113 年 國立臺北大學都市計劃研究所甲組《微積分》

核心觀念

多項式函數在內點 $x=1$ 有極值時，必須滿足費馬定理：

$$f'(1)=0.$$

此外，題目給出 $f(3)=5$，可再建立一個方程式。

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解題方法

已知

$$f(x)=\frac13x^3-ax^2+bx+c.$$

先求導：

$$f'(x)=x^2-2ax+b.$$

因為 $x=1$ 為極值點，所以

$$f'(1)=1-2a+b=0,$$

因此

$$b=2a-1.$$

再利用 $f(3)=5$：

$$f(3)=\frac13(3)^3-a(3)^2+b(3)+c=5.$$

整理得

$$9-9a+3b+c=5.$$

代入 $b=2a-1$：

$$9-9a+3(2a-1)+c=5,$$ $$6-3a+c=5,$$

所以

$$c=3a-1.$$

因此係數只能表示為

$$\boxed{b=2a-1,\qquad c=3a-1}.$$

為確保 $x=1$ 確實為極值點，再看二階導數：

$$f''(x)=2x-2a,$$ $$f''(1)=2-2a.$$

核心觀念

求函數的局部極大值與局部極小值，主要使用一階導數判別法：

1. 先求臨界點：在定義域內滿足 $f'(x)=0$ 或 $f'(x)$ 不存在的點。
2. 檢查臨界點左右兩側的導數符號：
   • $f'(x)$ 由正變負：局部極大值。
   • $f'(x)$ 由負變正：局部極小值。
   • 若左右兩側導數同號，則不是局部極值。

本題為多項式函數，定義域為全體實數，且導數處處存在，因此只需解 $f'(x)=0$ 並判斷符號。

解題方法

給定

$$f(x)=\frac{1}{5}x^5+\frac{2}{3}x^3-4x^2+6x+3.$$

求一階導數：

$$f'(x)=x^4+2x^2-8x+6.$$

將其因式分解：

$$\begin{aligned} f'(x) &=x^4+2x^2-8x+6\\ &=(x^2-2x+1)(x^2+2x+5)\\ &=(x-1)^2(x^2+2x+5). \end{aligned}$$

其中

$$x^2+2x+5=(x+1)^2+4>0$$

對所有實數 $x$ 均成立，而

$$(x-1)^2\geq 0.$$

因此

$$f'(x)\geq 0$$

對所有實數 $x$ 成立，且只有在 $x=1$ 時

$$f'(1)=0.$$

在 $x=1$ 的左右兩側，皆有

$$f'(x)>0.$$

核心觀念

本題考查三角函數與對數函數的基本極限、等價無窮小，以及多項式因式分解。計算時先判斷代入後的型態：若分母趨近非零常數，可直接利用連續性；若出現相消，則使用等價無窮小或因式分解。

解題方法

A. $\displaystyle \lim_{x\to0}\left(\frac1x-\frac1{\sin x}\right)$

合併分式：

$$\frac1x-\frac1{\sin x} =\frac{\sin x-x}{x\sin x}$$

當 $x\to0$，使用 $\sin x=x-\frac{x^3}{6}+o(x^3)$，可得

$$\sin x-x=-\frac{x^3}{6}+o(x^3), \qquad x\sin x=x^2+o(x^2)$$

因此

$$\frac{\sin x-x}{x\sin x} = \frac{-\frac{x^3}{6}+o(x^3)}{x^2+o(x^2)} \longrightarrow 0$$

