109 年 國立成功大學電腦與通信工程研究所丁組《線性代數與機率》

此題考驗隨機變數的轉換。給定隨機變數 $X$ 的機率密度函數 (pdf)，我們需要找出由 $X$ 轉換而來的新隨機變數 $Y$ 的 pdf。

核心觀念：
隨機變數轉換的方法，通常是先找出累積分布函數 (CDF)，再對其微分得到 pdf。或者，直接使用變數轉換公式。

解題步驟：

1. 確認 $X$ 的範圍與 pdf：
   給定 $f_X(x) = e^{-x}$，且 $x > 0$。這是一個指數分布，但參數 $\lambda=1$。
   當 $x > 0$ 時，$f_X(x) = e^{-x}$。
   當 $x \le 0$ 時，$f_X(x) = 0$。

2. 確定 $Y$ 的範圍：
   $Y = 1/X^5$。由於 $X > 0$，所以 $X^5 > 0$，因此 $Y = 1/X^5 > 0$。

3. 求 $Y$ 的累積分布函數 (CDF)：
   $F_Y(y) = P(Y \le y)$。
   由於 $Y > 0$，我們只考慮 $y > 0$ 的情況。
   $F_Y(y) = P(1/X^5 \le y)$
   因為 $y > 0$ 且 $X^5 > 0$，我們可以將不等式變形：
   $1 \le y X^5$
   $1/y \le X^5$
   由於 $X > 0$，我們可以對兩邊開五次方根：
   $(1/y)^{1/5} \le X$
   即 $X \ge y^{-1/5}$。
   所以，$F_Y(y) = P(X \ge y^{-1/5})$。

   我們知道 $P(X \ge a) = \int_a^\infty f_X(x) dx$。
   因此，對於 $y > 0$，
   $F_Y(y) = \int_{y^{-1/5}}^\infty e^{-x} dx$
   $F_Y(y) = [-e^{-x}]_{y^{-1/5}}^\infty$
   $F_Y(y) = 0 - (-e^{-y^{-1/5}})$
   $F_Y(y) = e^{-y^{-1/5}}$。

   注意：這個 CDF 是對於 $y > 0$ 的情況。當 $y \le 0$ 時，$F_Y(y) = P(Y \le y) = 0$。

4. 求 $Y$ 的機率密度函數 (pdf)：
   $f_Y(y) = \frac{d}{dy} F_Y(y)$。
   對於 $y > 0$，
   $f_Y(y) = \frac{d}{dy} (e^{-y^{-1/5}})$
   使用鏈式法則：
   $f_Y(y) = e^{-y^{-1/5}} \cdot \frac{d}{dy} (-y^{-1/5})$

此題考驗聯合機率密度函數 (joint pdf) 的應用，特別是計算邊緣機率密度函數 (marginal pdf)、期望值、變異數，進而求得相關係數。

核心觀念：

1. 邊緣機率密度函數 (Marginal PDF)：
   $f_X(x) = \int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} f(x,y,z) dy dz$
   $f_Y(y) = \int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} f(x,y,z) dx dz$
   $f_Z(z) = \int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} f(x,y,z) dx dy$

2. 期望值 (Expectation)：
   $E[X] = \int_{-\infty}^{\infty} x f_X(x) dx$
   $E[XY] = \int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} xy f(x,y) dy dx$ (對於二維)
   $E[XYZ] = \int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} xyz f(x,y,z) dx dy dz$ (對於三維)

3. 變異數 (Variance)：
   $Var(X) = E[X^2] - (E[X])^2$

4. 共變異數 (Covariance)：
   $Cov(X,Y) = E[XY] - E[X]E[Y]$

5. 相關係數 (Correlation Coefficient)：
   $\rho(X,Y) = \frac{Cov(X,Y)}{\sqrt{Var(X)Var(Y)}}$

解題步驟：

首先，我們需要驗證給定的聯合 pdf 是否為一個有效的 pdf。
$\int_0^1 \int_0^1 \int_0^1 8xyz \, dx \, dy \, dz$
$= 8 \left( \int_0^1 x \, dx \right) \left( \int_0^1 y \, dy \right) \left( \int_0^1 z \, dz \right)$
$= 8 \left( [\frac{x^2}{2}]_0^1 \right) \left( [\frac{y^2}{2}]_0^1 \right) \left( [\frac{z^2}{2}]_0^1 \right)$
$= 8 \left( \frac{1}{2} \right) \left( \frac{1}{2} \right) \left( \frac{1}{2} \right) = 8 \cdot \frac{1}{8} = 1$。
所以，給定的 pdf 是有效的。

1. 計算邊緣機率密度函數 (Marginal PDFs):

$f_X(x) = \int_0^1 \int_0^1 8xyz \, dy \, dz$
$= 8x \left( \int_0^1 y \, dy \right) \left( \int_0^1 z \, dz \right)$
$= 8x \left( \frac{1}{2} \right) \left( \frac{1}{2} \right) = 2x$, for $0 < x < 1$.

