115 年 國立成功大學工程科學系碩士班丙組《電磁學》

核心觀念

線性偏振波的電場方向固定；圓偏振波的電場方向則以固定角速度旋轉。兩種圓偏振方向相反、振幅相等時，其橫向分量中的旋轉部分可以互相抵消，只留下固定方向的線性偏振。

以下取波沿 $+z$ 方向傳播，並採用時間因子 $\cos(kz-\omega t)$。令線性偏振平面波為

$$\mathbf E(z,t)=E_0\hat{\mathbf x}\cos(kz-\omega t),$$

其中 $E_0$ 為線性偏振波的電場振幅。

圓偏振波可表示為

$$\mathbf E_{\pm}(z,t) = A\left[ \hat{\mathbf x}\cos(kz-\omega t) \pm \hat{\mathbf y}\sin(kz-\omega t) \right].$$

其電場大小為

$$|\mathbf E_{\pm}|=A,$$

因此電場端點在 $xy$ 平面上作圓周運動，兩者的旋轉方向相反，分別代表右手圓偏振與左手圓偏振。

解題方法

令

$$\psi=kz-\omega t.$$

取兩個振幅相同、旋轉方向相反的圓偏振波：

$$\mathbf E_R = \frac{E_0}{2} \left( \hat{\mathbf x}\cos\psi+ \hat{\mathbf y}\sin\psi \right),$$ $$\mathbf E_L = \frac{E_0}{2} \left( \hat{\mathbf x}\cos\psi- \hat{\mathbf y}\sin\psi \right).$$

其中下標 $R$ 與 $L$ 分別表示右手與左手圓偏振。兩者的電場振幅皆為

$$|\mathbf E_R|=|\mathbf E_L|=\frac{E_0}{2}\sqrt{\cos^2\psi+\sin^2\psi} =\frac{E_0}{2}.$$

將兩個圓偏振波相加：

$$\begin{aligned} \mathbf E_R+\mathbf E_L &= \frac{E_0}{2} \left( \hat{\mathbf x}\cos\psi+ \hat{\mathbf y}\sin\psi \right) \\ &\quad+ \frac{E_0}{2} \left( \hat{\mathbf x}\cos\psi- \hat{\mathbf y}\sin\psi \right) \\ &= E_0\hat{\mathbf x}\cos\psi. \end{aligned}$$

因此

$$\boxed{ \mathbf E_R+\mathbf E_L = E_0\hat{\mathbf x}\cos(kz-\omega t) }$$

正好恢復原來沿 $x$ 方向的線性偏振平面波。

其中，兩個圓偏振波的 $y$ 分量為

$$+\frac{E_0}{2}\hat{\mathbf y}\sin\psi \quad\text{與}\quad -\frac{E_0}{2}\hat{\mathbf y}\sin\psi,$$

彼此完全抵消；而兩者的 $x$ 分量同相，因此相加成為完整的線性偏振電場。

複數表示法

使用複數表示法可更簡潔地看出此結果。原線性偏振波的相量為

核心觀念

本題考查：

1. 直流導線內的電場與電流密度關係
   $\mathbf{J}=\sigma\mathbf{E}$
2. 安培定律求長直導線周圍的磁場
   $\oint \mathbf{H}\cdot d\boldsymbol{\ell}=I_{\mathrm{enc}}$
3. Poynting 向量定義
   $\mathbf{S}=\mathbf{E}\times\mathbf{H}$
4. Poynting 定理在穩態導電系統中的意義：電磁能流入導線，轉換為焦耳熱。

設導線半徑為 $b$，導電率為 $\sigma$，電流 $I$ 沿 $+\hat{\mathbf{z}}$ 方向均勻流動。

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解題方法

1. 導線內部的電場

導線截面積為

$$A=\pi b^2.$$

均勻電流密度為

$$\mathbf{J}=\frac{I}{\pi b^2}\hat{\mathbf{z}}.$$

由歐姆定律的微分形式

$$\mathbf{J}=\sigma\mathbf{E},$$

可得導線內部電場

$$\mathbf{E} =\frac{\mathbf{J}}{\sigma} =\frac{I}{\pi b^2\sigma}\hat{\mathbf{z}}.$$

