本題主要考查熱力學中能量與熵的傳遞形式。

Part a. 能量傳遞的三種基本形式是：
(1) 熱傳 (Heat transfer)：透過溫差引起的能量傳遞。
(2) 功 (Work)：透過宏觀力與位移引起的能量傳遞。
(3) 物質傳遞 (Mass transfer)：能量隨物質移動而傳遞。

Part b. 熵的傳遞與產生：
(4) 熱傳 (Heat transfer)：熵隨著熱量一起傳遞。
(5) 功 (Work)：純粹的功（無熱量交換）不傳遞熵。然而，在實際的過程中，功的傳遞常常伴隨著熱量的傳遞或摩擦，進而影響熵的變化。如果我們考慮的是「熵流」，那麼透過功傳遞的熵流為零，除非功的傳遞涉及熱力學過程中的機械功或流功。

核心觀念

本題考查封閉系統之第一定律、理想氣體狀態方程式，以及多方過程：

$$PV^n=\text{常數}$$

對活塞汽缸內的氦氣，以系統對外作功為正，第一定律為

$$Q-W=\Delta U$$

因此

$$Q=\Delta U+W$$

其中：

• $Q>0$：吸熱
• $Q<0$：放熱
• $W>0$：氣體膨脹對外作功
• $W<0$：外界壓縮氣體

氦氣視為理想氣體，且 $C_v$ 為常數。

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解題方法

已知

$$P_1=150\ \text{kPa},\qquad T_1=20^\circ\text{C}=293.15\ \text{K}$$ $$V_1=0.5\ \text{m}^3$$ $$P_2=400\ \text{kPa},\qquad T_2=140^\circ\text{C}=413.15\ \text{K}$$ $$C_v=3.12\ \text{kJ/(kg·K)},\qquad R=2.08\ \text{kJ/(kg·K)}$$

1. 求氦氣質量

由理想氣體方程式：

$$P_1V_1=mRT_1$$

因此

$$m=\frac{P_1V_1}{RT_1}$$

代入數值：

$$m=\frac{(150)(0.5)}{(2.08)(293.15)} =0.123\ \text{kg}$$

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2. 求終態體積

由理想氣體方程式：

$$\frac{P_1V_1}{T_1} = \frac{P_2V_2}{T_2}$$

整理得

$$V_2=\frac{P_1V_1T_2}{P_2T_1}$$

代入：

$$V_2 = \frac{(150)(0.5)(413.15)} {(400)(293.15)} = 0.264\ \text{m}^3$$

體積由 $0.5\ \text{m}^3$ 降至 $0.264\ \text{m}^3$，符合壓縮過程。

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3. 求多方指數 $n$

多方過程滿足

$$P_1V_1^n=P_2V_2^n$$

因此

$$n=\frac{\ln(P_2/P_1)}{\ln(V_1/V_2)}$$

代入：

核心觀念

本題使用兩個穩態控制體積能量平衡：

1. 蒸汽產生器：絕熱、無軸功，燃燒產物放出的熱量等於水吸收的焓。
2. 透平：絕熱、忽略動能與位能，透平輸出功等於入口與出口焓差。

濕蒸汽的焓為

$$h=h_f+xh_{fg}$$

其中 $x$ 為乾度。

解題方法與計算

令水流：

• 狀態 1：進入蒸汽產生器
• 狀態 2：離開蒸汽產生器、進入透平
• 狀態 3：離開透平

1. 蒸汽產生器能量平衡

燃燒產物的放熱率為

$$\dot Q_{\text{air}} =\dot m_a c_p(T_{a,in}-T_{a,out})$$

代入資料：

$$\dot Q_{\text{air}} =70(1.00)(478-400) =5460\ \text{kW}$$

因此水的焓增加率為

$$\dot m_w(h_2-h_1)=5460$$

所以

$$h_2-h_1=\frac{5460}{2}=2730\ \text{kJ/kg}$$

2. 水的入口焓 $h_1$

水在 $310\ \text{K}=36.85^\circ\text{C}$、$0.3\ \text{MPa}$，屬於壓縮液體。以同溫度的飽和液體近似，並考慮壓力修正：

$$h_1\simeq154.6\ \text{kJ/kg}$$

因此透平入口焓為

$$h_2=154.6+2730 =2884.6\ \text{kJ/kg}$$

在 $P_2=100\ \text{kPa}=0.10\ \text{MPa}$ 下，利用附表於壓力方向內插：

$$h_{200^\circ\mathrm C} \simeq2875.3\ \text{kJ/kg}$$ $$h_{250^\circ\mathrm C} \simeq2974.5\ \text{kJ/kg}$$

