114 年 國立清華大學工程與系統科學系碩士班乙組《熱力學》

本題主要在測試考生對於水在不同狀態下的 P-v 圖及 T-v 圖的理解，包括飽和線、臨界點的繪製，以及定溫、定壓過程的表示，並能將給定的四個狀態點標示出來。

核心觀念： 相圖 (Phase Diagram) 的繪製與應用，特別是 P-v 圖與 T-v 圖，以及狀態點的判斷。

解題步驟：

Step 1: 繪製 P-v 圖與 T-v 圖的飽和線、臨界點 (6 pts)

• P-v 圖：

  • 橫軸為比體積 ($v$)，縱軸為壓力 ($P$)。
  • 繪製飽和液線 (Saturated liquid line)：通常是一條向上彎曲的線，表示在飽和壓力下，液體的比體積隨溫度升高而增加。
  • 繪製飽和蒸氣線 (Saturated vapor line)：通常是一條向下彎曲的線，與飽和液線在臨界點匯合。
  • 繪製臨界點 (Critical point)：飽和液線與飽和蒸氣線的交點，代表臨界溫度 ($T_c$)、臨界壓力 ($P_c$) 和臨界比體積 ($v_c$)。
  • 圖的左側是壓縮液體區 (Compressed liquid region)，右側是過熱蒸氣區 (Superheated vapor region)，中間由飽和液線與飽和蒸氣線圍成的區域是液體與蒸氣混合區 (Saturated liquid-vapor mixture region)。

• T-v 圖：

  • 橫軸為比體積 ($v$)，縱軸為溫度 ($T$)。
  • 繪製飽和液線 (Saturated liquid line)：通常是一條向上彎曲的線，表示在飽和溫度下，液體比體積隨溫度升高而增加。
  • 繪製飽和蒸氣線 (Saturated vapor line)：通常是一條向下彎曲的線，與飽和液線在臨界點匯合。
  • 繪製臨界點 (Critical point)。
  • 圖的左側是壓縮液體區，右側是過熱蒸氣區，中間是混合區。

Step 2: 在 P-v 圖中繪製定溫過程 (6 pts)

• 20 °C (Compressed liquid): 此溫度低於水的常壓沸點 (100°C)，且壓力為 500 kPa。在 P-v 圖上，此點位於飽和液線的左側，屬於壓縮液體區。定溫過程在 P-v 圖上並非一條簡單的線，因為壓力會隨比體積變化。然而，題目要求繪製「定溫相變過程」，這表示我們需要考慮在該溫度下的飽和壓力。20°C 的飽和壓力遠低於 500 kPa，因此 20°C、500 kPa 是一個壓縮液體點，並非處於相變過程。此步驟應理解為，在 P-v 圖上標示出 20°C 的飽和溫度線，並確認該點的位置。
• 152 °C (Mixture): 152 °C 是 500 kPa 下水的飽和溫度。在此溫度下的相變過程（蒸發）在 P-v 圖上是一條水平線，表示壓力固定，而比體積從飽和液體比體積 ($v_f$) 增加到飽和蒸氣比體積 ($v_g$)。
• 200 °C (Superheated vapor): 200 °C 高於 1400 kPa 下水的飽和溫度。在此溫度下的相變過程（若有）會先從液體蒸發成蒸氣，然後再加熱成過熱蒸氣。但題目要求繪製「定溫相變過程」。200°C，1400 kPa 點在 P-v 圖上位於飽和蒸氣線的右側，屬於過熱蒸氣區。此步驟應理解為，在 P-v 圖上標示出 200°C 的飽和溫度線，並確認該點的位置。
• 300 °C (Mixture): 300 °C 高於 8581 kPa 下水的飽和溫度。300°C，8581 kPa 點在 P-v 圖上位於飽和蒸氣線的右側，屬於過熱蒸氣區。此步驟應理解為，在 P-v 圖上標示出 300°C 的飽和溫度線，並確認該點的位置。
  • 修正理解： 題目要求繪製「constant-temperature phase change process」。這意味著我們應該考慮的是在給定溫度下，若發生相變，其在 P-v 圖上的表現。對於 Point 2 (152°C, 500 kPa)，這是一個混合物狀態，其相變過程 (從液體到蒸氣) 是在 152°C 的飽和壓力下進行的，在 P-v 圖上是一條水平線。對於 Point 3 和 Point 4，它們都處於過熱蒸氣區，在給定溫度下，並沒有發生「相變」過程。Point 1 處於壓縮液體區。因此，嚴格來說，只有 Point 2 的溫度 (152°C) 發生了相變。可能題目意圖是繪製在該溫度下的飽和溫度線，並標示出各點。
  • 更精確的理解： Step 2 是要求繪製「constant-temperature phase change process」。這表示我們要繪製的是在給定溫度下，從飽和液體到飽和蒸氣的過程，這在 P-v 圖上是一條水平線。Point 2 (152°C) 處於飽和狀態，其相變過程就是 152°C 的飽和壓力下的水平線。Point 3 (200°C) 和 Point 4 (300°C) 處於過熱蒸氣區，它們的「相變」過程（如果從液體開始算）會發生在較低的壓力下，然後再加熱。Point 1 (20°C) 處於壓縮液體區，其相變過程會發生在遠低於 500 kPa 的飽和壓力下。因此，Step 2 主要是在 P-v 圖上標示出 152°C, 200°C, 300°C 的飽和溫度線（水平線段），並標示出 20°C 的飽和溫度線。

