111 年 國立成功大學工程科學系碩士班丙組《近代物理》

核心觀念

本題考查**愛因斯坦光電效應與光量子假說（Photon Concept）**中，光子能量與其波長、頻率之間的對應關係。

1. 光子能量與頻率之關係（Planck-Einstein Relation）：
   光子的能量 $E$ 與其電磁波頻率 $f$ 成正比：
   $E = hf$
   其中 $h$ 為普朗克常數（Planck constant），$h \approx 6.626 \times 10^{-34} \text{ J}\cdot\text{s} \approx 4.136 \times 10^{-15} \text{ eV}\cdot\text{s}$。

2. 光子能量與波長之關係：
   電磁波在真空中傳播速度為光速 $c$（$c \approx 3.00 \times 10^8 \text{ m/s}$），波動基本關係式為 $c = f\lambda$。結合普朗克關係式可得：
   $E = \frac{hc}{\lambda} \implies \lambda = \frac{hc}{E}$

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解題方法

步驟一：單位換算

題目給定光子能量 $E = 2.0 \text{ keV} = 2.0 \times 10^3 \text{ eV}$。
若轉換為國際單位制（SI 單位）：
$E = 2.0 \times 10^3 \text{ eV} \times 1.602 \times 10^{-19} \text{ J/eV} = 3.204 \times 10^{-16} \text{ J}$

步驟二：計算光子頻率 $f$

利用 $E = hf$，將數值代入：
$f = \frac{E}{h} = \frac{3.204 \times 10^{-16} \text{ J}}{6.626 \times 10^{-34} \text{ J}\cdot\text{s}} \approx 4.835 \times 10^{17} \text{ Hz}$
（若取普朗克常數為 $4.136 \times 10^{-15} \text{ eV}\cdot\text{s}$，則 $f = \frac{2000 \text{ eV}}{4.136 \times 10^{-15} \text{ eV}\cdot\text{s}} \approx 4.836 \times 10^{17} \text{ Hz}$）

核心觀念

1. 光子的能量與動量關係
   光子為靜質量為零（$m_0 = 0$）的光速粒子，其能量 $E_\gamma$ 與動量 $p_\gamma$ 遵守極化關係：
   $E_\gamma = p_\gamma c$

2. 相對論性粒子的能量—動量關係
   對於靜質量為 $m_0$ 的相對論性粒子（如電子），其總能量 $E$、動能 $K$、靜能量 $m_0 c^2$ 與動量 $p_e$ 滿足相對論能量—動量方程式：
   $E^2 = (p_e c)^2 + (m_0 c^2)^2$
   其中總能量定義為動能與靜能量之和：
   $E = K + m_0 c^2$

3. 數值慣例
   在近代物理中，若題目提及「$1\text{ MeV}$ 電子」，習慣上預設指電子的動能 $K = 1\text{ MeV}$。電子的靜能量標準值為 $m_0 c^2 \approx 0.511\text{ MeV}$。

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解題方法

步驟一：建立光子能量與電子供量之關係
依題意，光子的動量等於電子的動量（$p_\gamma = p_e$）。將此條件代入光子能量公式：
$E_\gamma = p_\gamma c = p_e c$

步驟二：由相對論導出電子的動量項 $p_e c$
將總能量 $E = K + m_0 c^2$ 代入相對論能量—動量關係式：
$(K + m_0 c^2)^2 = (p_e c)^2 + (m_0 c^2)^2$

展開左式：
$K^2 + 2 K m_0 c^2 + (m_0 c^2)^2 = (p_e c)^2 + (m_0 c^2)^2$

兩邊消去消去共通項 $(m_0 c^2)^2$ 後，移項求得 $p_e c$：
$p_e c = \sqrt{K^2 + 2 K m_0 c^2}$

步驟三：代入已知數據進行計算
已知電子的動能 $K = 1.0\text{ MeV}$，靜能量 $m_0 c^2 = 0.511\text{ MeV}$。代入可得光子能量：

核心觀念

本題旨在考驗對物質波（Matter Wave）與德布羅意波長（de Broglie Wavelength）基本定義的掌握程度，以及國際單位制（SI 單位制）的換算能力。