在導線表面 $r=b$，切向電場仍為

$$\boxed{\mathbf{E}(b)=\frac{I}{\pi b^2\sigma}\hat{\mathbf{z}}}.$$

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2. 導線表面的磁場

取半徑為 $r$ 的圓形安培迴路。由安培定律，

$$\oint \mathbf{H}\cdot d\boldsymbol{\ell}=I_{\mathrm{enc}}.$$

在導線外部 $r\geq b$ 時，包圍全部電流 $I$，因此

$$H_\phi(2\pi r)=I,$$

所以

$$\mathbf{H}(r)=\frac{I}{2\pi r}\hat{\boldsymbol{\phi}}.$$

在導線表面 $r=b$ 的外側，

$$\boxed{\mathbf{H}(b)=\frac{I}{2\pi b}\hat{\boldsymbol{\phi}}}.$$

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Poynting 向量

Poynting 向量為

$$\mathbf{S}=\mathbf{E}\times\mathbf{H}.$$

代入導線表面的電場與磁場：

$$\mathbf{S}(b) = \left( \frac{I}{\pi b^2\sigma}\hat{\mathbf{z}} \right) \times \left( \frac{I}{2\pi b}\hat{\boldsymbol{\phi}} \right).$$

柱座標單位向量滿足

$$\hat{\mathbf{z}}\times\hat{\boldsymbol{\phi}} =-\hat{\mathbf{r}},$$

故

$$\boxed{ \mathbf{S}(b) = -\frac{I^2}{2\pi^2\sigma b^3}\hat{\mathbf{r}} }$$

其中 $\hat{\mathbf{r}}$ 是由導線軸心向外的方向，因此負號表示 Poynting 向量指向導線內部。

其物理意義是：電磁能由導線周圍的空間，經由導線表面流入導線，最後轉換為導線內的焦耳熱。

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驗證 Poynting 定理

Poynting 定理的積分形式為

核心觀念

本題考查波動的相速度（phase velocity）與群速度（group velocity），以及兩者在物理意義上的差異。

對一個平面波

$$\psi(z,t)=A\cos(kz-\omega t),$$

其中 $k$ 為波數、$\omega$ 為角頻率。固定相位條件為

$$kz-\omega t=\text{constant},$$

因此相速度定義為

$$v_p=\frac{\omega}{k}.$$

相速度描述的是單一頻率波的波峰、波谷或等相位面傳播的速度。

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群速度的定義與推導

實際的波包通常由許多頻率相近、波數相近的波疊加而成。考慮兩個振幅相同、頻率與波數略有差異的波：

$$\psi_1=A\cos(k_1z-\omega_1t),$$ $$\psi_2=A\cos(k_2z-\omega_2t).$$

利用三角恆等式相加：

$$\psi=\psi_1+\psi_2 =2A\cos\left(\frac{\Delta k\,z-\Delta\omega\,t}{2}\right) \cos\left(\bar{k}z-\bar{\omega}t\right),$$

