113 年 國立成功大學工程科學系碩士班丙組《近代物理》

核心觀念

本題旨在考驗愛因斯坦光量子假說（Einstein's Photon Hypothesis）與功率與能量流的關係。

1. 普朗克—愛因斯坦關係式（Planck-Einstein Relation）：
   單一光子所攜帶的能量 $E$ 與其波長 $\lambda$ 成反比，公式為：
   $E = h\nu = \frac{hc}{\lambda}$
   其中 $h$ 為普朗克常數（Planck constant），$\nu$ 為光波頻率，$c$ 為真空中的光速，$\lambda$ 為光波波長。

2. 光子發射數率（Photon Emission Rate）：
   光源發射的總功率 $P$ 代表單位時間內所輸出的總能量。若每秒發射的光子數目為 $n$（即 $n = \frac{dN}{dt}$），且假設所有光子均具有相同波長，則總功率與單一光子能量的關係為：
   $P = n \cdot E$
   移項可得每秒發射的光子數：
   $n = \frac{P}{E} = \frac{P \lambda}{h c}$

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解題方法

步驟一：列出已知條件並統一為 SI 基本單位

• 雷射輸出功率 $P = 5\text{ mW} = 5 \times 10^{-3}\text{ W} = 5 \times 10^{-3}\text{ J/s}$
• 雷射波長 $\lambda = 633\text{ nm} = 6.33 \times 10^{-7}\text{ m}$
• 普朗克常數 $h \approx 6.626 \times 10^{-34}\text{ J}\cdot\text{s}$
• 真空光速 $c \approx 3.00 \times 10^8\text{ m/s}$

步驟二：計算單一光子的能量 $E$
將數值代入光子能量公式：
$E = \frac{hc}{\lambda} = \frac{(6.626 \times 10^{-34}\text{ J}\cdot\text{s}) \times (3.00 \times 10^8\text{ m/s})}{6.33 \times 10^{-7}\text{ m}}$
$E \approx \frac{1.9878 \times 10^{-25}}{6.33 \times 10^{-7}} \approx 3.14 \times 10^{-19}\text{ J}$

核心觀念

本題考查狹義相對論中之**電子—正電子湮滅（Electron-Positron Annihilation）**現象，核心觀念包含以下三項：

1. 質能相當原理（Mass-Energy Equivalence）：
   靜止質量為 $m$ 的粒子，其靜止能量為 $E_0 = m c^2$。電子的靜止質量與正電子相等，皆為 $m_e \approx 9.109 \times 10^{-31} \text{ kg}$，對應的靜止能量約為：
   $m_e c^2 \approx 0.511 \text{ MeV} = 511 \text{ keV}$
2. 動量守恆定律（Conservation of Linear Momentum）：
   碰撞與反應前後，系統的總動量向量必須保持守恆：
   $\vec{P}_i = \vec{P}_f$
3. 能量守恆定律（Conservation of Total Energy）：
   系統反應前之總能量（含靜止能量與動能）等於反應後之總能量：
   $E_i = E_f$
   對於光子而言，其靜止質量為零，能量與動量之關係式為：
   $E = pc = h\nu$

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解題方法

1. 系統初態分析（Initial State）

電子（$e^-$）與正電子（$e^+$）初始皆處於靜止狀態（initially at rest）：

• 初態總動量：
  $\vec{P}_i = \vec{p}_- + \vec{p}_+ = 0 + 0 = 0$
• 初態總能量：
  $E_i = E_- + E_+ = m_e c^2 + m_e c^2 = 2 m_e c^2$

2. 系統終態分析（Final State）與動量守恆

反應後產生兩個光子 $\gamma_1$ 與 $\gamma_2$，其動量分別為 $\vec{p}_1$ 與 $\vec{p}_2$。
依據動量守恆定律：
$\vec{P}_f = \vec{p}_1 + \vec{p}_2 = \vec{P}_i = 0 \implies \vec{p}_2 = -\vec{p}_1$

此結果表明：

• 兩光子運動方向恰好相反（背對背發射，Back-to-Back Emission）。
• 兩光子之動量大小相等，即 $p_1 = p_2 = p$。

3. 能量守恆與光能量推導

依據能量守恆定律，初態總能量等於終態兩光子之總能量：
$E_i = E_f \implies 2 m_e c^2 = E_1 + E_2$

將光子的能量與動量關係式 $E_1 = p_1 c$ 與 $E_2 = p_2 c$ 代入，並結合 $p_1 = p_2 = p$：
$E_1 = pc \quad \text{且} \quad E_2 = pc \implies E_1 = E_2$

