109 年 國立成功大學工程科學系碩士班丙組《近代物理》

核心觀念

本題考查量子物理基礎與光子假說（Photon Hypothesis），核心概念包括光子能量公式與雷射功率之關係：

1. 愛因斯坦光子假說（Planck-Einstein Relation）：
   單一光子（photon）的能量 $E$ 與其頻率 $\nu$ 或波長 $\lambda$ 成正比：
   $E = h\nu = \frac{hc}{\lambda}$
   其中 $h$ 為普朗克常數（$h \approx 6.626 \times 10^{-34} \text{ J}\cdot\text{s}$），$c$ 為真空光速（$c \approx 3.00 \times 10^{8} \text{ m/s}$）。

2. 雷射功率與光子發射率之關係：
   功率 $P$ 代表單位時間發出的總能量（單位：$\text{W} = \text{J/s}$）。若設每秒發射的光子數為 $N$（單位：$\text{photons/s}$ 或 $\text{s}^{-1}$），則總輸出功率可表示為：
   $P = N \cdot E$

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解題方法

1. 建立推導公式：
   將光子能量 $E = \frac{hc}{\lambda}$ 代入功率公式 $P = N \cdot E$，得：
   $P = N \left( \frac{hc}{\lambda} \right)$
   移項求算每秒發射的光子數 $N$：
   $N = \frac{P \lambda}{hc}$

2. 物理量單位換算：

   • 雷射功率 $P = 20 \text{ mW} = 20 \times 10^{-3} \text{ W} = 2.0 \times 10^{-2} \text{ J/s}$
   • 雷射波長 $\lambda = 633 \text{ nm} = 6.33 \times 10^{-7} \text{ m}$

3. 計算單一光子能量 $E$：

核心觀念

本題考驗**伽利略變換（Galilean Transformation）及其與勞侖茲變換（Lorentz Transformation）**在日常低速狀況下的適用性。

1. 參考系設定：

   • 設月台觀察者所在的參考系為 $S$ 系（靜止參考系）。
   • 設列車乘客所在的參考系為 $S'$ 系（運動參考系），相對 $S$ 系以恆定速度 $v = 30 \text{ m/s}$ 沿 $+x$ 軸方向運動。
   • 時空原點重合條件：在 $t = t' = 0$ 時，兩參考系原點重合，即 $x = x' = 0$。

2. 座標變換關係：

   • 由於列車移動速度 $v = 30 \text{ m/s} \ll c$（光速 $c \approx 3 \times 10^8 \text{ m/s}$），古典力學的伽利略變換公式完全適用：
     $x' = x - vt$
     $y' = y$
     $z' = z$
     $t' = t$
   • 從近代物理狹義相對論的勞侖茲變換視角檢視：
     $\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} \approx 1$
     勞侖茲變換式 $x' = \gamma(x - vt)$ 與 $t' = \gamma\left(t - \frac{vx}{c^2}\right)$ 在低速極限下精準退化為伽利略變換。

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解題方法

步驟一：整理已知數據與事件座標

• 列車相對月台速度：$v = 30 \text{ m/s}$
• 事件（月台觀察者測得飛鳥的位置與時間）：
  • 時間座標：$t = 20 \text{ s}$
  • 空間座標：$x = 800 \text{ m}$（飛鳥飛行方向與列車相同，故取 $+x$ 方向）

步驟二：求乘客（$S'$ 系）測得之飛鳥空間座標 $x'$
將已知數據代入伽利略變換之空間座標關係式：
$x' = x - vt$
$x' = 800 \text{ m} - (30 \text{ m/s}) \times (20 \text{ s})$
$x' = 800 \text{ m} - 600 \text{ m} = 200 \text{ m}$

步驟三：求乘客（$S'$ 系）測得之飛鳥時間座標 $t'$
在非相對論速度下，時間具有絕對性：
$t' = t = 20 \text{ s}$

若考量完整三維空間座標，飛鳥沿軌道方向飛行，垂直座標保持 $y' = 0 \text{ m}$ 與 $z' = 0 \text{ m}$。

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選項分析

核心觀念

1. 成對產生（Pair Production）
   當高能光子（如 $\gamma$ 射線）經過重原子核附近的強大庫侖電場時，光子可能消滅並轉化為一對質量相同但電性相反的粒子——電子（$e^-$）與正電子（$e^+$）。

