112 年 國立成功大學工程科學系碩士班丙組《近代物理》

核心觀念

本題考查光子（Photon）的能量與動量關係。光子為靜止質量 $m_0 = 0$ 的零質量粒子，其傳播速度始終為真空光速 $c$。

根據狹義相對論的能量—動量關係式（Relativistic Energy-Momentum Relation）：
$E^2 = (pc)^2 + (m_0 c^2)^2$

由於光子的靜止質量 $m_0 = 0$，上式可簡化為：
$E = pc$

由此可得光子的動量 $p$ 與能量 $E$ 之定量關係：
$p = \frac{E}{c}$

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解題方法

根據題目給定條件：

• 光子能量 $E = 10.0\text{ MeV} = 10.0 \times 10^6\text{ eV}$

步驟一：以高能物理單位（$\text{MeV}/c$）表示
將能量 $E = 10.0\text{ MeV}$ 直接代入動量公式 $p = \frac{E}{c}$：
$p = \frac{10.0\text{ MeV}}{c} = 10.0\text{ MeV}/c$

步驟二：換算為 SI 國際單位制（$\text{kg}\cdot\text{m/s}$）
若題目或計分要求導出 SI 單位，可使用基本物理常數進行換算：

• $1\text{ eV} \approx 1.602 \times 10^{-19}\text{ J}$
• 真空光速 $c \approx 2.998 \times 10^8\text{ m/s}$（或取 $3.00 \times 10^8\text{ m/s}$）

1. 將能量換算為焦耳（J）：
   $E = 10.0 \times 10^6 \times (1.602 \times 10^{-19}\text{ J}) = 1.602 \times 10^{-12}\text{ J}$

核心觀念

本題考查近代物理中制動輻射（Bremsstrahlung）與杜安－亨特定律（Duane-Hunt Law）。

1. 制動輻射（Bremsstrahlung）：
   當高速電子靠近重原子核時，受庫侖引力作用產生極大的加速度（減速），依據電磁學理論，加速電荷會輻射出電磁波。此過程中電子損失的動能將轉化為輻射光子的能量。
2. 杜安－亨特定律與能量守恆：
   若電子在單次碰撞中完全停止（brought to rest），代表電子的初始動能 $K$ 100% 完全轉化為單一光子的能量 $E$。此時產生的光子具有最大頻率 $f_{\text{max}}$（即連續 X 光光譜的短波截止邊界）：
   $K = E = h f$
   其中：
   • $K$ 為電子的初始動能
   • $h$ 為普朗克常數（Planck's constant）
   • $f$ 為發射光子的頻率

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解題方法

1. 已知物理量與常數設定

• 電子動能 $K = 15 \text{ keV} = 15 \times 10^3 \text{ eV}$
• 基本電荷 $e = 1.602 \times 10^{-19} \text{ C}$
• 普朗克常數 $h = 6.626 \times 10^{-34} \text{ J}\cdot\text{s} = 4.136 \times 10^{-15} \text{ eV}\cdot\text{s}$

2. 能量單位換算（SI 制）

將動能由電子伏特（$\text{eV}$）轉為焦耳（$\text{J}$）：
$K = 15 \times 10^3 \text{ eV} \times 1.602 \times 10^{-19} \text{ J/eV} = 2.403 \times 10^{-15} \text{ J}$

3. 公式推導與數值計算

依據能量守恆定律 $K = h f$，導出頻率計算式：
$f = \frac{K}{h}$

代入數值計算：
$f = \frac{2.403 \times 10^{-15} \text{ J}}{6.626 \times 10^{-34} \text{ J}\cdot\text{s}} \approx 3.6266 \times 10^{18} \text{ Hz}$

若直接使用 $\text{eV}\cdot\text{s}$ 單位常數計算：
$f = \frac{15 \times 10^3 \text{ eV}}{4.136 \times 10^{-15} \text{ eV}\cdot\text{s}} \approx 3.6267 \times 10^{18} \text{ Hz}$

