108 年 國立臺灣大學工程科學及海洋工程學系碩士班乙組《材料力學（D）》

核心觀念

依圖取 $P_1、P_2$ 向右、$P_3$ 向左，並以拉力為正、壓力為負。各段軸向變形為

$$\delta_i=\frac{N_iL_i}{AE}$$

整根桿件的總變形為各段變形代數和：

$$\delta_{AD}=\sum_i\frac{N_iL_i}{AE}$$

其中

$$E=72\ \text{GPa}=72{,}000\ \text{N/mm}^2$$

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解題方法：求各段軸力

取剖面右側作受力分析：

$$N_{AB}=P_3-P_1-P_2 =5780-7560-5340=-7120\ \text{N}$$

因此 $AB$ 段受壓。

$$N_{BC}=P_3-P_2 =5780-5340=440\ \text{N}$$

因此 $BC$ 段受拉。

$$N_{CD}=P_3=5780\ \text{N}$$

因此 $CD$ 段受拉。

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(a) 全桿長度變化

各段長度為

$$L_{AB}=1525\ \text{mm},\qquad L_{BC}=610\ \text{mm},\qquad L_{CD}=916\ \text{mm}$$

截面積

$$A=250\ \text{mm}^2$$

所以

$$\begin{aligned} \delta_{AD} &=\frac{N_{AB}a+N_{BC}b+N_{CD}c}{AE}\\ &=\frac{(-7120)(1525)+(440)(610)+(5780)(916)} {(250)(72000)}\\ &=\frac{-10{,}858{,}000+268{,}400+5{,}294{,}480} {18{,}000{,}000}\\ &=-0.294\ \text{mm} \end{aligned}$$

負號代表總長度縮短。

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(b) 增加 $P_3$ 使總變形為零

設 $P_3$ 向左增加 $\Delta P$，則三段軸力均增加 $\Delta P$：

$$N'_{AB}=-7120+\Delta P$$ $$N'_{BC}=440+\Delta P$$ $$N'_{CD}=5780+\Delta P$$

令總變形為零：

核心觀念

本題考查圓軸扭轉強度。扭矩與功率的關係為

$$P=T\omega$$

在相同轉速下，要傳遞相同功率即代表接頭必須承受與原實心軸相同的扭矩。由於套筒與軸為同材質，兩者的容許剪應力相同，均記為 $\tau_{\mathrm{allow}}$。

關鍵在於：在兩段軸的接合面上，軸心並未連續，扭矩主要由套筒的環形截面傳遞。

解題方法

原實心軸直徑為 $d$，其極慣性矩為

$$J_s=\frac{\pi d^4}{32}, \qquad c_s=\frac d2$$

因此原實心軸的最大可傳遞扭矩為

$$T_s=\frac{\tau_{\mathrm{allow}}J_s}{c_s} =\frac{\pi}{16}\tau_{\mathrm{allow}}d^3$$

接合面處的套筒為外徑 $d_1$、內徑 $d$ 的中空圓軸，其極慣性矩為

$$J_c=\frac{\pi(d_1^4-d^4)}{32}$$

套筒外表面的半徑為 $c_c=d_1/2$，故套筒可傳遞的最大扭矩為

本題要求繪製懸臂梁的剪力圖 (Shear-Force Diagram, SFD) 和彎矩圖 (Bending-Moment Diagram, BMD)。

核心觀念： 懸臂梁受力分析、剪力與彎矩的定義、剪力圖與彎矩圖的繪製規則。

梁的定義：

• 梁 AB 為懸臂梁，固定端在 A，自由端在 B。
• 長度為 L。
• 在自由端 B 承受一個向下的集中載重 P。
• 在自由端 B 同時承受一個逆時針方向的力偶矩 $M_1 = PL/4$。

繪製剪力圖 (SFD) 和彎矩圖 (BMD) 的步驟：

1. 選擇基準點： 通常選擇自由端 B 開始，向固定端 A 分析。
2. 定義變數： 設在距離自由端 B 為 x 的位置（$0 \le x \le L$），繪製斷面。
3. 計算剪力 (V)： 剪力是斷面右側（或左側）所有垂直力的代數和。我們通常以向下的力為正。
4. 計算彎矩 (M)： 彎矩是斷面右側（或左側）所有力對斷面的力矩代數和。我們通常以引起梁上纖維受壓（樑向下彎曲）的力矩為正。

分析過程：

從自由端 B 開始向左分析 (0 < x < L)

• 剪力 (V)：
  在斷面 B 的右側（即梁的外部），只有一個向下的力 P。
  因此，在斷面 B 處，剪力 $V(x)$ 是一個常數。
  如果我們以右側的力為正，則 $V(x) = P$。
  然而，傳統上，對於懸臂梁，我們從自由端開始，將作用於自由端的力視為正剪力。
  在自由端 B 處，有一個向下的力 P。
  所以，對於 $0 \le x < L$，剪力 $V(x) = P$。
  剪力圖在 $x=0$ (B 端) 處為 $P$，並在整個梁長度上保持為常數 $P$。

• 彎矩 (M)：
  在距離自由端 B 為 x 的位置，受力 P 對此斷面產生的力矩為 $P \times x$。
  這個力 P 作用在自由端 B，將使梁向下彎曲，所以是負彎矩（或稱為拉應力在頂部，壓應力在底部）。
  在自由端 B 處，還額外有一個逆時針的力偶矩 $M_1 = PL/4$。
  如果我們定義向下彎曲為正彎矩（頂部受壓），則 P 產生的力矩為 $-Px$。
  力偶矩 $M_1$ 是逆時針的，它會使梁的頂部纖維受壓，所以也應該是負彎矩。

