112 年 國立臺北大學都市計劃研究所甲組《微積分》

本題考查函數的定義域（Domain）與值域（Range）的求解。

A. $f(x) = \sqrt{8 - 2x^2}$

• 定義域 (Domain):
  函數 $f(x)$ 的定義域由根號內的表達式決定，必須大於或等於零。
  $8 - 2x^2 \ge 0$
  $8 \ge 2x^2$
  $4 \ge x^2$
  $-2 \le x \le 2$
  因此，定義域為 $[-2, 2]$。

• 值域 (Range):
  當 $x$ 在定義域 $[-2, 2]$ 內變動時，我們觀察 $f(x)$ 的值。
  $f(x)$ 的最小值發生在 $x = \pm 2$ 時，此時 $8 - 2x^2 = 8 - 2(4) = 0$，所以 $f(\pm 2) = \sqrt{0} = 0$。
  $f(x)$ 的最大值發生在 $x = 0$ 時，此時 $8 - 2x^2 = 8 - 0 = 8$，所以 $f(0) = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$。

本題考查極限、連續性與可微分性的概念，需要根據所提供的函數圖形來判斷。圖形中的點 a, b, c, d, e, f 是需要討論的關鍵點。

A. 求解極限值與函數值

根據圖形：

• 點 a 的座標為 (0, 1)。
• 點 b 的座標為 (0, 3)。
• 點 c 的座標為 (1, 2)。
• 點 d 的座標為 (1, 0.71)。
• 點 e 的座標為 (2.54, -0.46)。
• 點 f 的座標為 (4, 1/3)。

(1) $\lim_{x \to 0^+} f(x)$: 當 $x$ 從右側趨近於 0 時，圖形顯示函數值趨近於點 a 的 y 座標。
【答案】1

(2) $\lim_{x \to 0^-} f(x)$: 當 $x$ 從左側趨近於 0 時，圖形顯示函數值趨近於點 b 的 y 座標。
【答案】3

(3) $\lim_{x \to 0} f(x)$: 左極限 $\lim_{x \to 0^-} f(x) = 3$，右極限 $\lim_{x \to 0^+} f(x) = 1$。由於左右極限不相等，極限不存在。
【答案】不存在，因為左極限與右極限不相等。

(4) $\lim_{x \to 1} f(x)$: 當 $x$ 趨近於 1 時，圖形顯示函數值趨近於點 c 的 y 座標（從左側）與點 d 的 y 座標（從右側）。然而，圖形顯示在 $x=1$ 時，函數值跳躍，點 c (1,2) 是圖形的一部分，而點 d (1,0.71) 是一個單獨的點（可能是個洞）。從圖形上，當 $x \to 1^+$，函數值趨近於 $0.71$；當 $x \to 1^-$，函數值趨近於 $2$。由於左右極限不相等，極限不存在。
【答案】不存在，因為左極限 $\lim_{x \to 1^-} f(x) = 2$ 與右極限 $\lim_{x \to 1^+} f(x) = 0.71$ 不相等。

(5) $f(1)$: 根據圖形，在 $x=1$ 時，點 c (1,2) 是圖形上的一個點，表示 $f(1)=2$。點 d (1,0.71) 似乎是一個被移除的點（空心圓點）。
【答案】2

B. 討論連續性 (Continuous Points)

一個函數在某點連續，必須滿足三個條件：

1. $f(c)$ 存在。
2. $\lim_{x \to c} f(x)$ 存在。
3. $\lim_{x \to c} f(x) = f(c)$。

我們逐一討論點 a, b, c, d, e, f：

• 點 a (0, 1):
  $f(0)$ 的值由點 a 給出，即 $f(0)=1$。
  $\lim_{x \to 0^+} f(x) = 1$。
  $\lim_{x \to 0^-} f(x) = 3$。
  由於 $\lim_{x \to 0} f(x)$ 不存在，函數在 $x=0$ (點 a 的 x 座標) 不連續。
  【討論】點 a 的 x 座標是 0。雖然 $f(0)=1$ 存在且右極限為 1，但左極限為 3，所以函數在 $x=0$ 不連續。

• 點 b (0, 3):
  點 b 代表當 $x \to 0^-$ 時的極限值，但 $f(0)$ 的值是由點 a 定義為 1。
  【討論】點 b 的 x 座標是 0。雖然左極限為 3，但 $f(0)=1$，且右極限為 1，所以函數在 $x=0$ 不連續。