所以 A 的極限為 $0$。

B. $\displaystyle \lim_{y\to\frac{\pi}{2}}\left(\frac{\pi}{2}-y\right)\cot y$

令 $h=\frac{\pi}{2}-y$，則 $y\to\frac{\pi}{2}$ 時 $h\to0$，且

$$\cot y =\cot\left(\frac{\pi}{2}-h\right) =\tan h$$

原式化為

$$h\tan h$$

由 $\tan h\to0$ 且 $h\to0$，乘積趨近 $0$。所以 B 的極限為 $0$。

C. $\displaystyle \lim_{t\to1}\frac{\ln t}{t-\cos(\pi t)}$

本題要求計算四個不定積分或定積分。

A. $\int_0^3 x\sqrt{16-x^2} \, dx$

這是一個定積分。被積函數包含 $\sqrt{a^2-x^2}$ 的形式，通常使用三角換元法，但這裡的 $x$ 因子使得變數替換法更為簡便。
令 $u = 16 - x^2$。
則 $du = -2x \, dx$，所以 $x \, dx = -\frac{1}{2} du$。
當 $x=0$ 時，$u = 16 - 0^2 = 16$。
當 $x=3$ 時，$u = 16 - 3^2 = 16 - 9 = 7$。

將積分上下限和被積函數轉換為關於 $u$ 的形式：
$\int_{16}^7 \sqrt{u} \left(-\frac{1}{2} du\right) = -\frac{1}{2} \int_{16}^7 u^{1/2} \, du$
交換積分上下限並改變符號：
$\frac{1}{2} \int_7^{16} u^{1/2} \, du$
現在計算積分：
$\frac{1}{2} \left[ \frac{u^{1/2+1}}{1/2+1} \right]_7^{16} = \frac{1}{2} \left[ \frac{u^{3/2}}{3/2} \right]_7^{16} = \frac{1}{2} \left[ \frac{2}{3} u^{3/2} \right]_7^{16}$
$= \frac{1}{3} \left[ u^{3/2} \right]_7^{16} = \frac{1}{3} (16^{3/2} - 7^{3/2})$
計算 $16^{3/2} = (\sqrt{16})^3 = 4^3 = 64$。
計算 $7^{3/2} = (\sqrt{7})^3 = 7\sqrt{7}$。

所以，積分值為：
$\frac{1}{3} (64 - 7\sqrt{7})$

【答案】$\frac{1}{3} (64 - 7\sqrt{7})$

B. $\int x \cos x \, dx$

這是一個不定積分，被積函數是兩個函數的乘積，適合使用分部積分法。
分部積分公式：$\int u \, dv = uv - \int v \, du$。
選擇 $u = x$ 和 $dv = \cos x \, dx$。
則 $du = dx$ 和 $v = \int \cos x \, dx = \sin x$。

套用分部積分公式：
$\int x \cos x \, dx = x \sin x - \int \sin x \, dx$
現在計算 $\int \sin x \, dx = -\cos x$。
所以，
$\int x \cos x \, dx = x \sin x - (-\cos x) + C = x \sin x + \cos x + C$
其中 $C$ 是積分常數。

【答案】$x \sin x + \cos x + C$

C. $\int \frac{e^x + e^{-x}}{e^x - e^{-x}} \, dx$

這是一個不定積分。觀察被積函數的形式，分母是 $\frac{d}{dx}(e^x - e^{-x})$ 的形式。
令 $u = e^x - e^{-x}$。

本題要求找出通過給定點 $(1,1)$ 的曲線 $x^3 - 2x^2y + 2xy^3 = 1$ 的切線方程式。首先需要確認給定點是否在曲線上，然後計算曲線在該點的斜率。

步驟 1：確認點 $(1,1)$ 是否在曲線上。
將 $x=1, y=1$ 代入曲線方程式：
$1^3 - 2(1)^2(1) + 2(1)(1)^3 = 1 - 2(1)(1) + 2(1)(1) = 1 - 2 + 2 = 1$.
由於 $1=1$，所以點 $(1,1)$ 在曲線上。

步驟 2：利用隱函數微分法計算曲線在點 $(1,1)$ 的斜率。
對方程式 $x^3 - 2x^2y + 2xy^3 = 1$ 兩邊對 $x$ 微分：
$\frac{d}{dx}(x^3) - \frac{d}{dx}(2x^2y) + \frac{d}{dx}(2xy^3) = \frac{d}{dx}(1)$