再對溫度內插：

核心觀念

本題要求由 $Tds$ 關係式，推導理想氣體在定比熱、等熵過程下的第一個等熵關係式。所用公式為：

$$Tds=du+p\,dv$$

其中：

• $u$：單位質量內能
• $v$：比體積
• $p$：壓力
• $T$：絕對溫度
• $s$：比熵

理想氣體且定容比熱 $c_v$ 為常數時：

$$du=c_v\,dT$$

理想氣體狀態方程為：

$$pv=RT$$

其中 $R$ 為氣體常數，且

$$k=\frac{c_p}{c_v}, \qquad R=c_p-c_v$$

因此：

$$\frac{R}{c_v}=k-1$$

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解題方法與推導

由 $Tds$ 關係式出發：

$$Tds=du+p\,dv$$

代入 $du=c_v\,dT$，得到：

$$Tds=c_v\,dT+p\,dv$$

再利用理想氣體關係式 $p=RT/v$：

$$Tds=c_v\,dT+\frac{RT}{v}\,dv$$

兩邊除以 $T$：

$$ds=c_v\frac{dT}{T}+R\frac{dv}{v}$$

等熵過程的定義為：

$$ds=0$$

所以：

$$c_v\frac{dT}{T}+R\frac{dv}{v}=0$$

因定比熱假設下 $c_v$ 與 $R$ 均為常數，積分得：

$$c_v\ln T+R\ln v=\text{常數}$$

除以 $c_v$：

$$\ln T+\frac{R}{c_v}\ln v=\text{常數}$$

利用 $\frac{R}{c_v}=k-1$：

$$\ln T+(k-1)\ln v=\text{常數}$$

合併對數：

本題考查冰箱的效能係數 (COP) 和熱力學第二定律，要求計算系統的總熵變並判斷是否符合第二定律。

核心觀念：

1. 冰箱的效能係數 (Coefficient of Performance, COP_R)：
   $COP_R = \frac{\text{Desired output}}{\text{Required input}} = \frac{\text{Heat absorbed from cold region}}{\text{Work input}} = \frac{Q_L}{W}$
2. 能量守恆定律 (第一類定態)：
   對於冰箱這種循環過程，在穩態下，來自冷區的熱量加上輸入的功等於排到熱區的熱量：
   $Q_L + W = Q_H$
3. 熱力學第二定律：
   對於一個孤立系統 (或考慮系統與環境的總體)，熵的總變化 ($\Delta S_{total}$) 必須大於或等於零。
   $\Delta S_{total} = \Delta S_{system} + \Delta S_{surroundings} \ge 0$
   對於一個循環過程，系統本身的總熵變化為零 ($\Delta S_{system} = 0$)。因此，第二定律的判斷取決於環境的熵變化：
   $\Delta S_{total} = \frac{Q_L}{T_L} + \frac{Q_H}{T_H}$ (對於可逆循環，等號成立；對於不可逆循環，>號成立)
   或者，更直接地，總熵變化等於系統與環境熵變之和。在此，冰箱是系統，周圍環境是熱源和冷源。
   我們需要計算冷源、熱源和冰箱本身的總熵變化。
   冷源失去的熱量 $Q_L$ 會使冷源熵減少；熱源獲得的熱量 $Q_H$ 會使熱源熵增加。
   冰箱本身在循環過程中，其內部物質的熵變化為零。
   總熵變化 $\Delta S_{total} = \Delta S_{cold\_reservoir} + \Delta S_{hot\_reservoir} + \Delta S_{refrigerator\_internal}$。
   由於冰箱是循環過程，$\Delta S_{refrigerator\_internal} = 0$。
   $\Delta S_{cold\_reservoir} = - \frac{Q_L}{T_L}$ (失去熱量)
   $\Delta S_{hot\_reservoir} = + \frac{Q_H}{T_H}$ (獲得熱量)
   所以，總熵變化 $\Delta S_{total} = \frac{Q_H}{T_H} - \frac{Q_L}{T_L}$。

已知條件：

• $COP_R = 6$
• 冷區溫度 $T_L = -20^\circ\text{C} = -20 + 273.15 = 253.15 \text{ K}$
• 熱區溫度 $T_H = 30^\circ\text{C} = 30 + 273.15 = 303.15 \text{ K}$

解題步驟：

1. 計算消耗的功 (W)：
   雖然題目沒有給出 $Q_L$ 或 $W$ 的具體數值，但 $COP_R$ 的定義是相對的。我們可以假設一個基準值，例如假設 $Q_L = 6 \text{ kJ}$ (或者 $W = 1 \text{ kJ}$)。
   若假設 $W = 1 \text{ kJ}$，則 $COP_R = \frac{Q_L}{W} \implies 6 = \frac{Q_L}{1 \text{ kJ}} \implies Q_L = 6 \text{ kJ}$。
   若假設 $Q_L = 6 \text{ kJ}$，則 $COP_R = \frac{Q_L}{W} \implies 6 = \frac{6 \text{ kJ}}{W} \implies W = 1 \text{ kJ}$。
   我們採用 $W = 1 \text{ kJ}$ 和 $Q_L = 6 \text{ kJ}$。

