109 年 國立臺灣大學工程科學及海洋工程學系碩士班乙組《材料力學（D）》

本題考驗材料力學中關於應力與安全因子的基本概念，以及柱體承受軸向壓力的應用。

首先，計算單一圓管柱的受力面積。
外徑 $d = 114$ mm，則外半徑 $R = d/2 = 114/2 = 57$ mm。
壁厚 $t = 10$ mm，則內半徑 $r = R - t = 57 - 10 = 47$ mm。
圓管柱的橫截面積 $A$ 為：
$A = \pi R^2 - \pi r^2 = \pi (R^2 - r^2)$
$A = \pi (57^2 - 47^2) = \pi (3249 - 2209) = \pi (1040)$ mm$^2$
$A \approx 3267.25$ mm$^2$

題目給定鑄鐵的極限抗壓強度 $\sigma_{ult} = 344.5$ MPa。
要求使用安全因子 (Factor of Safety, FOS) 為 4.0。
容許應力 (Allowable stress) $\sigma_{allow}$ 為：

本題考驗均佈扭矩作用下，圓軸內的剪應力與扭轉角計算。

題目描述為一長度為 $L$、直徑為 $d$ 的實心圓軸 $AB$，受到一個單位長度為 $\tau$ 的均佈扭矩作用。請注意，題目中給的 $\tau$ 單位應為扭矩/長度，例如 Nm/m。

核心觀念：
對於軸向受扭矩的圓桿，任意截面上的剪應力與扭轉角與受到的總扭矩、桿件幾何性質（長度、半徑）以及材料性質（剪力彈性模數）有關。

(a) 最大剪應力 $\tau_{max}$ 的計算

均佈扭矩的總扭矩 $T$ 為單位長度扭矩 $\tau$ 乘以總長度 $L$：
$T = \tau \times L$

對於實心圓軸，最大剪應力發生在圓軸的外緣（離圓心最遠處）。
剪應力公式為：$\tau = \frac{T \rho}{J}$，其中 $\rho$ 是離圓心的距離，而 $J$ 是極慣性矩。
最大剪應力發生在 $\rho = r = d/2$ 的地方。
圓軸的極慣性矩 $J$ 為：
$J = \frac{\pi d^4}{32}$

所以，最大剪應力 $\tau_{max}$ 為：
$\tau_{max} = \frac{T (d/2)}{J} = \frac{(\tau L) (d/2)}{\frac{\pi d^4}{32}}$
$\tau_{max} = \frac{\tau L d}{2} \times \frac{32}{\pi d^4} = \frac{16 \tau L}{\pi d^3}$

(b) 扭轉角 $\phi$ 的計算

對於受扭轉的圓軸，其扭轉角 $\phi$ 與總扭矩 $T$、長度 $L$、極慣性矩 $J$ 和剪力彈性模數 $G$ 有關。

核心觀念

本題考查：

• 靜力平衡求支承反力；
• 集中力、均佈自重與端部力矩造成的剪力與彎矩；
• 矩形梁最大彎曲應力與最大剪應力：

$$\sigma_{\max}=\frac{M_{\max}}{S}, \qquad S=\frac{bh^2}{6}$$ $$\tau_{\max}=\frac{3V_{\max}}{2bh}$$

其中梁高 $h=300\ \text{mm}=0.3\ \text{m}$，梁寬 $b$ 未知，且須計入梁本身重量。

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1. 求支承反力

設梁的自重均佈載重為 $q$：

$$q=\gamma bh=(5.5)(0.3)b=1.65b\ \text{kN/m}$$

其中 $b$ 以公尺計。

全梁長度為：

$$L+\frac{L}{3}=3.6+1.2=4.8\ \text{m}$$

自重合力為 $4.8q$，作用於距離 A 點 $2.4\ \text{m}$ 處。

依圖示，C 點施加順時針力矩：

$$M_C=\frac{PL}{2}=10.8\ \text{kN}\cdot\text{m}$$

垂直方向平衡：

$$R_A+R_B=18+4.8q$$

取 A 點力矩平衡：

$$R_B(3.6)-18(1.8)-q(4.8)(2.4)-10.8=0$$

因此：

$$R_B=12+3.2q$$ $$R_A=6+1.6q$$

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2. 彎曲應力設計

集中力作用點 D 位於主跨中央，距 A 點 $1.8\ \text{m}$。

D 點彎矩為：

$$M_D=R_A(1.8)-q\frac{(1.8)^2}{2}$$

代入 $R_A=6+1.6q$：

$$M_D=1.8(6+1.6q)-1.62q$$ $$M_D=10.8+1.26q$$

又因為：

$$q=1.65b$$

所以：

$$M_D=10.8+2.079b\quad \text{kN}\cdot\text{m}$$

其他重要位置：

$$M_B=-10.8-0.72q$$ $$M_C=-10.8\ \text{kN}\cdot\text{m}$$

由於 D 點的正彎矩絕對值最大，因此：

$$M_{\max}=10.8+2.079b\quad \text{kN}\cdot\text{m}$$

矩形截面抵抗矩為：

本題考驗平面應力轉換，包含應力轉換公式與莫爾圓的應用。

核心觀念：
當一個應力元件受到平面應力時，我們可以透過旋轉座標系來計算在新座標系下的應力分量。同時，莫爾圓可以視覺化這些應力轉換，並直接找出主應力與最大剪應力。

給定初始應力狀態為純剪應力：
$\sigma_x = 0$
$\sigma_y = 0$
$\tau_{xy} = 19$ MPa (假設為正，表示順時針剪應力或逆時針剪應力，圖示中箭頭指向右上方，通常表示 $\tau_{xy}$ 是正值，表示 x 面上的剪應力向上，y 面上的剪應力向右)。
根據圖示，19 MPa 作用在 x-y 平面上，且箭頭方向顯示為純剪。一般慣例，若 $\tau_{xy} > 0$，則 x 面受到的剪力向上，y 面受到的剪力向右。圖上顯示的 19 MPa 箭頭方向似乎與此慣例略有出入，但我們就以 $\tau_{xy} = 19$ MPa 作為純剪應力給定。

