108 年 國立成功大學工程科學系碩士班丙組《電磁學》

核心觀念

設向量場為 $\mathbf{F}$：

• 若 $$\nabla\cdot\mathbf{F}=0$$ 則稱為無散場（solenoidal field）。
• 若 $$\nabla\times\mathbf{F}=0$$ 則稱為無旋場（irrotational field）。

在電磁學中：

$$\nabla\cdot\mathbf{E}=\frac{\rho}{\varepsilon_0}, \qquad \nabla\cdot\mathbf{B}=0$$ $$\nabla\times\mathbf{E} =-\frac{\partial\mathbf{B}}{\partial t}, \qquad \nabla\times\mathbf{B} =\mu_0\mathbf{J}+\mu_0\varepsilon_0 \frac{\partial\mathbf{E}}{\partial t}$$

因此，判斷場的分類時，只要分別計算散度與旋度即可。

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(a) 同時為無散場與無旋場

取均勻電場

$$\mathbf{E}=E_0\hat{\mathbf{z}},$$

其中 $E_0$ 為常數。例如大面積平行板電容器中央區域的近似均勻電場。

由於各分量皆為常數，

$$\nabla\cdot\mathbf{E} = \frac{\partial E_x}{\partial x} +\frac{\partial E_y}{\partial y} +\frac{\partial E_z}{\partial z} =0.$$

旋度為

$$\nabla\times\mathbf{E} = \begin{vmatrix} \hat{\mathbf{x}} & \hat{\mathbf{y}} & \hat{\mathbf{z}}\\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z}\\ 0&0&E_0 \end{vmatrix} =\mathbf{0}.$$

所以此電場同時滿足

$$\nabla\cdot\mathbf{E}=0, \qquad \nabla\times\mathbf{E}=0.$$

這表示該區域沒有體電荷，且為靜電場。

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(b) 無散但非無旋

取磁場

$$\mathbf{B}=k x\,\hat{\mathbf{y}},$$

其中 $k$ 為非零常數。此場可由具有均勻電流密度的理想化區域產生。

散度為

$$\nabla\cdot\mathbf{B} = \frac{\partial 0}{\partial x} +\frac{\partial (kx)}{\partial y} +\frac{\partial 0}{\partial z} =0.$$

因此它是無散場，符合磁場必然滿足的

$$\nabla\cdot\mathbf{B}=0.$$

旋度為

$$\nabla\times\mathbf{B} = \begin{vmatrix} \hat{\mathbf{x}} & \hat{\mathbf{y}} & \hat{\mathbf{z}}\\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z}\\ 0&kx&0 \end{vmatrix} =k\hat{\mathbf{z}}\neq\mathbf{0}.$$

所以此磁場為無散但非無旋：

$$\nabla\cdot\mathbf{B}=0, \qquad \nabla\times\mathbf{B}=k\hat{\mathbf{z}}\neq\mathbf{0}.$$

依安培定律，在靜磁情況下，

$$\nabla\times\mathbf{B}=\mu_0\mathbf{J},$$

故其對應的電流密度為

$$\mathbf{J}=\frac{k}{\mu_0}\hat{\mathbf{z}}.$$

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(c) 無旋但非無散

取電場

$$\mathbf{E}=a x\,\hat{\mathbf{x}},$$

其中 $a$ 為非零常數。

旋度為

核心觀念

本題考查三個重點：

1. 磁偶極的物理意義與定義。
2. 磁偶極矩 $\mathbf{m}$ 的定義、方向與單位。
3. 磁偶極所產生的磁力線形狀與方向。

磁偶極可視為一個面積極小、電流有限的電流迴路；在遠距離觀察時，任何小型電流迴路都可近似為磁偶極。理想化的條形磁鐵也可視為磁偶極。

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磁偶極的定義

磁偶極是具有磁偶極矩的局部磁源，其最典型模型為「小電流迴路」。當電流 $I$ 流經面積為 $A$ 的平面迴路時，若觀察距離遠大於迴路尺寸，即

$$r\gg \sqrt{A},$$

則此電流迴路在外部所產生的磁場可近似為磁偶極場。

條形磁鐵也可用磁偶極描述。條形磁鐵具有北極 $N$ 與南極 $S$，但自然界不存在孤立的磁單極，因此磁力線必須形成閉合曲線。

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磁偶極矩的定義

對於電流迴路，磁偶極矩定義為

$$\boxed{\mathbf{m}=I\mathbf{A}}$$

其中：

• $I$：迴路中的電流；
• $\mathbf{A}=A\hat{\mathbf{n}}$：面積向量；
• $\hat{\mathbf{n}}$：依右手定則決定的法向量。

