113 年 國立成功大學電腦與通信工程研究所丁組《線性代數與機率》

核心觀念

每一輪同時擲兩枚硬幣，停止條件是兩枚硬幣結果不同：

• 第一枚為正面、第二枚為反面：$HT$
• 第一枚為反面、第二枚為正面：$TH$

因此，每一輪「停止」的機率為

$$s=P(HT)+P(TH) =p(1-q)+(1-p)q.$$

整理得

$$s=p+q-2pq.$$

每一輪結果彼此獨立，因此停止所需的擲骰輪數服從幾何分布。

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解題方法

令 $N$ 表示直到兩枚硬幣出現一正一反為止所需的同時擲幣次數。

在前 $n-1$ 次都尚未停止，表示每次結果相同，即出現 $HH$ 或 $TT$。每次「繼續」的機率為

$$r=P(HH)+P(TT) =pq+(1-p)(1-q).$$

由於每次不是停止就是繼續，所以

$$r+s=1.$$

因此

$$r=pq+(1-p)(1-q) =1-p-q+2pq.$$

(a) $N$ 的 PMF

事件 $\{N=n\}$ 表示：

1. 前 $n-1$ 次兩枚硬幣結果相同；
2. 第 $n$ 次兩枚硬幣結果不同。

故對 $n=1,2,3,\ldots$，

$$\begin{aligned} P(N=n) &=r^{n-1}s\\ &=\left[pq+(1-p)(1-q)\right]^{n-1} \left[p(1-q)+(1-p)q\right]. \end{aligned}$$

所以 $N$ 服從參數為 $s$ 的幾何分布：

$$\boxed{ P(N=n) = \left[pq+(1-p)(1-q)\right]^{n-1} \left[p(1-q)+(1-p)q\right] }$$

其中 $n=1,2,3,\ldots$。

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(b) $N$ 的期望值

幾何分布在「第一次成功所需次數」的定義下，其期望值為

$$E[N]=\frac{1}{s}.$$

代入停止機率 $s$：

$$\boxed{ E[N] = \frac{1}{p(1-q)+(1-p)q} = \frac{1}{p+q-2pq} }$$

亦可由遞迴直接推導。第一次擲幣後：

• 以機率 $s$ 停止，總次數為 $1$；
• 以機率 $r$ 繼續，之後還需平均 $E[N]$ 次。

因此

$$E[N]=1+rE[N].$$

移項得

$$E[N](1-r)=1.$$

因為 $1-r=s$，所以

$$E[N]=\frac{1}{s}.$$

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(c) 最後一次第一枚硬幣為正面的機率

停止發生時，最後一次結果必須是 $HT$ 或 $TH$。

「最後一次第一枚硬幣為正面」等同於停止時最後一次結果為 $HT$。

核心觀念

飛鏢在半徑為 $4$ 的圓形標靶內均勻落點，表示落在某區域的機率等於該區域面積除以整個標靶面積。

整個標靶面積為

$$A=\pi(4)^2=16\pi.$$

令 $R$ 表示落點到原點的距離，則 $0\le R\le 4$。半徑距離不超過 $r$ 的事件，對應於半徑為 $r$ 的圓盤。

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解題方法

先求累積分布函數 $F_R(r)=P(R\le r)$，再對 $r$ 微分得到 pdf：

$$f_R(r)=F_R'(r).$$

採用面積比的原因是題目明確給出均勻落點的定義，而距離事件 $R\le r$ 正好能以圓盤面積表示。

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(a) 求 $R$ 的 pdf 並作圖

當 $0\le r\le 4$ 時，

$$F_R(r) =P(R\le r) =\frac{\text{半徑 }r\text{ 的圓盤面積}}{\text{標靶面積}} =\frac{\pi r^2}{16\pi} =\frac{r^2}{16}.$$

完整的累積分布函數為

$$F_R(r)= \begin{cases} 0, & r<0,\\[4pt] \dfrac{r^2}{16}, & 0\le r\le 4,\\[6pt] 1, & r\ge 4. \end{cases}$$

對 $r$ 微分，得到 $R$ 的機率密度函數：

$$f_R(r)= \begin{cases} \dfrac{r}{8}, & 0<r<4,\\[6pt] 0, & \text{其他情況}. \end{cases}$$

端點 $r=0,4$ 的函數值不影響機率，寫成 $0\le r\le 4$ 亦可。

pdf 圖形為一條通過 $(0,0)$ 與 $(4,\frac12)$ 的直線，區間外為 $0$：

本題考驗線性代數中的線性獨立性、向量空間、線性轉換等基本概念。

核心觀念：

1. 線性獨立性：一組向量線性獨立，是指它們的任何線性組合等於零向量時，所有係數都必須為零。
2. 矩陣的秩 (Rank)：矩陣的行秩等於列秩，這個值等於該矩陣的列向量（或行向量）的最大線性獨立子集的維度。
3. 向量空間的性質：線性組合的封閉性。
4. 線性轉換的性質：線性轉換的組合（加法、數乘、複合）仍是線性轉換。

解題步驟：

(a) If the column vectors of a matrix A are linearly independent, then the row vectors of A are also linearly independent.