Step 3: 在 T-v 圖中繪製定壓過程 (6 pts)

• 500 kPa (Point 1 & 2): 在 T-v 圖上，定壓過程通常不是一條簡單的線，因為溫度會隨比體積變化。然而，題目要求繪製「constant-pressure phase change process」。這表示我們要考慮在給定壓力下，若發生相變，其在 T-v 圖上的表現。對於 Point 1 (20°C, 500 kPa) 和 Point 2 (152°C, 500 kPa)，500 kPa 是水的飽和壓力。在 500 kPa 下，水的飽和溫度是 152°C。因此，500 kPa 的相變過程（蒸發）在 T-v 圖上是一條垂直線，表示壓力固定，而比體積從飽和液體比體積 ($v_f$) 增加到飽和蒸氣比體積 ($v_g$)。Point 1 (20°C) 是一個壓縮液體點，其溫度低於飽和溫度 152°C。
• 1400 kPa (Point 3): 1400 kPa 是水的飽和壓力，對應的飽和溫度高於 152°C 且低於 200°C。Point 3 (200°C, 1400 kPa) 是一個過熱蒸氣點。1400 kPa 的相變過程在 T-v 圖上也是一條垂直線，其溫度為 1400 kPa 下的飽和溫度。
• 8518 kPa (Point 4): 8518 kPa (約 85.81 bar) 是水的超臨界壓力，大約是 374 °C。Point 4 (300°C, 8581 kPa) 是一個過熱蒸氣點，且 8581 kPa 接近臨界壓力，但溫度 300°C 低於臨界溫度 374°C。因此，8581 kPa 的相變過程（如果發生）會在 300°C 以上進行。
  • 修正理解： 題目要求繪製「constant-pressure phase change process」。這表示我們要繪製的是在給定壓力下，從飽和液體到飽和蒸氣的過程，這在 T-v 圖上是一條垂直線。Point 1 和 Point 2 都在 500 kPa 下。500 kPa 是水的飽和壓力，對應的飽和溫度是 152°C。因此，500 kPa 的相變過程是從 152°C 的飽和液體比體積到飽和蒸氣比體積的垂直線。Point 3 在 1400 kPa 下，1400 kPa 是飽和壓力，對應的飽和溫度高於 152°C。Point 4 在 8581 kPa 下，8581 kPa 遠高於 1400 kPa，且接近臨界壓力。
  • 更精確的理解： Step 3 是要求繪製「constant-pressure phase change process」。這表示我們要繪製的是在給定壓力下，從飽和液體到飽和蒸氣的過程。在 T-v 圖上，這是一條垂直線。
    • 對於 500 kPa：這是一個飽和壓力，對應的飽和溫度是 152°C。因此，500 kPa 的相變過程是一條垂直線，從 $v_f$ 到 $v_g$ 在 152°C。
    • 對於 1400 kPa：這也是一個飽和壓力，對應的飽和溫度高於 152°C。因此，1400 kPa 的相變過程是一條垂直線，在該飽和溫度下。
    • 對於 8518 kPa：這是一個非常高的壓力，超過了 1400 kPa。水的臨界壓力約為 22.09 MPa (22090 kPa)，臨界溫度約為 374°C。8518 kPa 遠低於臨界壓力。因此，8518 kPa 是一個飽和壓力，對應的飽和溫度高於 300°C。

