115 年 國立成功大學工程科學系碩士班丙組《近代物理》

核心觀念

本題主要考驗**德布羅意物質波（de Broglie Wavelength）與相對論力學（Relativistic Mechanics）**的綜合應用。

1. 德布羅意關係式（de Broglie Relation）：
   任何具動量 $p$ 的微觀粒子，其物質波波長 $\lambda$ 為：
   $\lambda = \frac{h}{p} \implies p = \frac{h}{\lambda}$
   其中 $h$ 為普朗克常數（Planck's Constant）。

2. 相對論能量與動量關係（Energy-Momentum Relation）：
   質子的靜止能量 $m_p c^2 \approx 938.3 \text{ MeV}$。當粒子的物質波波長極短（如本題 $0.5 \text{ fm}$）時，其動量非常大，粒子速度接近光速，必須採用狹義相對論之能量公式：
   $E = \sqrt{(pc)^2 + (m_p c^2)^2}$
   其中：

   • $E$ 為質子的總能量（Total Energy）
   • $pc$ 為動量乘以光速項
   • $m_p c^2$ 為質子的靜止能量（Rest Energy）
   • 質子的**動能（Kinetic Energy）**則表示為 $K = E - m_p c^2$

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解題方法

步驟一：計算動量乘光速項 $pc$

利用常數組合 $hc \approx 1240 \text{ MeV}\cdot\text{fm}$（精確值約 $1239.84 \text{ MeV}\cdot\text{fm}$）：
$pc = \frac{hc}{\lambda} = \frac{1239.84 \text{ MeV}\cdot\text{fm}}{0.5 \text{ fm}} = 2479.68 \text{ MeV} \approx 2.48 \text{ GeV}$

步驟二：判斷是否須使用相對論修正

質子靜止能量 $m_p c^2 \approx 938.3 \text{ MeV}$。
由於 $pc = 2479.68 \text{ MeV} > m_p c^2 = 938.3 \text{ MeV}$，動量能量項已大幅超越質子靜能，說明質子處於極高極限的相對論性運動狀態，絕不能使用古典力學公式 $K = \frac{p^2}{2m_p}$ 計算。

步驟三：計算質子總能量 $E$ 與動能 $K$

1. 總能量（Total Energy, $E$）：
   $E = \sqrt{(pc)^2 + (m_p c^2)^2}$
   代入數值：

核心觀念

• 成對產生（Pair Production）：高能光子（$\gamma$ Ray）在鄰近重原子核的庫侖場作用下，轉化為一對物質與反物質粒子（電子 $e^-$ 與正電子 $e^+$）的現象。
• 守恆定律約束：光子在真空中無法單獨質能轉換為電子對（無法同時滿足能量與動量守恆），必須有第三者（重原子核）吸收反衝動量。由於重原子核質量極大，其獲得的反衝動能極小，可忽略不計，因此光子的能量幾乎完全轉化為電子與正電子的總能量。
• 臨限能量（Threshold Energy）與臨限波長（Threshold Wavelength）：
  • 發生此反應所需的光子最小能量稱為臨限能量 $E_{\text{th}}$，此時生成的電子與正電子動能均為零。
  • 對應的光子最大波長即為臨限波長 $\lambda_{\text{th}}$。若入射光子波長大於此值，其能量不足以提供產生電子對所需的靜質量能。

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解題方法

1. 建立能量守恆關係式：
   設光子能量為 $E = h\nu = \frac{hc}{\lambda}$，單一電子的靜質量為 $m_e$。
   反應產生一個電子與一個正電子，兩者靜質量相同，單一粒子的靜質量能為 $m_e c^2 \approx 0.511 \text{ MeV}$。
   在臨限條件下，產生的電子與正電子動能均為零，且原子核吸收的反衝動能忽略不計：
   $E_{\text{th}} = m_e c^2 + m_e c^2 = 2 m_e c^2$

2. 推導臨限波長符號式：
   將光子能量與波長的關係式 $E_{\text{th}} = \frac{hc}{\lambda_{\text{th}}}$ 代入臨限能量：
   $\frac{hc}{\lambda_{\text{th}}} = 2 m_e c^2$
   等式兩端同除以 $c$，解出臨限波長 $\lambda_{\text{th}}$：
   $\lambda_{\text{th}} = \frac{h}{2 m_e c} = \frac{\lambda_C}{2}$
   其中 $\lambda_C = \frac{h}{m_e c}$ 為電子的康普頓波長（Compton Wavelength）。

3. 代入數值計算：

   • 使用國際標準單位制（SI）：
     • 普朗克常數 $h = 6.626 \times 10^{-34} \text{ J}\cdot\text{s}$
     • 電子靜質量 $m_e = 9.109 \times 10^{-31} \text{ kg}$
     • 真空光速 $c = 2.998 \times 10^8 \text{ m/s}$