核心觀念

本題考查：

1. 完全燃燒反應式
2. 空氣中氧氣與氮氣的莫耳比例
3. 空燃質量比（air-fuel mass ratio）

甲烷完全燃燒的基本反應為

$$\mathrm{CH_4+2O_2\rightarrow CO_2+2H_2O}$$

乾空氣通常視為

$$\text{Air}=\mathrm{O_2+3.76N_2}$$

因此，每供應 $1$ kmol 的 $\mathrm{O_2}$，同時帶入 $3.76$ kmol 的 $\mathrm{N_2}$。

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解題方法

設燃燒時供應的氧氣為 $n_{O_2,\mathrm{in}}$ kmol。

完整燃燒 $1$ kmol $\mathrm{CH_4}$ 需要 $2$ kmol $\mathrm{O_2}$。題目指出產物中仍有 $1$ kmol 的自由氧氣，因此供應氧氣總量為

$$n_{O_2,\mathrm{in}}=2+1=3\ \text{kmol}$$

燃燒反應式可寫成

$$\mathrm{CH_4+3(O_2+3.76N_2)} \rightarrow \mathrm{CO_2+2H_2O+O_2+11.28N_2}$$

其中空氣的總莫耳數為

$$n_{\mathrm{air}}=3(1+3.76)=14.28\ \text{kmol}$$

取空氣平均分子量

$$M_{\mathrm{air}}\approx 28.97\ \frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{kmol}}$$

則空氣質量為

$$m_{\mathrm{air}} =14.28(28.97) \approx 413.8\ \text{kg}$$

甲烷質量為

$$m_{\mathrm{CH_4}} =1(16.04) \approx 16.04\ \text{kg}$$

所以空燃質量比為

核心觀念

本題考查理想氣體混合物的莫耳分率與道耳頓分壓定律。

對理想氣體混合物：

$$p_i=y_iP$$

其中：

• $p_i$：成分 $i$ 的分壓
• $y_i$：成分 $i$ 的莫耳分率
• $P$：混合物的總壓力

莫耳分率定義為：

$$y_i=\frac{n_i}{n_{\text{total}}}$$

題目已直接給出混合後總壓力為 $250\ \text{kPa}$，因此只需利用混合物組成求出氮氣的莫耳分率。

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解題方法

氮氣與二氧化碳的莫耳數分別為：

$$n_{\mathrm{N_2}}=3\ \text{kmol}$$ $$n_{\mathrm{CO_2}}=7\ \text{kmol}$$

混合物總莫耳數為：

$$n_{\text{total}}=3+7=10\ \text{kmol}$$

因此氮氣的莫耳分率為：

$$y_{\mathrm{N_2}} =\frac{n_{\mathrm{N_2}}}{n_{\text{total}}} =\frac{3}{10} =0.3$$

混合後總壓力為：

$$P=250\ \text{kPa}$$

由道耳頓分壓定律：

$$p_{\mathrm{N_2}} =y_{\mathrm{N_2}}P =(0.3)(250) =75\ \text{kPa}$$

題目所給的初始壓力 $400\ \text{kPa}$ 與 $200\ \text{kPa}$，不影響混合完成後依莫耳分率計算氮氣分壓的結果；它們主要用來描述混合前的狀態。

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選項分析

本題考查穩態流動系統的不可逆性分析，要求描述如何計算過程的不可逆性速率，並結合熵產生和熱力學第二定律。

核心觀念：

1. 不可逆性速率 (Rate of Irreversibility, $\dot{I}$) 或稱耗散率 (Dissipation Rate)：
   在穩態流動系統中，不可逆性速率與熵產生率 ($\dot{S}_{gen}$) 和環境溫度 ($T_0$ 或 $T_s$) 相關。
   $\dot{I} = T_0 \dot{S}_{gen}$
   其中 $T_0$ 是環境的絕對溫度。
2. 熵產生率 ($\dot{S}_{gen}$) 的計算：
   對於一個穩態流動系統（控制體積），其總熵產生率可以通過對系統的熵平衡來計算：
   $\dot{S}_{gen} = \sum \dot{m}_e s_e - \sum \dot{m}_i s_i - \sum \frac{\dot{Q}_k}{T_k}$
   其中，$\dot{m}$ 是質量流量，$s$ 是比熵，$\dot{Q}$ 是流入系統的熱量，$T$ 是熱量流入的溫度。
   在圖中，系統是從入口 1 和入口 2 流入，然後從出口 3 流出的混合過程。
   $\dot{S}_{gen} = \dot{m}_3 s_3 - (\dot{m}_1 s_1 + \dot{m}_2 s_2) - \frac{\dot{Q}_{in}}{T_{in}}$ (這裡假設沒有外部熱量加入，$\dot{Q}_{in}=0$)
   因此，$\dot{S}_{gen} = \dot{m}_3 s_3 - \dot{m}_1 s_1 - \dot{m}_2 s_2$。
3. 質量守恆：
   $\dot{m}_3 = \dot{m}_1 + \dot{m}_2$。
4. 能量守恆 (第一類定態)：
   $\dot{m}_1 h_1 + \dot{m}_2 h_2 = \dot{m}_3 h_3$ (假設系統絕熱，$\dot{Q}=0$)。
5. 蒸汽和水的性質查找：
   需要查找水/蒸汽的焓 (h) 和比熵 (s)，這通常需要查閱蒸汽表。