因此：
$2 E_1 = 2 m_e c^2 \implies E_1 = E_2 = m_e c^2$

4. 數值計算

代入電子靜止能量之標準物理數值：

核心觀念

本題考查近代物理中**成對產生（Pair Production）現象與門檻能量（Threshold Energy）**的推導計算。

1. 成對產生與質量能轉換：
   當高能光子（$\gamma$）在重原子核附近傳播時，可轉化為一個電子（$e^-$）與一個正電子（$e^+$）。欲產生該對粒子，光子的能量 $E$ 至少須等於電子與正電子靜止質量能（Rest mass energy）的總和：
   $E_{\text{min}} = 2 m_e c^2$
   其中 $m_e$ 為電子的靜止質量，$c$ 為真空光速，單一電子的靜止能量 $m_e c^2 \approx 0.511 \text{ MeV}$。

2. 光子能量與波長關係：
   光子能量與波長 $\lambda$ 滿足普朗克-愛因斯坦關係式（Planck-Einstein relation）：
   $E = h\nu = \frac{hc}{\lambda}$
   能產生電子-正電子對的最少能量光子（Least energetic photon），即對應可發生此效應的最長門檻波長 $\lambda_{\text{max}}$。

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解題方法

1. 確立門檻能量條件：
   當光子具備最少能量時，產生的電子與正電子在產生後的動能皆趨近於零（$\text{K.E.} = 0$），光子能量全數轉化為兩粒子的靜止質量能：
   $E_{\text{min}} = 2 m_e c^2 = 2 \times 0.511 \text{ MeV} = 1.022 \text{ MeV}$

2. 代入波長公式進行推導與計算：
   將光子能量與波長關係代入：
   $\frac{hc}{\lambda} = 2 m_e c^2 \implies \lambda = \frac{hc}{2 m_e c^2}$

   選用常用物理常數：

   • 普朗克常數與光速乘積：$hc \approx 1240 \text{ eV}\cdot\text{nm} = 1.24 \times 10^{-12} \text{ MeV}\cdot\text{m}$
   • 電子靜止質量能：$m_e c^2 \approx 0.511 \text{ MeV}$

   將數據代入關係式：

核心觀念

1. 海森堡能量—時間測不準原理（Energy-Time Uncertainty Principle）：
   量子力學中，若系統處於某一激發態（excited state）的平均壽命（mean lifetime）為 $\tau$，則該狀態存在的時間不確定度可表為 $\Delta t \approx \tau$。根據海森堡測不準原理：
   $\Delta E \cdot \Delta t \ge \frac{\hbar}{2}$
   其中 $\hbar = \frac{h}{2\pi} \approx 1.0546 \times 10^{-34} \text{ J}\cdot\text{s} \approx 6.582 \times 10^{-16} \text{ eV}\cdot\text{s}$。

2. 態的自然寬度（Natural Width of the State, $\Delta E$ 或 $\Gamma$）：
   由於激發態壽命有限，該能量狀態並非單一精確值，而是具備一定的能量分佈寬度。在光譜學與近代物理教材中，原子的自然寬度通常定義為：
   $\Delta E \approx \frac{\hbar}{\tau} \quad \text{或由最小不確定度出發表示為} \quad \Delta E \approx \frac{\hbar}{2\tau}$

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解題方法

步驟一：列出已知物理量與常數

• 平均壽命：$\tau = 10^{-8} \text{ s}$
• 約化普朗克常數（Dirac 常數）：
  $\hbar \approx 1.0546 \times 10^{-34} \text{ J}\cdot\text{s} \approx 6.582 \times 10^{-16} \text{ eV}\cdot\text{s}$

步驟二：代入公式推導計算

情況一：採用光譜學常用之自然線寬公式 $\Delta E = \frac{\hbar}{\tau}$
根據輻射衰減之量子態波函數分析，激發態能階寬度為 $\Gamma = \hbar \gamma = \frac{\hbar}{\tau}$：

• 以電子伏特（$\text{eV}$）為單位：
  $\Delta E = \frac{6.582 \times 10^{-16} \text{ eV}\cdot\text{s}}{10^{-8} \text{ s}} = 6.582 \times 10^{-8} \text{ eV} \approx 6.58 \times 10^{-8} \text{ eV}$
• 以國際標準單位焦耳（$\text{J}$）為單位：
  $\Delta E = \frac{1.0546 \times 10^{-34} \text{ J}\cdot\text{s}}{10^{-8} \text{ s}} = 1.0546 \times 10^{-26} \text{ J} \approx 1.05 \times 10^{-26} \text{ J}$

情況二：採用測不準原理最小極限公式 $\Delta E = \frac{\hbar}{2\tau}$
若以海森堡不確定度下限 $\Delta E \cdot \Delta t = \frac{\hbar}{2}$，並取 $\Delta t = \tau$：