本題考查不同類型的極限計算，包含趨近無限大、三角函數極限以及不定型極限的處理。

A. $\lim_{x \to \infty} \frac{x^3 - 2x}{x^2 + 3x - 2}$

這是一個多項式函數趨近無限大的極限。我們通常比較分子和分母的最高次項。
分子最高次項是 $x^3$，分母最高次項是 $x^2$。
由於分子的次數 (3) 大於分母的次數 (2)，當 $x \to \infty$ 時，函數值將趨近於 $\infty$ 或 $-\infty$。
為了更嚴謹地計算，我們可以將分子和分母同除以分母的最高次項 $x^2$：
$\lim_{x \to \infty} \frac{x^3 - 2x}{x^2 + 3x - 2} = \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^3}{x^2} - \frac{2x}{x^2}}{\frac{x^2}{x^2} + \frac{3x}{x^2} - \frac{2}{x^2}} = \lim_{x \to \infty} \frac{x - \frac{2}{x}}{1 + \frac{3}{x} - \frac{2}{x^2}}$
當 $x \to \infty$ 時，$\frac{2}{x} \to 0$，$\frac{3}{x} \to 0$，$\frac{2}{x^2} \to 0$。
所以極限變為：
$\lim_{x \to \infty} \frac{x - 0}{1 + 0 - 0} = \lim_{x \to \infty} x = \infty$
【答案】$\infty$

B. $\lim_{x \to 4} \frac{\sin(x - 4)}{x^2 - 3x - 4}$

當 $x \to 4$ 時，分子 $\sin(x-4) \to \sin(0) = 0$。
分母 $x^2 - 3x - 4 \to 4^2 - 3(4) - 4 = 16 - 12 - 4 = 0$。
這是一個 $0/0$ 的不定型極限。我們可以使用 L'Hôpital's Rule 或進行代數變形。

• 方法一：L'Hôpital's Rule
  對分子和分母分別求導：
  分子導數：$\frac{d}{dx}(\sin(x-4)) = \cos(x-4) \cdot 1 = \cos(x-4)$
  分母導數：$\frac{d}{dx}(x^2 - 3x - 4) = 2x - 3$
  所以，
  $\lim_{x \to 4} \frac{\sin(x - 4)}{x^2 - 3x - 4} = \lim_{x \to 4} \frac{\cos(x-4)}{2x - 3}$
  將 $x=4$ 代入：
  $\frac{\cos(4-4)}{2(4) - 3} = \frac{\cos(0)}{8 - 3} = \frac{1}{5}$

• 方法二：代數變形 (利用 $\lim_{\theta \to 0} \frac{\sin \theta}{\theta} = 1$)
  首先，對分母進行因式分解：
  $x^2 - 3x - 4 = (x-4)(x+1)$
  原極限可以寫成：

本題考查微分的計算，包含直接微分和隱函數微分。

A. $y = 3(3-x)^2 - 4x + 1$

這是顯函數的微分，可以直接對 $y$ 關於 $x$ 求導。
我們可以使用連鎖法則 (Chain Rule) 來微分 $(3-x)^2$。
$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx} [3(3-x)^2] - \frac{d}{dx}(4x) + \frac{d}{dx}(1)$

• 微分 $3(3-x)^2$:
  令 $u = 3-x$，則 $\frac{du}{dx} = -1$。
  $\frac{d}{dx} [3u^2] = 3 \cdot 2u \cdot \frac{du}{dx} = 6u \cdot (-1) = -6u$
  將 $u = 3-x$ 代回：$-6(3-x) = -18 + 6x$。

• 微分 $4x$:
  $\frac{d}{dx}(4x) = 4$。

• 微分 $1$:
  $\frac{d}{dx}(1) = 0$。

將各部分組合起來：
$\frac{dy}{dx} = (-18 + 6x) - 4 + 0 = 6x - 22$。

或者，可以直接展開 $y$：
$y = 3(9 - 6x + x^2) - 4x + 1$
$y = 27 - 18x + 3x^2 - 4x + 1$
$y = 3x^2 - 22x + 28$
現在微分：
$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(3x^2) - \frac{d}{dx}(22x) + \frac{d}{dx}(28)$
$\frac{dy}{dx} = 6x - 22 + 0 = 6x - 22$。
【答案】$\frac{dy}{dx} = 6x - 22$

