111 年 國立清華大學工程與系統科學系碩士班乙組《熱力學》

核心觀念

本題考查：

• 定壓相變化的熱量與焓差關係
• 熵變化的計算
• 熵平衡與熵產生
• 有限溫差熱傳造成的不可逆性
• 熵產生最小化的條件

以每公斤水為計算基準，取水為系統，並約定 $\Delta q$ 為「傳入水中的熱量」。由於水由飽和蒸氣變成飽和液體，實際上是放熱，因此 $\Delta q<0$。

飽和溫度換算為絕對溫度：

$$T_{sat}=99.61+273.15=372.76\ \mathrm{K}$$ $$T_0=20+273.15=293.15\ \mathrm{K}$$

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解題方法

在定壓下，水由飽和蒸氣變成飽和液體，單位質量的焓變為

$$\Delta h=h_f-h_g$$ $$\Delta h=417.50-2675.00=-2257.50\ \mathrm{kJ/kg}$$

忽略動能、位能及其他功，定壓相變化的熱量為焓變，因此

$$\Delta q=-2257.50\ \mathrm{kJ/kg}$$

負號表示熱量由水傳給環境。若以放熱量大小表示，則

$$q_{\mathrm{out}}=2257.50\ \mathrm{kJ/kg}$$

(a) 水的熵變化

飽和液體與飽和蒸氣在同一個飽和溫度下，熵差滿足

$$s_g-s_f=\frac{h_g-h_f}{T_{sat}}$$

因此水由飽和蒸氣變成飽和液體的熵變為

$$\Delta s_{\mathrm{water}} =s_f-s_g =\frac{h_f-h_g}{T_{sat}}$$

代入數值：

$$\Delta s_{\mathrm{water}} =\frac{-2257.50}{372.76} =-6.056\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}$$

所以

$$\boxed{\Delta s_{\mathrm{water}}=-6.056\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}}$$

水凝結時分子排列較有規則，熵降低，結果為負值符合物理意義。

(b) 環境的熵變化

環境維持定溫 $T_0$，且吸收水所放出的熱量：

$$q_{\mathrm{env}}=-\Delta q=2257.50\ \mathrm{kJ/kg}$$

因此環境的熵變化為

$$\Delta s_{\mathrm{env}} =\frac{q_{\mathrm{env}}}{T_0}$$ $$\Delta s_{\mathrm{env}} =\frac{2257.50}{293.15} =7.701\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}$$

所以

$$\boxed{\Delta s_{\mathrm{env}}=7.701\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}}$$

(c) 容器的熵產生

將水與環境合併視為整體，熵平衡為

$$S_{gen}=\Delta s_{\mathrm{water}}+\Delta s_{\mathrm{env}}$$

因此

$$S_{gen} =-6.056+7.701 =1.645\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}$$

所以

$$\boxed{S_{gen}=1.645\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}}$$

熵產生為正，表示熱量由 $T_{sat}$ 的水傳至較低溫度 $T_0$ 的環境，是不可逆熱傳。

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(d) 熵產生與溫差的關係

由於 $\Delta q$ 定義為傳入水中的熱量，水的熵變為

$$\Delta s_{\mathrm{water}}=\frac{\Delta q}{T_{sat}}$$

環境吸收的熱量為 $-\Delta q$，故環境熵變為

$$\Delta s_{\mathrm{env}}=-\frac{\Delta q}{T_0}$$

因此總熵產生為

$$S_{gen} =\frac{\Delta q}{T_{sat}}-\frac{\Delta q}{T_0}$$

整理得

$$S_{gen} =\Delta q\left(\frac{1}{T_{sat}}-\frac{1}{T_0}\right)$$

核心觀念

本題考查蒸氣壓縮式熱泵循環，主要使用：

• 冷凝器放熱量：
  $\dot Q_H=\dot m(h_2-h_3)$
• 膨脹閥為節流過程，近似等焓：
  $h_4=h_3$
• 蒸發器吸熱量：
  $\dot Q_L=\dot m(h_1-h_4)$
• 壓縮機功率可由整個循環的能量平衡求得：
  $\dot W_{\mathrm{comp}}=\dot Q_H-\dot Q_L$
• 熱泵性能係數：
  $\mathrm{COP}_{HP}=\frac{\dot Q_H}{\dot W_{\mathrm{comp}}}$
• 相同高、低溫熱源溫度下的最大 COP 為可逆卡諾熱泵：
  $\mathrm{COP}_{HP,\max}=\frac{T_H}{T_H-T_L}$