2. 守恆定律與門檻能量（Threshold Energy）

   • 能量守恆：光子的總能量轉化為正負電子對的靜能與動能，以及原子核的反衝動能。
   • 動量守恆：單一光子無法在真空中自發衰變成正負電子對，必須有第三方（通常為重原子核）吸收反衝動量。
   • 最小能量條件：由於重原子核質量 $M$ 遠大於電子質量 $m_e$（$M \gg m_e$），原子核分得的反衝動能極小而可忽略不計。當生成的正、負電子恰好無動能（動能為零）時，光子所需的能量為最小值：
     $E_{\min} = m_{e^-} c^2 + m_{e^+} c^2 = 2 m_e c^2$

3. 光子能量與波長關係
   由愛因斯坦—普朗克關係式可知光子能量 $E$ 與波長 $\lambda$ 成反比：
   $E = h\nu = \frac{hc}{\lambda} \implies \lambda = \frac{hc}{E}$

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解題方法

1. 已知常數設定

• 電子靜止質量：$m_e = 9.109 \times 10^{-31} \text{ kg}$
• 電子靜止能量：$m_e c^2 \approx 0.511 \text{ MeV} = 8.187 \times 10^{-14} \text{ J}$
• 普朗克常數：$h = 6.626 \times 10^{-34} \text{ J}\cdot\text{s}$
• 真空光速：$c = 3.00 \times 10^8 \text{ m/s}$
• 電子伏特換算：$1 \text{ eV} = 1.602 \times 10^{-19} \text{ J}$

2. 最小光子能量 $E_{\min}$ 之推導與計算

欲產生電子—正電子對，光子最小能量必須至少等於兩者的靜能量之和：
$E_{\min} = 2 m_e c^2$

代入數值：
$E_{\min} = 2 \times 0.511 \text{ MeV} = 1.022 \text{ MeV}$

換算為國際單位制（SI 單位）：
$E_{\min} = 1.022 \times 10^6 \text{ eV} \times 1.602 \times 10^{-19} \text{ J/eV} \approx 1.637 \times 10^{-13} \text{ J}$

3. 光子波長 $\lambda$ 之計算

將最小能量 $E_{\min}$ 代入波長公式：
$\lambda = \frac{hc}{E_{\min}} = \frac{hc}{2 m_e c^2} = \frac{h}{2 m_e c}$

亦可利用電子康普頓波長

核心觀念

本題考查近代物理學中兩個極為重要的基礎觀念：

1. 海森堡不確定性原理（Heisenberg Uncertainty Principle）：對於一對共軛物理量（如位置 $x$ 與動量 $p$），無法同時被精確測量。其嚴謹的量子力學標準差下限關係式為：
   $\Delta x \cdot \Delta p \ge \frac{\hbar}{2} = \frac{h}{4\pi}$
   其中 $h$ 為普朗克常數（Planck constant），$\hbar = \frac{h}{2\pi}$ 為約化普朗克常數。
2. 德布羅意波長（de Broglie Wavelength）：任何具有動量 $p$ 的物質粒子都具有波粒二象性，其對應的物質波波長 $\lambda$ 滿足：
   $\lambda = \frac{h}{p} \implies p = \frac{h}{\lambda}$

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解題方法

本題切入點為將題目給定的動量不確定度條件代入德布羅意關係式，再結合海森堡不確定性原理求出位置最小不確定度與波長的定量關係。

1. 代入已知條件與德布羅意關係式：
   題目給定粒子的動量不確定度等於其動量大小，即：
   $\Delta p = p$
   將德布羅意關係式 $p = \frac{h}{\lambda}$ 代入上式，可將動量不確定度用波長表示：
   $\Delta p = \frac{h}{\lambda}$

2. 帶入不確定性原理並導出位置不確定度：
   將 $\Delta p = \frac{h}{\lambda}$ 代入海森堡不確定性原理關係式：
   $\Delta x \cdot \Delta p \ge \frac{h}{4\pi}$
   $\Delta x \cdot \left(\frac{h}{\lambda}\right) \ge \frac{h}{4\pi}$

3. 求解最小不確定度：
   不等式兩邊同時消去普朗克常數 $h$，並將 $\lambda$ 移至等號右側：
   $\Delta x \ge \frac{\lambda}{4\pi}$
   當不等式取等號時，即為粒子位置的最小不確定度（Minimum uncertainty in location）：