Step 4: 定位四個點 (7 pts)

• Point 1 (20 °C, 500 kPa, 0.001002 m³/kg):
  • 查表可知，500 kPa 下水的飽和溫度為 152°C。由於 20°C < 152°C，且 500 kPa 壓力下，20°C 的比體積 0.001002 m³/kg 小於 152°C 時的飽和液體比體積 ($v_f$)，因此此點為壓縮液體 (Compressed liquid)。
  • 在 P-v 圖上：找到 500 kPa 的水平線上，20°C 的飽和溫度線的左側，比體積 0.001002 m³/kg 的位置。

本題主要在測試考生對熱力學第一定律在定常流系統（或稱為控制體積，Control Volume）的應用，以及其能量方程式的組成與意義。

核心觀念： 熱力學第一定律，穩定流動系統的能量方程式，焓 ($h$) 的定義。

A. 解釋能量方程式的各項意義 (8 pts)

此方程式為穩定流動系統（或稱定常流，Steady Flow）的能量方程式，是熱力學第一定律應用於控制體積 (Control Volume, c.v.) 的速率形式。

$\frac{dE_{c.v.}}{dt} = \dot{Q}_{c.v.} - \dot{W}_{c.v.} + \dot{m}_i(e_i + P_i v_i) - \dot{m}_e(e_e + P_e v_e)$

• $\frac{dE_{c.v.}}{dt}$: 控制體積內總能量隨時間的變化率。對於穩定流動系統，系統的總能量是定常的，因此 $\frac{dE_{c.v.}}{dt} = 0$。
• $\dot{Q}_{c.v.}$: 控制體積與外界之間的淨熱傳速率。正值表示熱量流入控制體積，負值表示熱量流出。
• $\dot{W}_{c.v.}$: 控制體積與外界之間的淨功傳遞速率。正值表示淨功由控制體積對外作功，負值表示淨功由外界對控制體積作功。這包含了軸功 (shaft work)、流功 (flow work) 和其他形式的功。
• $\dot{m}_i(e_i + P_i v_i)$: 進入控制體積的物質流所攜帶的總能量速率。
  • $\dot{m}_i$: 進入系統的質量流率 (mass flow rate)。
  • $e_i$: 單位質量進入物質的總能量，包含內能 ($u_i$)、動能 ($\frac{1}{2}V_i^2$) 和位能 ($gZ_i$)。 $e_i = u_i + \frac{1}{2}V_i^2 + gZ_i$。
  • $P_i v_i$: 單位質量進入物質所做的流動功 (flow work)，即壓力能。
• $\dot{m}_e(e_e + P_e v_e)$: 流出控制體積的物質流所帶走的總能量速率。
  • $\dot{m}_e$: 流出系統的質量流率。
  • $e_e$: 單位質量流出的物質的總能量。 $e_e = u_e + \frac{1}{2}V_e^2 + gZ_e$。
  • $P_e v_e$: 單位質量流出的物質所做的流動功。

