算不確定度的乘積 $\Delta E \Delta t$
題目定義時間不確定度為：
$\Delta t = \frac{\Delta x}{v}$
將 $\Delta E = v \Delta p$ 與 $\Delta t = \frac{\Delta x}{v}$ 相乘：
$\Delta E \Delta t = (v \Delta p) \left(\frac{\Delta x}{v}\right) = \Delta x \Delta p$

【步驟三】帶入海森堡位置-動量不確定原理
根據海森堡位置-動量不確定原理：
$\Delta x \Delta p \ge \frac{\hbar}{2}$
將此不等式代入乘積中，即得：
$\Delta E \Delta t \ge \frac{\hbar}{2}$
因為 $\frac{\hbar}{2} > \frac{\hbar}{4\pi}$（由於 $2 < 4\pi$），故必然滿足：

核心觀念

本題考查近代物理學中狹義相對論的質能等價與守恆定律在粒子物理現象中的應用。核心觀念包含：

1. 正負電子對湮滅（Electron-Positron Annihilation）：靜止質量相同的物質粒子（電子 $e^-$）與其反物質粒子（正電子 $e^+$）碰撞結合，將其靜質量完全轉換為電磁輻射（光子）能量的過程。
2. 質能等價與靜止能量：粒子的靜止能量（Rest Energy）公式為：
   $E_0 = m_e c^2$
   其中 $m_e$ 為電子的靜質質量，$c$ 為真空光速。
3. 相對論能量與動量守恆定律：在孤立系統中，反應前後的總相對論能量與總動量必須各自保持守恆。
4. 光子能量與動量關係：無靜止質量光子的能量 $E$ 與動量 magnitude $p$ 之關係為：
   $E = pc$

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解題方法

步驟一：分析系統初始狀態

當電子與正電子均處於靜止狀態（Initially at rest）時：

• 初始總動量 $\vec{P}_{\text{initial}}$：
  $\vec{P}_{\text{initial}} = \vec{0} + \vec{0} = \vec{0}$
• 初始總能量 $E_{\text{initial}}$（即兩粒子的靜止能量之和）：
  $E_{\text{initial}} = m_e c^2 + m_e c^2 = 2 m_e c^2$

步驟二：利用動量守恆推導光子狀態

湮滅後產生兩個光子，設其動量分別為 $\vec{p}_1$ 與 $\vec{p}_2$，能量分別為 $E_1$ 與 $E_2$。
由動量守恆定律：
$\vec{P}_{\text{initial}} = \vec{P}_{\text{final}}$
$\vec{0} = \vec{p}_1 + \vec{p}_2 \implies \vec{p}_1 = -\vec{p}_2$

這表明兩光子必須以大小相等、方向相反的動量向背射出。動量大小滿足：
$|\vec{p}_1| = |\vec{p}_2| = p$

步驟三：利用光子能量與動量關係式

對於光子，能量 $E = pc$。由於兩光子動量大小相等：
$E_1 = |\vec{p}_1| c = pc$
$E_2 = |\vec{p}_2| c = pc$
因此兩光子的能量必定相等，即 $E_1 = E_2 = E_\gamma$。

步驟四：利用能量守恆計算光子能量

由能量守恆定律：
$E_{\text{initial}} = E_{\text{final}}$
$2 m_e c^2 = E_1 + E_2 = 2 E_\gamma$

解得單一光子的能量為：
$E_\gamma = m_e c^2$

核心觀念

• 光速為有限常數（Finite Speed of Light）：
  在近代物理與狹義相對論中，「事件發生的座標時間（Coordinate Time）」與「觀察者接收到訊號的時間（Visual/Signal Arrival Time）」必須嚴格區分。光在真空中傳播的速度為一有限常數 $c \approx 3 \times 10^8 \text{ m/s} = 3 \times 10^5 \text{ km/s}$。
• 光訊號傳播時間（Signal Travel Time）：
  若事件發生點與觀察者相距 $d$，則光訊號傳至觀察者所需的時間為：
  $\Delta t = \frac{d}{c}$
• 事件發生的實際時間（Actual Time of Event）：
  觀察者看到閃光的時間 $t_{\text{seen}}$ 為光訊號抵達觀察者的時刻。閃光燈實際被觸發發射的時刻 $t_{\text{fired}}$ 必早於觀察時刻：
  $t_{\text{fired}} = t_{\text{seen}} - \Delta t$