核心觀念

本題考查普朗克量子假說（Planck's Quantum Hypothesis）與愛因斯坦光子假說在巨觀電磁波能量輻射上的應用。

1. 單一光量子能量公式：
   頻率為 $f$ 的電磁輻射，其每個光量子（Quantum of radiation）所帶有的能量 $E$ 為：
   $E = h f$
   其中 $h$ 為普朗克常數（Planck's constant），在 SI 單位制下約為 $6.626 \times 10^{-34} \text{ J}\cdot\text{s}$（亦常取 $6.63 \times 10^{-34} \text{ J}\cdot\text{s}$）。

2. 輻射功率與量子發射率之關係：
   發射台的輸出功率 $P$ 代表單位時間內發射的總電磁能量。若電台單位時間發射的光量子數目為 $R$（即量子發射率 $\frac{dN}{dt}$），則總功率可表示為：
   $P = R \cdot E = R \cdot h f$
   因此，量子發射率 $R$ 的計算公式為：
   $R = \frac{P}{h f}$

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解題方法

1. 已知物理量轉換為 SI 基本單位：

   • 廣播電台頻率 $f = 103.7 \text{ MHz} = 103.7 \times 10^6 \text{ Hz} = 1.037 \times 10^8 \text{ s}^{-1}$
   • 輸出功率 $P = 250 \text{ kW} = 2.50 \times 10^5 \text{ W} = 2.50 \times 10^5 \text{ J/s}$
   • 普朗克常數 $h = 6.626 \times 10^{-34} \text{ J}\cdot\text{s}$

2. 計算單一光量子的能量 $E$：
   $E = h f = (6.626 \times 10^{-34} \text{ J}\cdot\text{s}) \times (1.037 \times 10^8 \text{ s}^{-1}) \approx 6.871 \times 10^{-26} \text{ J}$

核心觀念

本題考驗**光子動量與波長關係（德布羅意關係式）以及海森堡不確定性原理（Heisenberg Uncertainty Principle）**的綜合應用。

1. 光子的動量與波長關係式：
   根據愛因斯坦與德布羅意假說，光子的波長 $\lambda$ 與動量 $p$ 之關係為：
   $p = \frac{h}{\lambda}$
   其中 $h$ 為普朗克常數（Planck's constant）。

2. 動量不確定量與波長不確定量的關係：
   對動量公式對波長求微分（取絕對值量級）：
   $\Delta p = \left| \frac{dp}{d\lambda} \right| \Delta \lambda = \frac{h}{\lambda^2} \Delta \lambda = p \left( \frac{\Delta \lambda}{\lambda} \right)$

3. 海森堡不確定性原理：
   在量子力學中，位置與動量的不確定性遵循：
   $\Delta x \Delta p \ge \frac{\hbar}{2} = \frac{h}{4\pi}$
   求取位置的最小不確定量時取等號：
   $\Delta x_{\min} = \frac{\hbar}{2\Delta p} = \frac{h}{4\pi \Delta p}$

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解題方法

步驟一：推導位置不確定量 $\Delta x$ 的簡化代數關係式

將動量不確定量 $\Delta p = \frac{h}{\lambda^2} \Delta \lambda$ 代入海森堡不確定性原理公式 $\Delta x \Delta p \ge \frac{h}{4\pi}$ 中：

$\Delta x \left( \frac{h}{\lambda^2} \Delta \lambda \right) \ge \frac{h}{4\pi}$

等號兩邊消去普朗克常數 $h$，整理可得：

$\Delta x \ge \frac{\lambda^2}{4\pi \Delta \lambda} = \frac{\lambda}{4\pi \left(\frac{\Delta \lambda}{\lambda}\right)}$

此式顯示光子的位置不確定量 $\Delta x$ 與普朗克常數 $h$ 無關，僅由光子的波長 $\lambda$ 以及波長相對精確度 $\frac{\Delta \lambda}{\lambda}$ 決定。

步驟二：代入已知數值進行精確計算

題目給定已知條件：

• 光子波長 $\lambda = 300 \text{ nm} = 3.0 \times 10^{-7} \text{ m}$
• 波長精確度為百萬分之一（One part in a million），即相對不確定度：