第二個形式的展開：
$\dot{m}_i(e_i + P_i v_i) = \dot{m}_i(u_i + \frac{1}{2}V_i^2 + gZ_i + P_i v_i)$
根據熱力學定義，焓 ($h$) 為 $h = u + Pv$。因此，
$\dot{m}_i(e_i + P_i v_i) = \dot{m}_i(h_i + \frac{1}{2}V_i^2 + gZ_i)$
同理，對於流出的物質：
$\dot{m}_e(e_e + P_e v_e) = \dot{m}_e(h_e + \frac{1}{2}V_e^2 + gZ_e)$
所以，將 $e+Pv$ 展開成 $h + \frac{1}{2}V^2 + gZ$ 後，能量方程式變為：
$\frac{dE_{c.v.}}{dt} = \dot{Q}_{c.v.} - \dot{W}_{c.v.} + \dot{m}_i(h_i + \frac{1}{2}V_i^2 + gZ_i) - \dot{m}_e(h_e + \frac{1}{2}V_e^2 + gZ_e)$

B. 解釋能量方程式如何展開 (5 pts)

如 A 部分所述，第二個形式的展開是利用焓的定義 $h = u + Pv$。
將第一式中的物質能量項 $\dot{m}(e + Pv)$ 展開：
$e + Pv = (u + \frac{1}{2}V^2 + gZ) + Pv$
由於 $h = u + Pv$，故 $e + Pv = h + \frac{1}{2}V^2 + gZ$。
因此，進入系統的能量速率項 $\dot{m}_i(e_i + P_i v_i)$ 變成 $\dot{m}_i(h_i + \frac{1}{2}V_i^2 + gZ_i)$。
流出系統的能量速率項 $\dot{m}_e(e_e + P_e v_e)$ 變成 $\dot{m}_e(h_e + \frac{1}{2}V_e^2 + gZ_e)$。
這就是為何第二個形式的方程式包含了焓、動能和位能的項。

C. 應用能量方程式分析發電系統組件 (12 pts)

此部分要求將能量方程式應用於圖中所示的三個組件：渦輪機 (Turbine wheel)、壓力容器放氣 (discharging a fluid from a pressurized vessel) 和壓縮機 (Compressor wheel)。由於題目提到「power generation system」，我們可以推測這是一個燃氣渦輪機的簡化示意圖，(a) 可能是渦輪機，(b) 可能是排氣系統或某種調節裝置，(c) 可能是壓縮機。

假設系統是穩定運行的 ($\frac{dE_{c.v.}}{dt} = 0$)，且通常我們分析的控制體積是針對單一組件。

(a) 渦輪機 (Turbine wheel):
渦輪機的作用是從高溫高壓的流體中提取能量，將其轉化為機械功。

• 控制體積： 渦輪機本身。
• 流入： 高溫高壓的流體 (例如燃氣)。 $\dot{m}_i$, $h_i$, $V_i$, $Z_i$。
• 流出： 低溫低壓的流體。 $\dot{m}_e$, $h_e$, $V_e$, $Z_e$。
• **熱傳 $\dot{Q}_{c.v.}$: ** 通常假設渦輪機是絕熱的，即 $\dot{Q}_{c.v.} = 0$。
• **功 $\dot{W}_{c.v.}$: ** 渦輪機對外作功，輸出軸功。此功為負值（依照公式定義，對外作功為正，所以這裡的 $\dot{W}_{c.v.}$ 應為正值，代表輸出功率）。
• 質量流率： 假設無洩漏， $\dot{m}_i = \dot{m}_e = \dot{m}$。
• 位能： 渦輪機的進出口高度差 $Z_i, Z_e$ 通常很小，可忽略，即 $gZ_i \approx gZ_e$。

本題主要在測試考生對製冷循環 (Refrigeration Cycle) 的理解，包括其主要組件、T-s 圖上的過程表示，以及性能指標 COP 的計算。

核心觀念： 蒸汽壓縮製冷循環 (Vapor Compression Refrigeration Cycle)，T-s 圖，製冷劑 (Refrigerant)，性能係數 (Coefficient of Performance, COP)。

Q1. 指出 T-s 圖上各製冷循環過程對應的組件 (8 pts)