已知條件 (根據圖示和文字描述)：

• 入口 1： 蒸汽，質量流量 $\dot{m}_1$，壓力 $P_1$，溫度 $T_1$。
• 入口 2： 液態水，質量流量 $\dot{m}_2$，壓力 $P_2$，溫度 $T_2$。
• 出口 3： 混合物（水/蒸汽），質量流量 $\dot{m}_3$，壓力 $P_3$，溫度 $T_3$。
• 環境溫度： $T_s$ (用於計算不可逆性)。

未知但需要求解或查找的屬性：

• 入口 1 的比焓 $h_1$ 和比熵 $s_1$。
• 入口 2 的比焓 $h_2$ 和比熵 $s_2$。
• 出口 3 的比焓 $h_3$ 和比熵 $s_3$。
• 質量流量 $\dot{m}_1, \dot{m}_2, \dot{m}_3$。

解題步驟描述：

1. 確定所有已知和未知屬性：

   • 已知：$P_1, T_1, P_2, T_2, P_3, T_3, T_s$。
   • 已知 (定義)：$\dot{m}_1, \dot{m}_2$ (或其中一個，另一個可由能量或質量守恆確定，但題目似乎是給定 $\dot{m}_1$ 作為一個參數，$\dot{m}_2$ 可能是另一個參數，或需要通過其他方式確定)。
   • 未知：$h_1, s_1, h_2, s_2, h_3, s_3$。
   • 需要計算：$\dot{m}_3$, $\dot{S}_{gen}$, $\dot{I}$。

2. 確定質量流量：
   根據質量守恆，出口總質量流量為入口總質量流量之和：
   $\dot{m}_3 = \dot{m}_1 + \dot{m}_2$。
   如果 $\dot{m}_1$ 和 $\dot{m}_2$ 都已知，則 $\dot{m}_3$ 可直接計算。如果其中一個未知，則需要更多信息。

3. 查找入口狀態的熱力學性質：

   • 入口 1 (蒸汽)： 根據給定的 $P_1$ 和 $T_1$ (或任何兩個獨立的熱力學屬性)，查閱蒸汽表得到比焓 $h_1$ 和比熵 $s_1$。
   • 入口 2 (液態水)： 根據給定的 $P_2$ 和 $T_2$，查閱蒸汽表得到比焓 $h_2$ 和比熵 $s_2$。由於是液態水，通常在飽和水表中查找，或視為過冷水。

4. 利用能量守恆確定出口狀態的焓值：
   假設系統是絕熱的（通常在這種混合過程中，熱交換可以忽略，或者可以看作是絕熱過程）。
   根據穩態流動系統的能量守恆方程式：
   $\dot{m}_1 h_1 + \dot{m}_2 h_2 = \dot{m}_3 h_3$
   代入 $\dot{m}_3 = \dot{m}_1 + \dot{m}_2$：
   $(\dot{m}_1 + \dot{m}_2) h_3 = \dot{m}_1 h_1 + \dot{m}_2 h_2$
   $h_3 = \frac{\dot{m}_1 h_1 + \dot{m}_2 h_2}{\dot{m}_1 + \dot{m}_2}$
   通過此計算，可以得到出口狀態的平均比焓 $h_3$。

5. 確定出口狀態的其他屬性（比熵 $s_3$）：
   出口狀態由壓力 $P_3$ 和溫度 $T_3$ 給定。
   查閱蒸汽表，找到在 $P_3$ 和 $T_3$ 下對應的比焓 $h_3$ 和比熵 $s_3$。

   • 驗證： 計算出的 $h_3$ 值應該與通過能量守恆計算出的 $h_3$ 值相符。如果 $h_3$ 的查找值與計算值不符，可能表示過程不是絕熱的，或者有其他能量交換。
   • 重要提示： 題目給定了出口壓力 $P_3$ 和出口溫度 $T_3$。這兩個屬性足以確定出口狀態。我們需要查表得到 $s_3$。