其中

$$\Delta k=k_1-k_2,\qquad \Delta\omega=\omega_1-\omega_2.$$

前方的因子

$$2A\cos\left(\frac{\Delta k\,z-\Delta\omega\,t}{2}\right)$$

形成緩慢變化的振幅包絡。固定包絡相位：

$$\Delta k\,z-\Delta\omega\,t=\text{constant},$$

可得包絡的傳播速度

$$v_g=\frac{\Delta\omega}{\Delta k}.$$

當兩個波的差異趨近於零時，群速度定義為

$$\boxed{v_g=\frac{d\omega}{dk}}.$$

因此，群速度就是色散關係 $\omega(k)$ 對波數 $k$ 的斜率。

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群速度與相速度的差異

1. 描述對象不同

相速度描述單一頻率波的相位：

$$v_p=\frac{\omega}{k}.$$

其代表波峰、波谷及其他固定相位點的移動速度。

群速度描述由多個鄰近頻率波組成的波包包絡：

$$v_g=\frac{d\omega}{dk}.$$

波包的能量、調變訊號及資訊通常隨群速度傳播。

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2. 公式形式不同

相速度是 $\omega$ 與 $k$ 的比值：

$$v_p=\frac{\omega}{k}.$$

群速度則是 $\omega-k$ 關係的微分：

$$v_g=\frac{d\omega}{dk}.$$

只有在 $\omega$ 與 $k$ 呈線性關係時，兩者才必然相等。

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3. 是否受到色散影響不同

若介質具有色散，則不同頻率的波具有不同相速度：

$$v_p(\omega)=\frac{\omega}{k(\omega)}.$$

波包中的各頻率成分會以不同速度傳播，使波包逐漸展寬或變形。此時通常有

$$v_g\ne v_p.$$

若介質為無色散介質，色散關係為

$$\omega=vk,$$

其中 $v$ 為常數，則

核心觀念

本題考查天線的方向性、指向增益與直接ivity 定義。對沿 $z$ 軸放置的 Hertzian dipole（電小偶極），其遠場輻射電場具有

$$E_\theta \propto \sin\theta$$

因此功率密度與 $\sin^2\theta$ 成正比，最大輻射方向位於 $\theta=90^\circ$，偶極軸向 $\theta=0^\circ,\ 180^\circ$ 沒有輻射。

指向增益定義為

$$G_d(\theta,\phi) = \frac{U(\theta,\phi)}{P_{\text{rad}}/(4\pi)} = \frac{4\pi U(\theta,\phi)}{P_{\text{rad}}},$$

其中：

• $U(\theta,\phi)$：輻射強度，單位為 W/sr。
• $P_{\text{rad}}$：總輻射功率。
• $G_d$：不考慮損耗的 directive gain。

直接ivity 定義為指向增益的最大值：

$$D=\max_{\theta,\phi}G_d(\theta,\phi).$$

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解題方法

設 Hertzian dipole 沿 $z$ 軸放置，長度為 $l$，且 $l\ll\lambda$。在遠場區域，其主要電磁場為

$$E_\theta = j\eta\frac{kI_0l}{4\pi r}e^{-jkr}\sin\theta,$$ $$H_\phi=\frac{E_\theta}{\eta},$$

其中 $\eta$ 為空間波阻抗，$k=2\pi/\lambda$。

遠場平均功率密度為

$$S_{\text{av}} = \frac{|E_\theta|^2}{2\eta}.$$

代入電場可得

$$S_{\text{av}} = \frac{\eta k^2|I_0l|^2}{32\pi^2r^2}\sin^2\theta.$$

輻射強度定義為

$$U(\theta,\phi)=r^2S_{\text{av}},$$

所以

$$U(\theta,\phi) = \frac{\eta k^2|I_0l|^2}{32\pi^2} \sin^2\theta.$$

令

$$U_{\max} = \frac{\eta k^2|I_0l|^2}{32\pi^2},$$

則方向性可直接寫成

$$U(\theta,\phi)=U_{\max}\sin^2\theta.$$

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計算總輻射功率

總輻射功率為對整個立體角積分：

$$P_{\text{rad}} = \int_0^{2\pi}\int_0^\pi U(\theta,\phi)\sin\theta\,d\theta\,d\phi.$$

代入 $U(\theta,\phi)$：

$$P_{\text{rad}} = U_{\max} \int_0^{2\pi}d\phi \int_0^\pi \sin^3\theta\,d\theta.$$

由

$$\int_0^{2\pi}d\phi=2\pi, \qquad \int_0^\pi\sin^3\theta\,d\theta=\frac{4}{3},$$

得到

$$P_{\text{rad}} = U_{\max}\cdot 2\pi\cdot\frac{4}{3} = \frac{8\pi}{3}U_{\max}.$$

因此