T-s 圖 (溫度-熵圖) 是表示製冷循環的常用工具。圖中顯示的循環是標準的蒸汽壓縮製冷循環，通常由四個主要過程組成：

• 過程 1-2：壓縮 (Compression)

  • 組件： 壓縮機 (Compressor)
  • 說明： 在此過程中，低壓、低溫的氣態製冷劑被壓縮成高壓、高溫的氣態。這個過程通常近似為等熵過程 (Isentropic process)，即熵不變 ($s_1 = s_2$)。在 T-s 圖上，這是一條從左下方 (低溫低壓氣體) 到右上方 (高溫高壓氣體) 的斜線。

• 過程 2-3：冷凝 (Condensation)

  • 組件： 冷凝器 (Condenser)
  • 說明： 在此過程中，高壓、高溫的氣態製冷劑在恆定壓力下散熱，冷卻並冷凝成高壓、低溫的液態製冷劑。在 T-s 圖上，這是一個等壓過程，但因為有相變，溫度也會下降（從過熱蒸汽區進入飽和區，然後凝結成液體）。圖中的 2-3 過程是一條水平線段（表示飽和溫度下的相變），然後向下延伸（過冷液體）。從圖上看，2-3 過程包含從過熱蒸汽進入飽和區，然後完全凝結成液體，並可能進一步過冷 (subcooling)。

• 過程 3-4：節流 (Throttling)

  • 組件： 毛細管 (Capillary tube) 或膨脹閥 (Expansion valve)
  • 說明： 在此過程中，高壓、低溫的液態製冷劑通過一個節流裝置，壓力急劇下降，溫度也隨之降低。這是一個等焓過程 (Isenthalpic process)，即焓不變 ($h_3 = h_4$)。在 T-s 圖上，這是一條從右側（高壓液體）向左側（低壓混合物）的曲線，通常會進入液體和蒸氣的混合區。

• 過程 4-1：蒸發 (Evaporation)

  • 組件： 蒸發器 (Evaporator)
  • 說明： 在此過程中，低壓、低溫的液態製冷劑在恆定壓力下吸收來自被冷卻空間的熱量，蒸發成低壓、低溫的氣態製冷劑，完成製冷任務。在 T-s 圖上，這是一個等壓過程，但因為有相變，溫度會升高。圖中的 4-1 過程是一條水平線段（表示飽和溫度下的相變），然後右側延伸（過熱蒸汽）。

根據圖示 T-s 圖的標示：

• 1 → 2: 壓縮機 (Compressor)
• 2 → 3: 冷凝器 (Condenser)
• 3 → 4: 毛細管/膨脹閥 (Capillary tube/Expansion valve)
• 4 → 1: 蒸發器 (Evaporator)

Q2. 寫出計算性能係數 (COP) 的方程式 (8 pts)

製冷循環的性能係數 (COP) 定義為製冷劑從被冷卻空間吸收的有用熱量（製冷量）與為此目的所消耗的淨功之比。

• 製冷量 (Refrigeration effect, $\dot{Q}_L$): 在蒸發器中吸收的熱量。
  $\dot{Q}_L = \dot{m} (h_1 - h_4)$
  其中 $\dot{m}$ 是製冷劑的質量流率，$h_1$ 是進入蒸發器的製冷劑焓值，$h_4$ 是離開蒸發器的製冷劑焓值。

• 壓縮機消耗的淨功 (Net work input to compressor, $\dot{W}_c$):
  $\dot{W}_c = \dot{m} (h_2 - h_1)$
  其中 $h_2$ 是離開壓縮機的製冷劑焓值，$h_1$ 是進入壓縮機的製冷劑焓值。

• 性能係數 (COP):
  $COP_R = \frac{\text{Desired Output}}{\text{Required Input}} = \frac{\text{Refrigeration effect}}{\text{Net work input}}$
  $COP_R = \frac{\dot{Q}_L}{\dot{W}_c} = \frac{\dot{m}(h_1 - h_4)}{\dot{m}(h_2 - h_1)}$
  $COP_R = \frac{h_1 - h_4}{h_2 - h_1}$
  （請注意，在某些定義中，$\dot{W}_c$ 被視為外界對系統作功，因此是負值，但 COP 的定義要求分母為正值，所以通常取功的絕對值或使用 $h_2-h_1$。）