其中各溫度在卡諾公式中必須使用絕對溫度 K。

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狀態判定與焓值計算

令：

• 狀態 1：壓縮機入口
• 狀態 2：冷凝器入口
• 狀態 3：冷凝器出口、膨脹閥入口
• 狀態 4：膨脹閥出口、蒸發器入口

由題目資料：

• 狀態 2：$800\ \mathrm{kPa}, 55^\circ\mathrm{C}$
• 狀態 3：$750\ \mathrm{kPa}, 26^\circ\mathrm{C}$
• 狀態 1：$200\ \mathrm{kPa}, -6^\circ\mathrm{C}$

在 $800\ \mathrm{kPa}$ 時，$T_{sat}=31^\circ\mathrm{C}$，因此狀態 2 為過熱蒸氣。

在 $750\ \mathrm{kPa}$ 時，$T_{sat}=29^\circ\mathrm{C}$，而狀態 3 溫度為 $26^\circ\mathrm{C}$，因此狀態 3 為過冷液體。

在 $200\ \mathrm{kPa}$ 時，$T_{sat}=-10^\circ\mathrm{C}$，而狀態 1 溫度為 $-6^\circ\mathrm{C}$，因此狀態 1 為過熱蒸氣。

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狀態 2：冷凝器入口焓值

由 $800\ \mathrm{kPa}$ 飽和蒸氣焓值：

$h_g=267.29\ \mathrm{kJ/kg}$

過熱區焓值增加量為：

$$\Delta h_2=\int_{31}^{55} \left(0.19+2.56\times10^{-3}T-1.30\times10^{-6}T^2\right)dT$$

計算得：

$$\Delta h_2=7.143\ \mathrm{kJ/kg}$$

因此：

$$h_2=267.29+7.143 =274.433\ \mathrm{kJ/kg}$$

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狀態 3：冷凝器出口焓值

由 $750\ \mathrm{kPa}$ 飽和液體資料：

$$$$

將液體視為定比熱：

$$h_3=h_f+C_p(T_3-T_{sat})$$

其中 $C_p=1.23\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}$，故：

$$h_3=92.22+1.23(26-29)$$ $$\boxed{h_3=88.53\ \mathrm{kJ/kg}}$$

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狀態 4：膨脹閥出口焓值

膨脹閥為節流過程：

$$\boxed{h_4=h_3=88.53\ \mathrm{kJ/kg}}$$

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狀態 1：壓縮機入口焓值

在 $200\ \mathrm{kPa}$ 時：

核心觀念

本題考查定量控制體（rigid tank）的非穩態能量方程，以及理想氣體的狀態方程。

使用公式：

• 剛性槽體：體積固定，因此無邊界功。
• 絕熱過程：$Q=0$。
• 槽內理想氣體：
  $U=mC_vT$
• 流入氣體攜帶焓：
  $h_{in}=C_pT_{in}$
• 理想氣體狀態方程：
  $PV=mRT$

令初態為 1，填充完成後為 2。

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解題方法

將整個剛性槽體視為控制體。過程中只有氣體流入，沒有氣體流出。

質量守恆為

$$m_2=m_1+m_{in}$$

因此

$$m_{in}=m_2-m_1$$

控制體非穩態能量方程為

$$U_2-U_1=Q-W+m_{in}h_{in}$$

由於過程絕熱，$Q=0$；剛性槽體沒有邊界移動，所以$W=0$。因此

$$U_2-U_1=m_{in}h_{in}$$

代入理想氣體內能與流入焓：

$$m_2C_vT_2-m_1C_vT_1 =(m_2-m_1)C_pT_{in}$$

整理為

$$C_v(m_2T_2-m_1T_1) =(m_2-m_1)C_pT_{in}$$

又因為

$$k=\frac{C_p}{C_v}$$

所以

$$m_2T_2-m_1T_1 =kT_{in}(m_2-m_1)$$

由狀態方程

$$m_2=\frac{P_2V}{RT_2}, \qquad m_1=\frac{P_1V}{RT_1}$$

可得

$$m_2T_2=\frac{P_2V}{R}, \qquad m_1T_1=\frac{P_1V}{R}$$

因此左側為

$$m_2T_2-m_1T_1 =\frac{V}{R}(P_2-P_1)$$

而右側中的質量差為

$$m_2-m_1 =\frac{P_2V}{RT_2}-\frac{P_1V}{RT_1}$$

代回能量方程：

$$\frac{V}{R}(P_2-P_1) = kT_{in} \left( \frac{P_2V}{RT_2} -\frac{P_1V}{RT_1} \right)$$