1. 德布羅意關係式（de Broglie Relation）：
   根據德布羅意假說，任何運動中的微粒或物體都具有波動性，其對應的德布羅意波長 $\lambda$ 與物體的動量 $p$ 成反比：
   $\lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{mv}$
   其中：

   • $h$ 為普朗克常數（Planck constant），數值約為 $6.626 \times 10^{-34} \text{ J}\cdot\text{s}$（亦常用 $6.63 \times 10^{-34} \text{ J}\cdot\text{s}$）。
   • $p$ 為物體的動量（Momentum），單位為 $\text{kg}\cdot\text{m/s}$。
   • $m$ 為物體質量，單位為 $\text{kg}$。
   • $v$ 為物體運動速度，單位為 $\text{m/s}$。

2. 單位換算（SI Units）：
   進行物理數值計算時，必須將所有已知條件統一轉換為國際單位制：

   • 質量 $m = 100 \text{ g} = 0.1 \text{ kg}$
   • 速度 $v = 10 \text{ m/s}$

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解題方法

步驟一：計算物體動量 $p$
由於物體運動速度 $v = 10 \text{ m/s}$ 遠小於光速 $c$（$c \approx 3 \times 10^8 \text{ m/s}$），屬於經典非相對論運動，可直接採用牛頓力學動量公式：
$p = mv = 0.1 \text{ kg} \times 10 \text{ m/s} = 1 \text{ kg}\cdot\text{m/s}$

步驟二：計算德布羅意波長 $\lambda$
將動量 $p$ 與普朗克常數 $h$ 代入德布羅意波長公式：
$\lambda = \frac{h}{p} = \frac{6.626 \times 10^{-34} \text{ J}\cdot\text{s}}{1 \text{ kg}\cdot\text{m/s}} = 6.626 \times 10^{-34} \text{ m}$

核心觀念

1. 光學解析度限制（衍射極限，Diffraction Limit）：要藉由波（如電磁波/光子）觀察尺寸為 $d$ 的物體，所使用的光波波長 $\lambda$ 必須小於或等於該物體的尺寸（$\lambda \le d$）。若波長大於物體尺寸，將會發生顯著的繞射現象而無法解析物體的結構細節。
2. 光子能量與波長關係：依據愛因斯坦的光子假說，光子的能量 $E$ 與其波長 $\lambda$ 成反比，公式為：
   $E = h\nu = \frac{hc}{\lambda}$
   因此，要求得能觀察該物體的「最小光子能量（Minimum Energy）」，等同於取其「最大允許波長（Maximum Wavelength）」，即 $\lambda_{\text{max}} = d$。

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解題方法

Step 1：判定最大允許波長

根據解析度限制，能用來觀察尺寸 $d = 2.0\text{ \AA}$ 物體的光波，其最大波長為：
$\lambda_{\text{max}} = d = 2.0\text{ \AA} = 2.0 \times 10^{-10}\text{ m}$

Step 2：建立最小光子能量推導式

將最大波長代入光子能量公式，得到最小能量 $E_{\text{min}}$ 為：
$E_{\text{min}} = \frac{hc}{\lambda_{\text{max}}} = \frac{hc}{d}$

Step 3：數值計算（提供兩款常用單位結果）

1. 以電子伏特（$\text{eV}$ / $\text{keV}$）表示：
   使用近代物理常用快捷常數 $hc \approx 12400\text{ eV}\cdot\text{\AA}$（若取更精確數值 $hc \approx 12420\text{ eV}\cdot\text{\AA}$）：
   $E_{\text{min}} = \frac{12400\text{ eV}\cdot\text{\AA}}{2.0\text{ \AA}} = 6200\text{ eV} = 6.2\text{ keV}$
   （若以精確值計算：$E_{\text{min}} = \frac{12420\text{ eV}\cdot\text{\AA}}{2.0\text{ \AA}} = 6.21\text{ keV}$）

2. 以國際標準單位焦耳（$\text{J}$）表示：
   代入基本物理常數：

   • 普朗克常數 $h = 6.626 \times 10^{-34}\text{ J}\cdot\text{s}$
   • 真空光速 $c = 3.0 \times 10^8\text{ m/s}$