   $\lambda_{\text{th}} = \frac{6.626 \times 10^{-34}}{2 \times (9.109 \times 10^{-31}) \times (2.998 \times 10^8)} \approx 1.213 \times 10^{-12} \text{ m}$

   • 使用能量單位簡化計算：
     $E_{\text{th}} = 2 m_e c^2 = 2 \times 0.511 \text{ MeV} = 1.022 \text{ MeV} = 1.022 \times 10^6 \text{ eV}$

核心觀念

氫樣原子在主量子數 $n=3$ 時，軌道角動量量子數可取

$$\ell=0,1,2$$

軌道角動量的量值為

$$L=\sqrt{\ell(\ell+1)}\,\hbar$$

電子的軌道磁矩與軌道角動量關係為

$$\boldsymbol{\mu}_L=-\frac{e}{2m_e}\mathbf{L}$$

負號來自電子帶負電。因此，磁矩量值為

$$\mu_L=\frac{e\hbar}{2m_e}\sqrt{\ell(\ell+1)} =\mu_B\sqrt{\ell(\ell+1)}$$

其中

$$\mu_B=\frac{e\hbar}{2m_e}$$

稱為波耳磁子，數值約為

$$\mu_B=9.274\times10^{-24}\ \mathrm{J/T}$$

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解題方法

主量子數 $n$ 決定能階，而同一個 $n$ 所允許的軌道角動量量子數為

$$\ell=0,1,\ldots,n-1$$

因此對於 $n=3$：

$$\ell=0,1,2$$

逐一代入磁矩量值公式。

$1.\ \ell=0$

$$\mu_L=\mu_B\sqrt{0(0+1)}=0$$

因此 $s$ 態的軌道磁矩為

$$\boxed{\mu_L=0}$$

$2.\ \ell=1$

$$\mu_L=\mu_B\sqrt{1(1+1)} =\sqrt{2}\,\mu_B$$

因此 $p$ 態的軌道磁矩量值為

$$\boxed{\mu_L=\sqrt{2}\,\mu_B}$$

$3.\ \ell=2$

$$\mu_L=\mu_B\sqrt{2(2+1)} =\sqrt{6}\,\mu_B$$

因此 $d$ 態的軌道磁矩量值為

$$\boxed{\mu_L=\sqrt{6}\,\mu_B}$$

所以，若題目所問的是磁矩的量值，$n=3$ 能階共有三種：

$$\boxed{0,\ \sqrt{2}\,\mu_B,\ \sqrt{6}\,\mu_B}$$

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磁矩在特定方向的分量

量子力學也指出，軌道角動量在選定 $z$ 軸上的分量為

$$L_z=m_\ell\hbar$$

其中

$$m_\ell=-\ell,-\ell+1,\ldots,\ell$$

電子軌道磁矩的 $z$ 分量為

核心觀念

本題旨在考查熱力學與氣體分子兼論近代物理基礎中的氣體動力論（Kinetic Theory of Gases）與能量均分定理（Equipartition Theorem）。

1. 能量均分定理（Equipartition Theorem）：
   在熱平衡狀態下，系統內每一個獨立的二次方自由度（Degree of Freedom），其平均能量均為 $\frac{1}{2} k_B T$。
2. 分子的平均移動動能（Average Translational Kinetic Energy）：
   任何分子的空間運動均包含三個獨立的平移自由度（$x, y, z$ 三個方向）。因此，氣體分子在溫度 $T$ 下的平均移動動能 $\langle K \rangle$（或記作 $\bar{E}_k$）固定為：
   $\langle K \rangle = \frac{3}{2} k_B T$
   其中：
   • $k_B$ 為玻茲曼常數（Boltzmann Constant）：
     $k_B \approx 1.38 \times 10^{-23} \text{ J/K} \approx 8.617 \times 10^{-5} \text{ eV/K}$
   • $T$ 為絕對溫度（Absolute Temperature），單位為 $\text{K}$。

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解題方法

步驟一：確立計算公式

題目欲求室溫 $T = 300 \text{ K}$ 時氣體分子的平均動能。在未特別指定分子結構（如單原子、雙原子）的情況下，近代物理與熱力學問題中「分子的平均動能」通常預設指平均移動動能（Average Translational Kinetic Energy）：
$\langle K \rangle = \frac{3}{2} k_B T$

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步驟二：數值代入與計算

1. 以焦耳（$\text{J}$）為單位計算：
   代入已知數值 $k_B = 1.38 \times 10^{-23} \text{ J/K}$ 與 $T = 300 \text{ K}$：
   $\langle K \rangle = \frac{3}{2} \times \left(1.38 \times 10^{-23} \text{ J/K}\right) \times 300 \text{ K}$
   $\langle K \rangle = 1.5 \times 4.14 \times 10^{-21} \text{ J} = 6.21 \times 10^{-21} \text{ J}$

2. 換算為電子伏特（$\text{eV}$）單位：