B. $\sqrt{x} + (2y - 1)^2 = 5$

本題考查不定積分的計算，包含分部積分、指數函數積分、換元積分以及有理函數積分。

A. $\int x^2 \ln x \, dx$

此積分需要使用分部積分法 (Integration by Parts)，公式為 $\int u \, dv = uv - \int v \, du$。
我們選擇 $u = \ln x$ (因為 $\ln x$ 微分後會變成有理函數，較易處理)，則 $dv = x^2 \, dx$。
由此可得：
$du = \frac{1}{x} \, dx$
$v = \int x^2 \, dx = \frac{x^3}{3}$

應用分部積分公式：
$\int x^2 \ln x \, dx = (\ln x) \left(\frac{x^3}{3}\right) - \int \left(\frac{x^3}{3}\right) \left(\frac{1}{x}\right) \, dx$
$= \frac{x^3}{3} \ln x - \int \frac{x^2}{3} \, dx$
$= \frac{x^3}{3} \ln x - \frac{1}{3} \int x^2 \, dx$
$= \frac{x^3}{3} \ln x - \frac{1}{3} \left(\frac{x^3}{3}\right) + C$
$= \frac{x^3}{3} \ln x - \frac{x^3}{9} + C$
【答案】$\frac{x^3}{3} \ln x - \frac{x^3}{9} + C$

B. $\int x e^{4(x-3)} \, dx$

此積分也需要使用分部積分法。
選擇 $u = x$ (因為 $x$ 微分後變成常數)，則 $dv = e^{4(x-3)} \, dx$。
由此可得：
$du = dx$
$v = \int e^{4(x-3)} \, dx$
令 $w = 4(x-3) = 4x - 12$，則 $dw = 4 \, dx$，即 $dx = \frac{1}{4} \, dw$。
$v = \int e^w \left(\frac{1}{4} \, dw\right) = \frac{1}{4} \int e^w \, dw = \frac{1}{4} e^w = \frac{1}{4} e^{4(x-3)}$。

應用分部積分公式：
$\int x e^{4(x-3)} \, dx = x \left(\frac{1}{4} e^{4(x-3)}\right) - \int \left(\frac{1}{4} e^{4(x-3)}\right) \, dx$
$= \frac{x}{4} e^{4(x-3)} - \frac{1}{4} \int e^{4(x-3)} \, dx$
我們已經計算過 $\int e^{4(x-3)} \, dx = \frac{1}{4} e^{4(x-3)}$。
$= \frac{x}{4} e^{4(x-3)} - \frac{1}{4} \left(\frac{1}{4} e^{4(x-3)}\right) + C$
$= \frac{x}{4} e^{4(x-3)} - \frac{1}{16} e^{4(x-3)} + C$
可以提出公因式 $e^{4(x-3)}$：
$= e^{4(x-3)} \left(\frac{x}{4} - \frac{1}{16}\right) + C$
$= \frac{1}{16} e^{4(x-3)} (4x - 1) + C$
【答案】$\frac{1}{16} e^{4(x-3)} (4x - 1) + C$

C. $\int x(3-2x)^5 \, dx$

此積分可以使用換元積分法。
令 $u = 3-2x$。
則 $du = -2 \, dx$，所以 $dx = -\frac{1}{2} \, du$。
從 $u = 3-2x$，我們可以解出 $x$: $2x = 3-u \implies x = \frac{3-u}{2}$。

將 $x$ 和 $dx$ 用 $u$ 和 $du$ 表示，代入積分：
$\int x(3-2x)^5 \, dx = \int \left(\frac{3-u}{2}\right) u^5 \left(-\frac{1}{2} \, du\right)$
$= -\frac{1}{4} \int (3-u) u^5 \, du$
$= -\frac{1}{4} \int (3u^5 - u^6) \, du$
現在進行多項式的積分：

本題考查局部極值（Local Extrema）的求解，需要利用一階導數來尋找臨界點，並利用二階導數或極值檢定來判斷。

函數為 $f(x) = 2x^3 - 2x^2 - 3x + 2$，定義域為區間 $[-2, 3]$。

第一步：求一階導數並找出臨界點。
$f'(x) = \frac{d}{dx}(2x^3 - 2x^2 - 3x + 2) = 6x^2 - 4x - 3$

臨界點發生在 $f'(x) = 0$ 或 $f'(x)$ 不存在的地方。由於 $f'(x)$ 是多項式，它在所有實數上都存在。因此，我們只需要解 $f'(x) = 0$。
$6x^2 - 4x - 3 = 0$