因此，磁偶極矩的大小為

$$\boxed{m=IA}$$

若電流方向如右手四指彎曲方向，則右手拇指所指方向就是 $\mathbf{m}$ 的方向。

磁偶極矩的 SI 單位為

$$[\mathbf{m}]=\mathrm{A\cdot m^2}.$$

對 $N$ 匝線圈，磁偶極矩為

$$\boxed{\mathbf{m}=NI\mathbf{A}}.$$

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磁偶極矩的物理意義

磁偶極矩決定磁偶極的：

• 磁場強弱；
• 磁力線分布方向；
• 外加磁場中的受力矩；
• 與外加磁場的相互作用能。

在均勻外加磁場 $\mathbf{B}$ 中，磁偶極所受力矩為

$$\boxed{\boldsymbol{\tau}=\mathbf{m}\times\mathbf{B}}$$

其大小為

$$\tau=mB\sin\theta,$$

其中 $\theta$ 是 $\mathbf{m}$ 與 $\mathbf{B}$ 的夾角。磁偶極會傾向轉動，使 $\mathbf{m}$ 與 $\mathbf{B}$ 同方向。

其位能為

$$\boxed{U=-\mathbf{m}\cdot\mathbf{B}}.$$

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磁偶極的磁場

令磁偶極矩位於原點，方向沿 $z$ 軸。距離偶極中心 $r$ 處的磁場為

$$\boxed{ \mathbf{B} = \frac{\mu_0}{4\pi r^3} \left[ 3(\mathbf{m}\cdot\hat{\mathbf{r}})\hat{\mathbf{r}} -\mathbf{m} \right] }$$

其中 $\hat{\mathbf{r}}$ 是由偶極中心指向觀察點的單位向量。

以球座標表示：

$$\boxed{ B_r= \frac{\mu_0}{4\pi}\frac{2m\cos\theta}{r^3} }$$ $$\boxed{ B_\theta= \frac{\mu_0}{4\pi}\frac{m\sin\theta}{r^3} }$$

因此：

• 在偶極軸線上，$\theta=0$ 或 $\pi$：

$$B_{\text{軸}} = \frac{\mu_0}{4\pi}\frac{2m}{r^3}.$$

• 在赤道面上，$\theta=\pi/2$：

核心觀念

本題考查法拉第電磁感應定律：

$$\mathcal{E}(t)=-\frac{d\Phi_B}{dt},$$

其中磁通量為

$$\Phi_B(t)=\int_S \mathbf{B}\cdot d\mathbf{S}.$$

由於磁場均勻且線圈為正方形，面積為 $h^2$，因此

$$\Phi_B(t)=B(t)\,h^2\cos\theta(t),$$

其中 $\theta(t)$ 是磁場方向與線圈面法向量的夾角。

本題同時有兩個造成磁通量變化的因素：

1. 磁場大小隨時間變化；
2. 線圈繞 $y$ 軸旋轉，使法向量方向隨時間改變。

解題方法

令磁場為

$$\mathbf{B}(t)=\mathbf{a}_x B_0\cos(\omega t),$$

並假設線圈初始法向量位於 $x$-$z$ 平面，與 $x$ 軸夾角為 $\beta$：

$$\hat{\mathbf{n}}(0) =\mathbf{a}_x\cos\beta+\mathbf{a}_z\sin\beta.$$

線圈以角速度 $\omega$ 繞 $+y$ 軸旋轉。經過時間 $t$ 後，法向量的 $x$ 分量為

$$\hat{\mathbf{n}}(t)\cdot\mathbf{a}_x =\cos(\beta-\omega t).$$

因此磁場與線圈法向量的方向因子為

$$\cos\theta(t)=\cos(\beta-\omega t).$$

磁通量為

$$\Phi_B(t) =h^2B_0\cos(\omega t)\cos(\beta-\omega t).$$

利用積化和差公式，

核心觀念

本題考查：

• 歐姆定律的微分形式
  $\mathbf{J}=\sigma\mathbf{E}$
• 長直導線內外的電磁場：
  • 導線內部電流密度均勻
  • 導線外部磁場由安培定律求得
• 坡印亭向量