$f_Y(y) = \int_0^1 \int_0^1 8xyz \, dx \, dz$
$= 8y \left( \int_0^1 x \, dx \right) \left( \int_0^1 z \, dz \right)$
$= 8y \left( \frac{1}{2} \right) \left( \frac{1}{2} \right) = 2y$, for $0 < y < 1$.

$f_Z(z) = \int_0^1 \int_0^1 8xyz \, dx \, dy$
$= 8z \left( \int_0^1 x \, dx \right) \left( \int_0^1 y \, dy \right)$
$= 8z \left( \frac{1}{2} \right) \left( \frac{1}{2} \right) = 2z$, for $0 < z < 1$.

2. 計算期望值 (Expectations):

$E[X] = \int_0^1 x f_X(x) dx = \int_0^1 x (2x) dx = \int_0^1 2x^2 dx = 2 \left[ \frac{x^3}{3} \right]_0^1 = \frac{2}{3}$.
同理，由於變數的對稱性，
$E[Y] = \frac{2}{3}$
$E[Z] = \frac{2}{3}$

$E[XY] = \int_0^1 \int_0^1 xy f(x,y) dy dx$
這裡的 $f(x,y)$ 是 $X$ 和 $Y$ 的聯合邊緣 pdf。
$f(x,y) = \int_0^1 8xyz \, dz = 8xy \int_0^1 z \, dz = 8xy \left( \frac{1}{2} \right) = 4xy$, for $0 < x < 1, 0 < y < 1$.
$E[XY] = \int_0^1 \int_0^1 xy (4xy) dy dx = \int_0^1 \int_0^1 4x^2y^2 dy dx$

核心觀念

本題考查：

• 聯合機率密度函數的變數變換。
• 二維變數變換的 Jacobian。
• 以聯合密度函數分解判斷獨立性。

若連續型隨機變數 $U,V$ 的聯合密度可寫成

$$f_{U,V}(u,v)=f_U(u)f_V(v),$$

則 $U$ 與 $V$ 相互獨立。

已知 $X,Y$ 相互獨立，且皆服從參數為 $\lambda$ 的指數分布，因此

$$f_X(x)=\lambda e^{-\lambda x},\qquad x>0,$$ $$f_Y(y)=\lambda e^{-\lambda y},\qquad y>0.$$

由獨立性，

$$f_{X,Y}(x,y)=\lambda^2e^{-\lambda(x+y)},\qquad x>0,\ y>0.$$

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解題方法：進行變數變換

令

$$U=X+Y,\qquad V=\frac{X}{Y}.$$

題目要判斷 $U$ 與 $V$ 是否獨立，因此求出 $(U,V)$ 的聯合密度函數最直接。

1. 求反變換

由

$$u=x+y,\qquad v=\frac{x}{y},$$

可得 $x=vy$。代入 $u=x+y$：

$$u=vy+y=(v+1)y,$$

因此

$$y=\frac{u}{1+v},$$

以及

$$x=vy=\frac{uv}{1+v}.$$

所以反變換為

$$x=\frac{uv}{1+v},\qquad y=\frac{u}{1+v}.$$

因為 $X,Y$ 皆嚴格為正，故變數範圍為

$$u>0,\qquad v>0.$$

2. 計算 Jacobian

計算偏微分：

$$\frac{\partial x}{\partial u}=\frac{v}{1+v}, \qquad \frac{\partial x}{\partial v}=\frac{u}{(1+v)^2},$$ $$\frac{\partial y}{\partial u}=\frac{1}{1+v}, \qquad \frac{\partial y}{\partial v}=-\frac{u}{(1+v)^2}.$$

因此

$$\left|\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}\right| = \left| \begin{vmatrix} \dfrac{v}{1+v} & \dfrac{u}{(1+v)^2}\\[6pt] \dfrac{1}{1+v} & -\dfrac{u}{(1+v)^2} \end{vmatrix} \right|.$$

行列式為

$$-\frac{uv}{(1+v)^3} -\frac{u}{(1+v)^3} = -\frac{u(v+1)}{(1+v)^3} = -\frac{u}{(1+v)^2}.$$

故

此題是要求證明切比雪夫不等式 (Chebyshev's Inequality)。

核心觀念：
切比雪夫不等式提供了一個上界，用於估計隨機變數偏離其期望值的機率，僅需知道其期望值和變異數。

解題步驟：

我們需要證明 $P(|X – \mu| \ge t) \le \frac{\sigma^2}{t^2}$，對於任意 $t > 0$。
已知 $E[X] = \mu$ 和 $Var(X) = E[(X-\mu)^2] = \sigma^2$。

考慮隨機變數 $Y = |X-\mu|$。我們想找到 $P(Y \ge t)$ 的上界。
直接計算 $P(Y \ge t)$ 可能很困難，因為我們不知道 $X$ 的具體分布。
我們可以使用馬可夫不等式 (Markov's Inequality)。