約去$V/R$：

$$P_2-P_1 = kT_{in} \left( \frac{P_2}{T_2} -\frac{P_1}{T_1} \right)$$

故

$$\frac{P_2-P_1}{kT_{in}} = \frac{P_2}{T_2}-\frac{P_1}{T_1}$$

核心觀念

本題利用燃燒反應的元素守恆，以及空氣組成近似式

$$\text{air}=O_2+3.76N_2$$

其中燃料正癸烷為 $C_{10}H_{22}$，分子量為

$$M_{C_{10}H_{22}}=10(12)+22(1)=142\ \text{kg/kmol}$$

乾燥燃燒產物的莫耳分率不包含水蒸氣，因此先以乾燥產物中的碳元素守恆求出各產物係數，再利用氮元素守恆求實際供氣量。

定義當量比為

$$\phi=\frac{(F/A)_{\text{actual}}}{(F/A)_{\text{stoich}}} =\frac{(A/F)_{\text{stoich}}}{(A/F)_{\text{actual}}}$$

理論空氣百分比為

$$\%\text{theoretical air} =\frac{(A/F)_{\text{actual}}}{(A/F)_{\text{stoich}}}\times 100\%$$

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(a) 化學反應的質量平衡

以 $1$ mol 正癸烷為基準，實際燃燒反應可寫成

$$C_{10}H_{22}+aO_2+3.76aN_2 \rightarrow bCO_2+cCO+11H_2O+eO_2+fN_2$$

各元素平衡式如下。

碳平衡：

$$10=b+c$$

氫平衡：

$$22=2(11)$$

氮平衡：

$$3.76a=f$$

氧平衡：

$$2a=2b+c+11+2e$$

其中 $a$ 為實際供應的氧氣莫耳數，$3.76a$ 為伴隨空氣進入的氮氣莫耳數。

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(b) 理論完全燃燒時的空氣燃料比

理論完全燃燒時不生成 $CO$，也沒有剩餘氧氣，因此

$$C_{10}H_{22}+a_sO_2 \rightarrow 10CO_2+11H_2O$$

由氧平衡：

$$2a_s=2(10)+11=31$$

所以

$$a_s=15.5\ \text{mol }O_2/\text{mol fuel}$$

理論空氣量為

$$n_{\text{air},s}=15.5(1+3.76)=73.78\ \text{mol air}$$

空氣質量為

$$m_{\text{air},s} =15.5(32)+15.5(3.76)(28)$$ $$m_{\text{air},s}=2127.84\ \text{g}$$

因此理論空氣燃料比為

$$\left(\frac{A}{F}\right)_s =\frac{2127.84}{142} =14.98$$

故

$$\boxed{\left(\frac{A}{F}\right)_{\text{stoich}} \approx 14.98\ \text{kg air/kg fuel}}$$

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(c) 實際燃燒時 C、N 的質量平衡係數

乾燥產物莫耳分率為

$$y_{N_2}=0.8361,\quad y_{O_2}=0.0491,\quad y_{CO_2}=0.1056,\quad y_{CO}=0.0092$$

乾燥產物總莫耳數設為 $n_d$。由碳平衡：

$$n_d(0.1056+0.0092)=10$$ $$n_d=\frac{10}{0.1148}=87.108\ \text{mol}$$

因此各乾燥產物係數為

$$b=n_{CO_2}=0.1056(87.108)=9.199$$ $$c=n_{CO}=0.0092(87.108)=0.801$$ $$e=n_{O_2}=0.0491(87.108)=4.276$$

本題是關於朗肯循環 (Rankine Cycle) 的分析，包括理想與實際循環的差異、渦輪絕熱效率的計算，以及實際循環效率的計算。

核心觀念：

1. 朗肯循環 (Rankine Cycle)：蒸汽動力裝置的理想熱力學循環，包含泵、鍋爐、渦輪和冷凝器。
2. T-s 圖：表示循環各過程在溫度-熵圖上的軌跡。
3. 理想朗肯循環：所有過程都是可逆的（泵和渦輪是等熵的），鍋爐和冷凝器是定壓過程。
4. 實際朗肯循環：考慮了不可逆過程，如渦輪和泵的效率損失，以及鍋爐和冷凝器中的壓力降。
5. 渦輪絕熱效率 (Isentropic efficiency of turbine)：實際渦輪功與等熵渦輪功之比。
6. 泵功 (Pump work)：通常很小，可以用等熵壓縮來近似計算。
7. 循環效率：淨輸出功與鍋爐輸入熱量之比。