使用二次公式求解 $x$：
$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$
其中 $a=6$, $b=-4$, $c=-3$。
$x = \frac{-(-4) \pm \sqrt{(-4)^2 - 4(6)(-3)}}{2(6)}$
$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 72}}{12}$
$x = \frac{4 \pm \sqrt{88}}{12}$
$x = \frac{4 \pm \sqrt{4 \cdot 22}}{12}$
$x = \frac{4 \pm 2\sqrt{22}}{12}$
$x = \frac{2 \pm \sqrt{22}}{6}$

兩個臨界點是：
$x_1 = \frac{2 - \sqrt{22}}{6}$
$x_2 = \frac{2 + \sqrt{22}}{6}$

我們需要檢查這兩個臨界點是否在定義域 $[-2, 3]$ 內。
$\sqrt{22}$ 大約是 $4.69$。
$x_1 \approx \frac{2 - 4.69}{6} = \frac{-2.69}{6} \approx -0.448$。這個值在 $[-2, 3]$ 內。
$x_2 \approx \frac{2 + 4.69}{6} = \frac{6.69}{6} \approx 1.115$。這個值也在 $[-2, 3]$ 內。

第二步：使用二階導數檢定來判斷極值。
$f''(x) = \frac{d}{dx}(6x^2 - 4x - 3) = 12x - 4$

• 對於 $x_1 = \frac{2 - \sqrt{22}}{6}$:
  $f''(x_1) = 12\left(\frac{2 - \sqrt{22}}{6}\right) - 4 = 2(2 - \sqrt{22}) - 4 = 4 - 2\sqrt{22} - 4 = -2\sqrt{22}$。
  由於 $f''(x_1) = -2\sqrt{22} < 0$，所以函數在 $x_1$ 處有局部極大值。

• 對於 $x_2 = \frac{2 + \sqrt{22}}{6}$:
  $f''(x_2) = 12\left(\frac{2 + \sqrt{22}}{6}\right) - 4 = 2(2 + \sqrt{22}) - 4 = 4 + 2\sqrt{22} - 4 = 2\sqrt{22}$。
  由於 $f''(x_2) = 2\sqrt{22} > 0$，所以函數在 $x_2$ 處有局部極小值。

第三步：計算極值。
局部極大值發生在 $x_1 = \frac{2 - \sqrt{22}}{6}$：
$f\left(\frac{2 - \sqrt{22}}{6}\right) = 2\left(\frac{2 - \sqrt{22}}{6}\right)^3 - 2\left(\frac{2 - \sqrt{22}}{6}\right)^2 - 3\left(\frac{2 - \sqrt{22}}{6}\right) + 2$
這個計算比較複雜，通常題目會要求計算在區間端點的函數值以求絕對極值。但此題只要求局部極值。

我們可以利用 $6x^2 = 4x + 3$ 來簡化計算。
$f(x) = 2x^3 - 2x^2 - 3x + 2$
$f'(x) = 6x^2 - 4x - 3$
$f''(x) = 12x - 4$

在 $x_1 = \frac{2 - \sqrt{22}}{6}$ 處，有局部極大值。
在 $x_2 = \frac{2 + \sqrt{22}}{6}$ 處，有局部極小值。

為了計算極值，我們需要將這些 $x$ 值代入 $f(x)$。
計算 $f(\frac{2 - \sqrt{22}}{6})$ 和 $f(\frac{2 + \sqrt{22}}{6})$。
這一步的計算量很大，我們直接給出結果。

核心觀念

繞 $x$ 軸旋轉平面區域，可用圓環法計算體積：

其中 $R(x)$ 是外半徑，$r(x)$ 是內半徑。

解題方法

題目中的 $y=x^{3/2}$ 與 $y=8$ 交於 $x=4$，而直線 $x=4$ 也通過交點 $(4,8)$。因此，若嚴格只取這三條曲線，並沒有形成非零面積的封閉區域。

以下依常見命題意圖，假設所求區域是在第一象限中，介於 $y=8$ 與 $y=x^{3/2}$ 之間，範圍為 $0\le x\le4$。旋轉後，外半徑為 $8$，內半徑為 $x^{3/2}$，所以