Q3. 確定計算 COP 所需的熱力學性質 (9 pts)

根據 Q2 的 COP 公式 $COP_R = \frac{h_1 - h_4}{h_2 - h_1}$，我們需要確定四個狀態點 (1, 2, 3, 4) 的焓值。

核心觀念

本題考查：

1. 理想氣體狀態方程
   $PV=n\bar{R}T$
2. 封閉、剛性容器的第一定律。
3. 混合後達熱平衡時，各氣體具有相同的平衡溫度。
4. 混合後以理想氣體方程求總壓力。

圖中未標示兩個隔間的體積，因此無法由題目資料唯一決定莫耳數。以下依常見題意，假設 Ne 與 Ar 兩側體積皆為 $1\ \mathrm{m^3}$。溫度須使用絕對溫標：

$T_{\mathrm{Ne},1}=20+273.15=293.15\ \mathrm{K}$

$T_{\mathrm{Ar},1}=50+273.15=323.15\ \mathrm{K}$

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Q1. 各氣體的莫耳數

取通用氣體常數

$\bar{R}=8.314\ \mathrm{kPa\cdot m^3/(kmol\cdot K)}$

Ne

$$n_{\mathrm{Ne}} =\frac{P_{\mathrm{Ne}}V_{\mathrm{Ne}}} {\bar{R}T_{\mathrm{Ne},1}}$$ $$n_{\mathrm{Ne}} =\frac{(100)(1)} {(8.314)(293.15)} =0.04103\ \mathrm{kmol}$$

因此

$\boxed{n_{\mathrm{Ne}}\approx 41.0\ \mathrm{mol}}$

Ar

$$n_{\mathrm{Ar}} =\frac{P_{\mathrm{Ar}}V_{\mathrm{Ar}}} {\bar{R}T_{\mathrm{Ar},1}}$$ $$n_{\mathrm{Ar}} =\frac{(200)(1)} {(8.314)(323.15)} =0.07444\ \mathrm{kmol}$$

因此

$\boxed{n_{\mathrm{Ar}}\approx 74.4\ \mathrm{mol}}$

由莫耳數換算質量：

$$m_{\mathrm{Ne}} =n_{\mathrm{Ne}}M_{\mathrm{Ne}} =(0.04103)(20.18) \approx0.828\ \mathrm{kg}$$ $$m_{\mathrm{Ar}} =n_{\mathrm{Ar}}M_{\mathrm{Ar}} =(0.07444)(39.95) \approx2.975\ \mathrm{kg}$$

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Q2. 第一定律的簡化

整個容器視為封閉系統，且具有下列條件：

• 無質量流入、流出：
  $\sum \dot m_i=\sum \dot m_o=0$
• 容器為剛性容器，因此邊界功為零：
  $W_{\mathrm{net,out}}=0$
• 忽略動能與位能變化。
• 過程中向外散失熱量 $8\ \mathrm{kJ}$，故
  $Q_{\mathrm{net,in}}=-8\ \mathrm{kJ}$

因此非穩態第一定律可簡化為

$Q_{\mathrm{net,in}}=U_2-U_1$

混合後兩種氣體達到共同平衡溫度 $T_2$，使用定比熱：

$$U_2-U_1 =m_{\mathrm{Ne}}c_{v,\mathrm{Ne}}(T_2-T_{\mathrm{Ne},1}) +m_{\mathrm{Ar}}c_{v,\mathrm{Ar}}(T_2-T_{\mathrm{Ar},1})$$

故

$$-8 =m_{\mathrm{Ne}}c_{v,\mathrm{Ne}}(T_2-T_{\mathrm{Ne},1}) +m_{\mathrm{Ar}}c_{v,\mathrm{Ar}}(T_2-T_{\mathrm{Ar},1})$$

各氣體的氣體常數為