馬可夫不等式：
對於一個非負隨機變數 $Z$ 和任意常數 $a > 0$，有 $P(Z \ge a) \le \frac{E[Z]}{a}$。

現在，我們將馬可夫不等式應用於一個適當選擇的隨機變數。
觀察我們想要證明的式子 $P(|X – \mu| \ge t)$。
令 $Z = (X-\mu)^2$。
由於 $(X-\mu)^2 \ge 0$， $Z$ 是一個非負隨機變數。
它的期望值是 $E[Z] = E[(X-\mu)^2] = Var(X) = \sigma^2$。

根據馬可夫不等式，對於任意 $a > 0$：
$P(Z \ge a) \le \frac{E[Z]}{a}$
$P((X-\mu)^2 \ge a) \le \frac{\sigma^2}{a}$。

此題為單選或複選題，考驗對線性代數基本概念的理解，包括矩陣的可逆性、秩、特徵值與特徵向量等。

核心觀念：

1. 矩陣可逆性： 矩陣 $A$ 可逆的充要條件包括：$\det(A) \ne 0$；$Ax=0$ 僅有零解；$A$ 的行向量（或列向量）線性獨立；$A$ 的秩等於其維度；$A$ 的零空間（null space）僅包含零向量；$A$ 的值空間（range space）是整個空間；$A$ 的所有特徵值均不為零。
2. 零矩陣： $O$ 代表所有元素皆為零的矩陣。
3. 矩陣的秩 (Rank)： 矩陣的秩定義為其行空間（或列空間）的維度，也等於其非零列（或行）的最大線性獨立組的個數。
4. 特徵值與特徵向量： 對於方陣 $A$，若存在非零向量 $v$ 和純量 $\lambda$，使得 $Av = \lambda v$，則 $\lambda$ 稱為 $A$ 的特徵值， $v$ 稱為對應於 $\lambda$ 的特徵向量。特徵值是方程 $\det(A - \lambda I) = 0$ 的根。
5. 實數矩陣與複數： 實數矩陣的特徵值可能是複數，而複數特徵值總是成對出現（共軛複數）。對應於複數特徵值的特徵向量也可能是複數向量。

逐一分析選項：

(a) If $M$ is an invertible matrix, then $M+I$ is also an invertible matrix. ($I$ denotes the identity matrix of the size as $M$).
分析：
這個敘述不一定正確。
考慮一個反例。設 $M = -1 \cdot I$。如果 $M$ 是 $n \times n$ 矩陣，那麼 $M = \begin{pmatrix} -1 & 0 & \dots & 0 \\ 0 & -1 & \dots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \dots & -1 \end{pmatrix}$。
由於 $M$ 的對角線元素都是 $-1$，其行列式 $\det(M) = (-1)^n$。
如果 $n$ 是偶數， $\det(M) = 1 \ne 0$， $M$ 可逆。
如果 $n$ 是奇數， $\det(M) = -1 \ne 0$， $M$ 可逆。
所以，對於任何 $n \ge 1$， $M=-I$ 是一個可逆矩陣。

現在計算 $M+I$：
$M+I = (-I) + I = O$ (零矩陣)。
零矩陣是不可逆的（其行列式為 0，秩為 0）。
因此，存在可逆矩陣 $M$ 使得 $M+I$ 不可逆。
結論： 選項 (a) 是錯誤的。

(b) For an $n \times n$ matrix $A$, if $A^2 = 0$, where $O$ denotes the zero matrix, then we have $A = 0$.
分析：
這個敘述不一定正確。
矩陣 $A^2=0$ 表示 $A$ 是一個冪零矩陣 (nilpotent matrix)，其指標 (index of nilpotency) 為 2。
考慮一個反例。設 $A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$。

核心觀念

本題考查兩個觀念：

• 可逆矩陣判定：若方陣的零空間只有零向量，則矩陣可逆。
• 線性轉換定義：轉換 $T$ 必須對所有矩陣 $X,Y$ 與純量 $c$ 滿足
  $T(X+Y)=T(X)+T(Y),\qquad T(cX)=cT(X).$

解題方法

(a) 證明 $I+A^2$ 可逆

利用 $A$ 為實對稱矩陣，即 $A^T=A$。對任意非零向量 $x\in\mathbb{R}^n$，有

$$x^T(I+A^2)x =x^Tx+x^TA^2x =x^Tx+(Ax)^T(Ax) =\|x\|^2+\|Ax\|^2.$$

因為 $x\ne 0$，所以 $\|x\|^2>0$，且 $\|Ax\|^2\ge 0$。因此

$$x^T(I+A^2)x>0.$$

若 $I+A^2$ 不可逆，便存在非零向量 $x$ 使得 $(I+A^2)x=0$，於是 $x^T(I+A^2)x=0$，與上式矛盾。因此 $I+A^2$ 可逆。