令 $A$ 為一個 $m \times n$ 的矩陣。
如果 $A$ 的列向量是線性獨立的，這意味著矩陣 $A$ 的秩 (rank) 等於 $n$ (列的數量)。
矩陣的行秩等於列秩，所以 $rank(A) = n$.
如果 $rank(A) = n$, 則 $A$ 的 $n$ 個行向量是線性獨立的。
若要使 $A$ 的行向量也線性獨立，則 $rank(A)$ 必須等於 $m$ (行的數量)。
因此，除非 $m=n$ (即 $A$ 是方陣)，否則列向量線性獨立不保證行向量線性獨立。
例如，考慮矩陣 $A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$.
列向量 $\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$ 和 $\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}$ 是線性獨立的 ($n=2$)。
行向量 $\begin{pmatrix} 1 & 0 \end{pmatrix}$, $\begin{pmatrix} 0 & 1 \end{pmatrix}$, $\begin{pmatrix} 0 & 0 \end{pmatrix}$。這三個行向量是線性相關的，因為其中一個是零向量，或者 $\begin{pmatrix} 0 & 0 \end{pmatrix} = 0 \cdot \begin{pmatrix} 1 & 0 \end{pmatrix} + 0 \cdot \begin{pmatrix} 0 & 1 \end{pmatrix}$。
因此，這個敘述是錯誤的。

【答案】F

(b) Let S be a linearly independent set in a vector space V. If u is a vector in V and u $\notin$ S, then SUu is also a linearly independent set.

這句話的敘述有問題。「SUu」通常表示集合的聯集。如果 $u \in S$, 則 $S \cup \{u\} = S$. 如果 $S$ 本身線性獨立，那麼 $S \cup \{u\} = S$ 也線性獨立。
但題目明確說 $u \notin S$.
如果 $S = \{v_1, v_2, \dots, v_k\}$ 是一個線性獨立的集合，並且 $u \notin S$.
要判斷 $S \cup \{u\} = \{v_1, v_2, \dots, v_k, u\}$ 是否線性獨立，我們需要看是否存在 $u$ 的線性組合等於 $S$ 中的某個向量，或者 $u$ 本身可以被 $S$ 中的向量線性表示。
如果 $u$ 可以被 $S$ 中的向量線性表示，即 $u = c_1 v_1 + \dots + c_k v_k$ 對於某些係數 $c_i$。
那麼我們可以寫成 $c_1 v_1 + \dots + c_k v_k - u = \mathbf{0}$.
這是一個非零係數的線性組合等於零向量 (因為 $u$ 不是零向量，且係數 $-1$ 不為零)。
因此，如果 $u$ 是 $S$ 的一個線性組合，則 $S \cup \{u\}$ 是線性相關的。

例如，在 $V = \mathbb{R}^2$ 中，設 $S = \{\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}\}$. $S$ 是線性獨立的。
令 $u = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \end{pmatrix}$. 顯然 $u \notin S$.
$S \cup \{u\} = \{\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \end{pmatrix}\}$.
我們可以找到非零係數的線性組合等於零向量：
$2 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} - 1 \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$.
所以 $S \cup \{u\}$ 是線性相關的。

這個敘述只有在 $u$ 不能被 $S$ 中的向量線性表示時才成立。但題目沒有這個假設。
因此，這個敘述是錯誤的。

【答案】F

(c) Let T and S be two linear transformations (operations) on a vector space V, then T² + 2S is also a linear transformation on V.

核心觀念

本題考查三個觀念：

1. 線性轉換的標準矩陣：矩陣的各欄分別是標準基底向量的像。
2. 反矩陣：若標準矩陣可逆，則可利用聯立方程式求出 $T^{-1}$。
3. 線性轉換的秩：等於其標準矩陣的秩；若矩陣可逆，則秩等於矩陣大小，即為 $3$。

令標準基底為

$$e_1=\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix},\qquad e_2=\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix},\qquad e_3=\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}.$$

解題方法一：求標準矩陣

對三個標準基底分別作用 $T$：

$$T(e_1) = T\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix},$$ $$T(e_2) = T\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix},$$ $$T(e_3) = T\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}.$$

因此，$T$ 的標準矩陣 $A$ 為

$$A= \begin{pmatrix} 1&1&0\\ 0&1&1\\ 1&0&1 \end{pmatrix}.$$

也就是

$$T\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix} = A\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}.$$

解題方法二：求反轉換

設

$$\begin{pmatrix}u\\v\\w\end{pmatrix} = T\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}.$$

根據題目定義：

$$u=a+b,\qquad v=b+c,\qquad w=c+a.$$

將三式聯立：

由 $u+w-v$ 得

$$u+w-v=(a+b)+(c+a)-(b+c)=2a,$$

所以

$$a=\frac{u-v+w}{2}.$$

同理，

$$u+v-w=(a+b)+(b+c)-(c+a)=2b,$$

因此

$$b=\frac{u+v-w}{2}.$$

再由 $v+w-u$ 得

$$v+w-u=(b+c)+(c+a)-(a+b)=2c,$$

因此

$$c=\frac{-u+v+w}{2}.$$

故