解題步驟：

首先，理解理想朗肯循環在 T-s 圖上的表示：
1-2：泵的等熵壓縮 (定壓，熵增加很小)
2-3：鍋爐的定壓加熱 (熵增加)
3-4：渦輪的等熵膨脹 (熵不變，溫度降低)
4-1：冷凝器的定壓放熱 (熵減少)

（a）Sketch the deviation of actual vapor power cycle form the ideal Rankine cycle in the T-s diagram shown above.
實際循環與理想循環的主要區別在於不可逆性。

• 泵 (Pump): 實際泵的過程是絕熱的，但不是等熵的。由於不可逆性，泵功會增加，最終壓力下的溫度也會略高於等熵過程。在 T-s 圖上，從狀態 1 到狀態 2' (實際泵出口)，熵會略微增加，溫度也會略高於理想狀態 2。
• 鍋爐 (Boiler): 理想鍋爐是定壓加熱。實際鍋爐中，由於煙氣與蒸汽的熱交換以及管道的壓力降，蒸汽在鍋爐出口的壓力會略低於鍋爐進口的壓力，同時溫度可能也略有不同。但通常在 T-s 圖上，鍋爐段 (2'-3') 的壓力下降影響不大，主要還是定壓加熱。
• 渦輪 (Turbine): 這是實際循環與理想循環差異最大的地方。理想渦輪是等熵膨脹 (3-4)。實際渦輪由於摩擦和不可逆性，膨脹過程中熵會增加，最終出口壓力下的溫度會高於等熵膨脹的出口溫度。在 T-s 圖上，從狀態 3 到狀態 4' (實際渦輪出口)，熵增加，溫度也較高。
• 冷凝器 (Condenser): 理想冷凝器是定壓放熱。實際冷凝器也存在壓力降，出口壓力低於進口壓力，同時蒸汽會過冷。在 T-s 圖上，從狀態 4' 到狀態 1' (實際冷凝器出口)，熵減少，但由於壓力降和過冷，最終狀態 1' 的溫度和焓值可能與理想狀態 1 不同。

繪製 T-s 圖的草圖：

1. 畫出理想朗肯循環的 T-s 圖（1-2-3-4-1）。
2. 在泵後（點 2），畫一個略微偏右上方且溫度略高的點 2'。
3. 從點 2' 開始，畫一個略微向下傾斜的線段代表鍋爐，終點為點 3。
4. 從點 3 開始，畫一條向右下方傾斜的線段，終點 4' 的熵高於點 4，且溫度也高於點 4。
5. 從點 4' 開始，畫一條向左下方傾斜的線段，代表冷凝器，終點 1' 的溫度可能略低於點 1，且壓力也較低。

【答案】繪製 T-s 圖草圖，標示出理想循環 (1-2-3-4) 和實際循環 (1'-2'-3-4') 的關鍵點和過程。

（b）Calculate the turbine isentropic efficiency.
已知條件：

• 高壓 (鍋爐出口): $P_3 = 5$ MPa $= 5000$ kPa。
• 鍋爐出口溫度: $T_3 = 600$ °C。
• 冷凝器壓力 (低壓): $P_{condenser} = 50$ °C。 (這應為冷凝壓力，不是溫度。查表可知 50°C 對應的飽和壓力約為 12.35 kPa)。
• 實際渦輪出口狀態: 飽和蒸氣，溫度 50 °C。

我們需要計算渦輪的等熵效率 $\eta_T$。
$\eta_T = \frac{\text{實際渦輪功}}{\text{等熵渦輪功}} = \frac{W_{T,actual}}{W_{T,isentropic}} = \frac{h_3 - h_{4,actual}}{h_3 - h_{4,s}}$

首先，確定各點的焓值。
狀態 3：渦輪進口
$P_3 = 5$ MPa $= 5000$ kPa, $T_3 = 600$ °C。
查閱過熱蒸汽表 (Superheated Water)，在 5 MPa (5000 kPa) 和 600 °C 下：
$h_3 \approx 3666.47$ kJ/kg (來自題目提供的表格，該表格在 5000 kPa, 600 °C 的數據)。
$s_3 \approx 7.2588$ kJ/(kg·K)。