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解題方法

1. 列出已知物理量並統一單位：

   • 閃光燈與觀察者的距離：$d = 60 \text{ km} = 6 \times 10^4 \text{ m}$
   • 光速：$c = 3 \times 10^8 \text{ m/s} = 3 \times 10^5 \text{ km/s}$
   • 觀察者看到閃光的時刻：$t_{\text{seen}} = \text{2:00 P.M.}$（下午 2 點整）

2. 計算光傳播所需時間 $\Delta t$：
   將距離 $d$ 與光速 $c$ 代入傳播時間公式：
   $\Delta t = \frac{d}{c} = \frac{60 \text{ km}}{3 \times 10^5 \text{ km/s}} = 2 \times 10^{-4} \text{ s} = 0.0002 \text{ s} = 0.2 \text{ ms}$

3. 求出閃光燈發射的實際時間 $t_{\text{fired}}$：
   將 $t_{\text{seen}}$ 與 $\Delta t$ 代入實際時間公式：

核心觀念

本題考查**狹義相對論（Special Relativity）**中的兩個經典核心概念：

1. 原時（Proper Time, $\Delta \tau$）與時間膨脹（Time Dilation）：當兩事件發生在同一空間位置（即 $\Delta x' = 0$）時，觀察者 $O'$ 所測得的時間間隔即定義為「原時」（$\Delta \tau = \Delta t'$）。在任何相對運動的慣性參考系中測得的時間間隔 $\Delta t$ 必定大於原時，滿足時間膨脹公式 $\Delta t = \gamma \Delta t'$。
2. 時空間隔不變量（Spacetime Interval Invariant）：在所有慣性參考系下，兩事件間的時空間隔算符 $(\Delta s)^2 = (c\Delta t)^2 - (\Delta x)^2$ 皆保持不變。

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解題方法

方法一：利用時空間隔不變量法（推薦，計算最迅速）

根據狹義相對論，時空間隔在任意慣性參考系間具有不變性：
$(\Delta s)^2 = (c \Delta t)^2 - (\Delta x)^2 = (c \Delta t')^2 - (\Delta x')^2$

已知觀察者 $O$ 測得：

• $\Delta x = 3.6 \times 10^8 \text{ m}$
• $\Delta t = 2 \text{ s}$
• 光速 $c = 3.0 \times 10^8 \text{ m/s}$

觀察者 $O'$ 測得兩事件發生於同一空間位置，即 $\Delta x' = 0$。代入不變量關係式：
$(c \Delta t')^2 = (c \Delta t)^2 - (\Delta x)^2$

兩邊同除以 $c^2$ 並開根號，可得 $O'$ 測得的時間間隔 $\Delta t'$：
$\Delta t' = \sqrt{(\Delta t)^2 - \left(\frac{\Delta x}{c}\right)^2}$

計算中間項 $\frac{\Delta x}{c}$（即光跨越該距離所需時間）：
$\frac{\Delta x}{c} = \frac{3.6 \times 10^8 \text{ m}}{3.0 \times 10^8 \text{ m/s}} = 1.2 \text{ s}$

代回求得 $\Delta t'$：
$\Delta t' = \sqrt{2^2 - (1.2)^2} = \sqrt{4 - 1.44} = \sqrt{2.56} = 1.6 \text{ s}$

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方法二：利用勞侖茲變換（Lorentz Transformation）與相對速度

1. 求出觀察者 $O'$ 相對觀察者 $O$ 的移動速度 $v$：
   根據勞侖茲變換的空間座標變化式：
   $\Delta x' = \gamma (\Delta x - v \Delta t)$
   因為 $\Delta x' = 0$，且勞侖茲因子 $\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - v^2/c^2}} \neq 0$，故：
   $\Delta x - v \Delta t = 0 \implies v = \frac{\Delta x}{\Delta t}$
   $v = \frac{3.6 \times 10^8 \text{ m}}{2 \text{ s}} = 1.8 \times 10^8 \text{ m/s}$