資訊說明與合理假設

原卷第 4 題位於第 1 頁，頁尾註明「見背面」；目前影像未包含背面的梁長、載重位置及截面尺寸，因此無法得到唯一的數值答案。以下依最常見情況假設：$AB$ 為跨距 $L$ 的簡支梁，中央承受向下集中力 $P$，截面為寬 $b$、高 $h$ 的矩形，忽略梁自重。

核心觀念

梁的彎曲正應力由彎矩造成：

$$\sigma=\frac{My}{I}$$

在最外側纖維處應力最大，因此

$$\sigma_{t,\max}=\frac{M_{\max}c_t}{I}, \qquad \sigma_{c,\max}=\frac{M_{\max}c_c}{I}$$

其中 $I$ 為截面對中性軸的慣性矩，$c_t$、$c_c$ 分別為中性軸至受拉、受壓最外側纖維的距離。

解題方法

由對稱性，兩端支承反力為

$$R_A=R_B=\frac{P}{2}$$

跨中彎矩最大：

$$M_{\max}=R_A\frac{L}{2} =\frac{P}{2}\frac{L}{2} =\frac{PL}{4}$$

矩形截面的截面性質為

$$I=\frac{bh^3}{12}, \qquad c_t=c_c=\frac{h}{2}$$

因此最大彎曲應力為

$$\sigma_{\max} =\frac{\left(\frac{PL}{4}\right)\left(\frac{h}{2}\right)} {\frac{bh^3}{12}} =\frac{3PL}{2bh^2}$$

向下集中力作用下，梁跨中上緣受壓、下緣受拉，所以

核心觀念

平面應力轉換可用莫耳圓或應力轉換公式處理。主平面上剪應力為零，兩個主應力是莫耳圓的左右端點；最大面內剪應力則等於莫耳圓半徑，其作用面上的正應力等於莫耳圓圓心。

解題方法

原卷第 5 題給定 $x$ 面正應力 $\sigma_x=2150\ \text{kPa}$、$y$ 面正應力 $\sigma_y=375\ \text{kPa}$，以及剪應力 $\tau_{xy}=-460\ \text{kPa}$。依圖示座標，$x$ 軸向右、$y$ 軸向上；以下令 $\theta$ 為由 $x$ 軸逆時針轉至 $x'$ 軸的角度，並以拉應力為正。

先求莫耳圓圓心與半徑：

$$\sigma_{\text{avg}}=\frac{\sigma_x+\sigma_y}{2} =\frac{2150+375}{2} =1262.5\ \text{kPa}$$ $$R=\sqrt{\left(\frac{\sigma_x-\sigma_y}{2}\right)^2+\tau_{xy}^{\,2}} =\sqrt{887.5^2+460^2} =999.6\ \text{kPa}$$

(a) 主應力與主平面方向

主應力為莫耳圓圓心加減半徑：

$$\sigma_1=\sigma_{\text{avg}}+R =1262.5+999.6 =2262.1\ \text{kPa}$$ $$\sigma_2=\sigma_{\text{avg}}-R =1262.5-999.6 =262.9\ \text{kPa}$$

主平面角度由剪應力轉換為零的條件求得：

$$\tan 2\theta_p=\frac{2\tau_{xy}}{\sigma_x-\sigma_y} =\frac{-920}{1775}$$

取對應較大主應力的方向，得 $\theta_p=-13.70^\circ$。因此，$x'$ 軸由 $x$ 軸順時針轉 $13.70^\circ$ 時，該面上的正應力為 $\sigma_1$；另一主方向與它垂直，角度為 $76.30^\circ$，正應力為 $\sigma_2$。兩個主平面上的剪應力皆為零。

                 ↑  σ₂ = 262.9 kPa
                 │
          ┌──────┼──────┐
          │      │      │
          └──────┼──────┘  →  σ₁ = 2262.1 kPa
                 │
        主軸方向：θₚ = −13.70°（相對 x 軸）
        主平面剪應力：τₓ′ᵧ′ = 0

(b) 最大面內剪應力與伴隨正應力

最大面內剪應力等於莫耳圓半徑，且有正、負兩個方向：

核心觀念

薄壁球形容器承受內外壓差時，球壁的膜應力為

$$\sigma=\frac{\Delta p\,r}{2t}$$

外壓大於內壓時，球壁承受壓縮應力。本題要先由指定的壓縮應力求出內外壓差，再加上罐內壓力，求水深處的外部水壓。

解題方法

圖中是半徑 $r=150\ \text{mm}$、壁厚 $t=13\ \text{mm}$ 的中空球形槽；題目給定槽內空氣壓力為 $140\ \text{kPa}$ 表壓，要求球壁壓縮應力達 $700\ \text{kPa}$ 時的深度 $D_0$。

球壁承受的壓差為

$$\Delta p =\frac{2t\sigma}{r} =\frac{2(13\ \text{mm})(700\ \text{kPa})}{150\ \text{mm}} =121.3\ \text{kPa}$$

此時外部水壓比槽內壓力高 $121.3\ \text{kPa}$，因此水深處的外部表壓為