狀態 4,s：渦輪出口（等熵膨脹）
等熵膨脹意味著 $s_{4,s} = s_3 = 7.2588$ kJ/(kg·K)。
出口壓力 $P_{4,s}$ 是冷凝壓力。題目給的是冷凝器溫度 50 °C。
在 50 °C 下，水的飽和壓力 $P_{sat}(50^\circ C) = 12.350$ kPa。
所以，等熵膨脹的出口壓力 $P_{4,s} = 12.350$ kPa。
我們需要在 12.350 kPa 和 $s = 7.2588$ kJ/(kg·K) 下查找焓值 $h_{4,s}$。
查閱蒸汽表：
在 50 °C (12.350 kPa) 下：
飽和液體焓 $h_f = 209.31$ kJ/kg, 熵 $s_f = 0.7037$ kJ/(kg·K)。
飽和蒸氣焓 $h_g = 2592.06$ kJ/kg, 熵 $s_g = 8.0762$ kJ/(kg·K)。
由於 $s_f < s_3 < s_g$, 所以狀態 4,s 是濕蒸汽。
我們可以通過插值計算 $h_{4,s}$。
$s_3 = s_f + x_{4,s} (s_g - s_f)$
$7.2588 = 0.7037 + x_{4,s} (8.0762 - 0.7037)$
$7.2588 - 0.7037 = x_{4,s} (7.3725)$
$6.5551 = x_{4,s} (7.3725)$
$x_{4,s} = 6.5551 / 7.3725 \approx 0.8891$ (濕度)。

$h_{4,s} = h_f + x_{4,s} (h_g - h_f)$
$h_{4,s} = 209.31 + 0.8891 \times (2592.06 - 209.31)$
$h_{4,s} = 209.31 + 0.8891 \times 2382.75$
$h_{4,s} = 209.31 + 2119.15 \approx 2328.46$ kJ/kg。

狀態 4,actual：渦輪實際出口
實際出口是飽和蒸氣，溫度 50 °C。
所以，狀態 4,actual 是 50 °C 的飽和蒸氣。
$T_{4,actual} = 50$ °C。
$P_{4,actual} = P_{sat}(50^\circ C) = 12.350$ kPa。
查表可知，在 50 °C 的飽和蒸氣狀態下：
$h_{4,actual} = h_g(50^\circ C) = 2592.06$ kJ/kg。
$s_{4,actual} = s_g(50^\circ C) = 8.0762$ kJ/(kg·K)。

計算渦輪功和效率：
實際渦輪功 $W_{T,actual} = h_3 - h_{4,actual} = 3666.47 - 2592.06 = 1074.41$ kJ/kg。
等熵渦輪功 $W_{T,isentropic} = h_3 - h_{4,s} = 3666.47 - 2328.46 = 1338.01$ kJ/kg。

渦輪等熵效率 $\eta_T = \frac{W_{T,actual}}{W_{T,isentropic}} = \frac{1074.41}{1338.01} \approx 0.8030$。

核心觀念

本題考查「能量」與「可用能（availability，又稱㶲，exergy）」的差異：

• 煞車碟盤吸收的能量為內能增加量：

  $\Delta U=mc(T_2-T_1)$

• 可用能是碟盤相對於環境溫度 $T_0$ 所能產生的最大有用功。對定比熱固體：

  $\Delta B=mc\left[(T_2-T_1)-T_0\ln\left(\frac{T_2}{T_1}\right)\right]$

  其中溫度必須使用絕對溫度 K。

本題未明確給定環境溫度，採煞車前碟盤溫度 $10^\circ\mathrm{C}$ 為環境溫度，即

$T_0=T_1=10^\circ\mathrm{C}=283.15\ \mathrm{K}$

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解題方法

1. 碟盤的可用能

已知

$m=10\ \mathrm{kg}$

$c=0.45\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}$

$T_1=283.15\ \mathrm{K}$

$T_2=383.15\ \mathrm{K}$

$T_0=283.15\ \mathrm{K}$

代入可用能變化公式：

$$\Delta B =10(0.45) \left[ (383.15-283.15) -283.15\ln\left(\frac{383.15}{283.15}\right) \right]$$ $$\Delta B =4.5\left[ 100-283.15\ln(1.3532) \right]$$

由

$\ln(1.3532)\approx0.30245$

可得

$$\Delta B =4.5(100-85.64) \approx64.6\ \mathrm{kJ}$$

因此，碟盤由 $10^\circ\mathrm{C}$ 加熱至 $110^\circ\mathrm{C}$ 的過程中，增加的可用能為

$\boxed{\Delta B\approx64.6\ \mathrm{kJ}}$

可用能在本過程中的意義

碟盤雖然吸收了相當於 $450\ \mathrm{kJ}$ 的熱能，但其中只有約 $64.6\ \mathrm{kJ}$ 是相對於環境仍具有「轉換成最大有用功」潛力的部分。