108 年 國立臺灣大學工程科學及海洋工程學系碩士班丙組《電子學（A）》

核心觀念

此電路是以 NMOS M1 實現的共閘極放大器。分析中頻小訊號時：

• $C_{C1}$、$C_{C2}$ 視為短路。
• $V_{DD}$、$-V_{SS}$ 為交流接地。
• 理想 $100\,\mu\text{A}$ 電流源的小訊號等效為開路。
• $\lambda_n=0$，因此
  $r_o=\frac{1}{\lambda_n I_D}=\infty.$
• 直流工作電流為
  $I_D=100\,\mu\text{A}.$

MOSFET 相關公式為

$$I_D=\frac{1}{2}\mu_n C_{ox}\frac WL V_{OV}^2, \qquad g_m=\frac{2I_D}{V_{OV}},$$

其中 $V_{OV}=V_{GS}-V_{tn}$。

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(a) 小訊號等效電路

交流等效電路如下：

                    100 kΩ
       v_d=v_out ●──/\/\/──● AC ground
                  │
                  │  gm v_gs
                  │ 受控電流源
                  │
v_in ──75 Ω──● v_s ── M1 source
             │
             └── gate 為交流接地，v_gs = -v_s

因為 $C_{C2}$ 為短路，$40\,\text{k}\Omega$ 負載也接到輸出端對地，因此汲極所見負載為

$$R_D'=100\,\text{k}\Omega\parallel40\,\text{k}\Omega.$$

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(b) 求使 $R_{in}=75\,\Omega$ 的 $W/L$

從 NMOS source 端看入：

$$R_{in}=\frac{1}{g_m}.$$

匹配條件為

$$\frac{1}{g_m}=75\,\Omega \quad\Longrightarrow\quad g_m=\frac{1}{75}=13.33\,\text{mS}.$$

先求過驅電壓：

$$V_{OV}=\frac{2I_D}{g_m} =\frac{2(100\,\mu\text{A})}{13.33\,\text{mS}} =0.015\,\text{V}.$$

因此

$$\frac WL =\frac{2I_D}{\mu_n C_{ox}V_{OV}^2} =\frac{2(100\,\mu\text{A})} {(120\,\mu\text{A}/\text{V}^2)(0.015)^2}.$$ $$\boxed{\frac WL\approx7.41\times10^3}$$

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(c) 求小訊號增益 $v_{out}/v_{in}$

汲極等效負載為

核心觀念

本題考查利用運算放大器與電阻、電容合成「主動電感」。理想運算放大器可使用：

• 輸入端電流為零：$i_+=i_-=0$
• 負回授下兩輸入端電壓相等：$v_+=v_-$
• 電容阻抗：
  $Z_C=\frac{1}{sC},\qquad s=j\omega$
• 電感阻抗：
  $Z_L=sL$

因此，只要將此電路的輸入端等效阻抗化為 $s$ 乘上一個常數，即可得到等效電感。

解題方法與推導

令輸入端電壓與電流分別為 $v_{\text{in}}$、$i_{\text{in}}$。利用三個理想運算放大器的虛短、虛斷特性，可將主動電路化簡為電容與兩個電阻所形成的等效阻抗：

$$v_{\text{in}} = sC R_1R_2\,i_{\text{in}}$$

因此，輸入端等效阻抗為

$$Z_{\text{in}} = \frac{v_{\text{in}}}{i_{\text{in}}} = sC R_1R_2$$

與理想電感阻抗

$$Z_L=sL_{\text{eq}}$$

比較，可得

$$\boxed{L_{\text{eq}}=C R_1R_2}$$

由圖中數值：

$$R_1=1\,\text{k}\Omega,\qquad R_2=10\,\text{k}\Omega,\qquad C=10\,\text{pF}$$

所以

核心觀念

本題為兩支閘極交叉耦合的 PMOS 差動負電阻電路。依原圖，偏壓條件為

$$\frac{W}{L}=\frac{50}{1}=50,\qquad V_{SG}=V_{SD}=2.5\text{ V},\qquad |V_{TP}|=1\text{ V}$$

PMOS 的飽和區條件為

$$V_{SD}\ge V_{SG}-|V_{TP}|$$

代入得 $2.5\ge1.5$，因此兩支 PMOS 均工作於飽和區。

直流偏壓電流

過驅電壓為

$$V_{OV}=V_{SG}-|V_{TP}|=2.5-1=1.5\text{ V}$$

忽略通道長度調變時，PMOS 汲極電流為

$$I_D=\frac{1}{2}\mu_p C_{ox}\frac{W}{L}V_{OV}^2$$

因此

$$\begin{aligned} I_{DC} &=\frac{1}{2}(50\,\mu\text{A}/\text{V}^2)(50)(1.5)^2\\ &=2812.5\,\mu\text{A}\\ &=2.8125\text{ mA} \end{aligned}$$

圖中兩個電流源各自提供 $I_{DC}$；若計算整個電路的總直流電流，則為 $2I_{DC}=5.625\text{ mA}$。

小訊號輸入電阻

每支 PMOS 的跨導為

$$g_m=\mu_p C_{ox}\frac{W}{L}V_{OV}$$

故