計算各項的導數：
$\frac{d}{dx}(x^3) = 3x^2$

$\frac{d}{dx}(2x^2y)$ 使用乘法法則：
$2 \left( \frac{d}{dx}(x^2) \cdot y + x^2 \cdot \frac{d}{dx}(y) \right) = 2 \left( 2x \cdot y + x^2 \cdot \frac{dy}{dx} \right) = 4xy + 2x^2 \frac{dy}{dx}$

$\frac{d}{dx}(2xy^3)$ 使用乘法法則：

核心觀念

本題考查二重積分的積分區域判定，以及空集合上的積分：

$$\iint_{\varnothing} f(x,y)\,dA=0。$$

因此，計算前必須先確認不等式是否能同時成立。

解題方法

由題目給出的條件：

$$x\le y\le x-1。$$

這表示同一個 $y$ 必須同時滿足 $y\ge x$ 與 $y\le x-1$。但因為對所有實數 $x$ 都有

$$x>x-1，$$

所以不存在任何實數 $y$ 能滿足

$$x\le y\le x-1。$$

本題要求計算三個冪級數的收斂半徑。我們將對每個級數分別應用 ratio test (比值檢驗法) 或 root test (根值檢驗法)。

A. $\sum_{n=0}^{\infty} (x+1)^n$

這是一個幾何級數，形式為 $\sum_{n=0}^{\infty} r^n$。
在這裡，$r = x+1$。
幾何級數的收斂條件是 $|r| < 1$。
所以，我們需要 $|x+1| < 1$。
這表示 $-1 < x+1 < 1$。
減去 1，得到 $-2 < x < 0$。
收斂區間是 $(-2, 0)$。
收斂半徑 $R$ 是使得 $|x-a| < R$ 的 $R$ 值，其中 $a$ 是級數中心的點。
這個級數的中心是 $x = -1$ (因為是 $(x+1)^n = (x - (-1))^n$)。
收斂區間是 $(-1-1, -1+1) = (-2, 0)$。
所以，收斂半徑 $R=1$。

或者，使用 Ratio Test：
令 $a_n = (x+1)^n$。
$\lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{(x+1)^{n+1}}{(x+1)^n} \right| = \lim_{n \to \infty} |x+1|$
為了使級數收斂，我們需要這個極限小於 1：
$|x+1| < 1$.
這就是收斂的條件。級數的中心是 $x=-1$。
收斂半徑 $R=1$。

【答案】$R=1$

B. $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{2n+1}}{(n+1)!}$

我們使用 Ratio Test。
令 $a_n = \frac{x^{2n+1}}{(n+1)!}$。
則 $a_{n+1} = \frac{x^{2(n+1)+1}}{((n+1)+1)!} = \frac{x^{2n+3}}{(n+2)!}$。
$\lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{x^{2n+3}}{(n+2)!} \cdot \frac{(n+1)!}{x^{2n+1}} \right|$
$= \lim_{n \to \infty} \left| \frac{x^{2n+3}}{x^{2n+1}} \cdot \frac{(n+1)!}{(n+2)!} \right| = \lim_{n \to \infty} \left| x^2 \cdot \frac{1}{n+2} \right|$
$= |x^2| \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n+2} = |x^2| \cdot 0 = 0$
這個極限值 0 對於任何 $x$ 都小於 1。
因此，級數對於所有的 $x$ 都收斂。
這意味著收斂半徑是無限大。

【答案】$R = \infty$

C. $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(4x-5)^{2n+1}}{n^{3/2}}$

我們使用 Ratio Test。
令 $a_n = \frac{(4x-5)^{2n+1}}{n^{3/2}}$。
則 $a_{n+1} = \frac{(4x-5)^{2(n+1)+1}}{(n+1)^{3/2}} = \frac{(4x-5)^{2n+3}}{(n+1)^{3/2}}$。