$$\mathbf{S}=\mathbf{E}\times\mathbf{H} =\frac{1}{\mu_0}\mathbf{E}\times\mathbf{B}$$

• 坡印亭定理在直流穩態下與焦耳熱功率的關係。

設導線沿 $z$ 軸延伸，半徑為 $a$，電流 $I$ 沿 $+\hat{\mathbf z}$ 方向流動，且導線 conductivity 記為 $\sigma$。

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解題方法

由於導線很長且電流為直流，導線內的電流密度均勻分布，因此可先求出導線表面的電場，再利用長直導線的磁場計算坡印亭向量。

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(a) 導線表面的坡印亭向量

1. 導線內的電流密度與電場

導線截面積為

$$A=\pi a^2$$

因此導線內的電流密度為

$$\mathbf{J} =\frac{I}{\pi a^2}\hat{\mathbf z}$$

由微分形式的歐姆定律，

$$\mathbf{J}=\sigma\mathbf{E}$$

可得導線內部，以及導線表面切向電場的大小：

$$\mathbf{E} =\frac{\mathbf{J}}{\sigma} =\frac{I}{\sigma\pi a^2}\hat{\mathbf z}$$

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2. 導線表面的磁場

在導線外部距離軸心 $r$ 處，利用安培定律：

$$\oint \mathbf{H}\cdot d\boldsymbol{\ell}=I$$

由圓柱對稱性，

$$H_\phi(2\pi r)=I$$

所以

$$\mathbf{H}(r)=\frac{I}{2\pi r}\hat{\boldsymbol\phi}$$

在導線表面 $r=a$：

$$\mathbf{H}(a)=\frac{I}{2\pi a}\hat{\boldsymbol\phi}$$

相應的磁感應強度為

$$\mathbf{B}(a)=\mu_0\mathbf{H}(a) =\frac{\mu_0 I}{2\pi a}\hat{\boldsymbol\phi}$$

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3. 計算坡印亭向量

坡印亭向量為

$$\mathbf{S}=\mathbf{E}\times\mathbf{H}$$

代入導線表面的電場與磁場：

$$\mathbf{S}(a) = \left( \frac{I}{\sigma\pi a^2}\hat{\mathbf z} \right) \times \left( \frac{I}{2\pi a}\hat{\boldsymbol\phi} \right)$$

在圓柱座標中，

$$\hat{\mathbf z}\times\hat{\boldsymbol\phi} =-\hat{\mathbf r}$$

因此

$$\boxed{ \mathbf{S}(a) = -\frac{I^2}{2\pi^2\sigma a^3}\hat{\mathbf r} }$$

若以電阻率 $\rho=1/\sigma$ 表示，亦可寫成

$$\boxed{ \mathbf{S}(a) = -\frac{\rho I^2}{2\pi^2a^3}\hat{\mathbf r} }$$

負號表示能量流方向指向導線內部，而非由導線向外流出。

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(b) 驗證坡印亭定理

1. 坡印亭定理的微分形式

一般坡印亭定理為

$$\nabla\cdot\mathbf{S} + \mathbf{J}\cdot\mathbf{E} + \frac{\partial u_{\text{em}}}{\partial t} =0$$

其中電磁能量密度為

$$u_{\text{em}} = \frac{1}{2} \left( \mathbf{E}\cdot\mathbf{D} + \mathbf{B}\cdot\mathbf{H} \right)$$

本題為直流穩態，因此電場與磁場皆不隨時間變化：

$$\frac{\partial u_{\text{em}}}{\partial t}=0$$

故坡印亭定理化為