(a) 計算旋轉 $\theta = 52^\circ$ 後的應力分量

應力轉換公式為：
$\sigma_{x'} = \frac{\sigma_x + \sigma_y}{2} + \frac{\sigma_x - \sigma_y}{2} \cos(2\theta) + \tau_{xy} \sin(2\theta)$
$\sigma_{y'} = \frac{\sigma_x + \sigma_y}{2} - \frac{\sigma_x - \sigma_y}{2} \cos(2\theta) - \tau_{xy} \sin(2\theta)$
$\tau_{x'y'} = -\frac{\sigma_x - \sigma_y}{2} \sin(2\theta) + \tau_{xy} \cos(2\theta)$

代入已知值：$\sigma_x = 0$, $\sigma_y = 0$, $\tau_{xy} = 19$ MPa, $\theta = 52^\circ$。
$2\theta = 2 \times 52^\circ = 104^\circ$。
$\cos(104^\circ) \approx -0.2419$
$\sin(104^\circ) \approx 0.9703$

$\sigma_{x'} = \frac{0+0}{2} + \frac{0-0}{2} \cos(104^\circ) + 19 \sin(104^\circ)$
$\sigma_{x'} = 0 + 0 + 19 \times 0.9703 \approx 18.436$ MPa

$\sigma_{y'} = \frac{0+0}{2} - \frac{0-0}{2} \cos(104^\circ) - 19 \sin(104^\circ)$
$\sigma_{y'} = 0 - 0 - 19 \times 0.9703 \approx -18.436$ MPa

$\tau_{x'y'} = -\frac{0-0}{2} \sin(104^\circ) + 19 \cos(104^\circ)$
$\tau_{x'y'} = 0 + 19 \times (-0.2419) \approx -4.596$ MPa

所以，在新座標系 $(x', y')$ 下的應力為：
$\sigma_{x'} = 18.436$ MPa
$\sigma_{y'} = -18.436$ MPa
$\tau_{x'y'} = -4.596$ MPa

(b) 計算主應力

主應力發生在剪應力為零的平面上。
我們可以使用莫爾圓來找出主應力，或者使用主應力公式。

核心觀念

每支彎臂共同承受吊艙重量，因此單支彎臂的內力為

$$P=V=\frac{W}{2} =\frac{12\ \text{kN}}{2} =6\ \text{kN}$$

由於重量作用線與彎臂相距 $b=180\ \text{mm}$，單支彎臂同時承受彎矩

$$M=Pb=(6\ \text{kN})(180\ \text{mm}) =1.08\times10^6\ \text{N}\cdot\text{mm}$$

假設彎臂為實心圓截面，直徑為 $d$。

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解題方法

1. 正應力限制

實心圓截面的面積與截面慣性矩為

$$A=\frac{\pi d^2}{4}, \qquad I=\frac{\pi d^4}{64}, \qquad c=\frac d2$$

軸力造成的平均正應力：

$$\sigma_P=\frac{P}{A} =\frac{4P}{\pi d^2}$$

彎矩造成的最大彎曲正應力：

$$\sigma_M=\frac{Mc}{I} =\frac{32M}{\pi d^3}$$

危險側的最大拉應力為兩者相加，因此

$$\sigma_{\max} = \frac{4P}{\pi d^2} + \frac{32M}{\pi d^3} \leq 100\ \text{MPa}$$

代入 $P=6000\ \text{N}$、$M=1.08\times10^6\ \text{N}\cdot\text{mm}$：

核心觀念

本題考查懸臂梁受自由端集中力矩時的撓曲線。使用 Euler–Bernoulli 梁理論：

$$EI\frac{d^2v}{dx^2}=M(x)$$

其中：

• $E$：楊氏係數
• $I$：截面二次矩
• $v(x)$：梁的撓度
• $\theta(x)=dv/dx$：梁的斜率
• $L=AB$：懸臂梁長度

取 $x$ 軸由固定端 $A$ 指向自由端 $B$，$y$ 軸向上為正，逆時針轉角及向上撓度為正。

解題方法

梁長為 $L$，自由端 $B$ 施加逆時針力矩 $M_0$。由於外加力矩沿梁全長皆不變，任意位置的內力矩為常數：

$$M(x)=M_0$$

因此梁的曲率為：

$$EI\frac{d^2v}{dx^2}=M_0$$

整理得：

$$\frac{d^2v}{dx^2}=\frac{M_0}{EI}$$

第一次積分得到斜率：

$$\frac{dv}{dx}=\frac{M_0}{EI}x+C_1$$

固定端 $A$ 的轉角為零，因此

$$\left.\frac{dv}{dx}\right|_{x=0}=0$$

代入可得 $C_1=0$，故

$$\theta(x)=\frac{dv}{dx} =\frac{M_0x}{EI}$$

再積分一次得到撓曲線：

$$v(x)=\frac{M_0}{2EI}x^2+C_2$$

固定端 $A$ 的撓度為零：

$$v(0)=0$$