109 年 國立臺灣大學工程科學及海洋工程學系碩士班丙組《電子學（A）》

核心觀念

本題是典型的 NMOS 差動輸入對＋PMOS 疊接負載＋NMOS 疊接電流源，考查：

• 差動輸入對的同相端判斷
• MOSFET 飽和區平方律
• 電流鏡與偏壓電壓
• 輸入共模範圍
• 疊接電流源的輸出擺幅
• 小訊號跨導 $g_m$、輸出電阻 $r_o$
• 疊接式放大器增益與主極點

採用

$$I_D=\frac{1}{2}\mu C_{\mathrm{ox}}\frac WL V_{OV}^{\,2}, \qquad g_m=\sqrt{2\mu C_{\mathrm{ox}}\frac WL I_D}, \qquad r_o=\frac{1}{\lambda I_D}.$$

所有電晶體皆有

$$\frac WL=16.$$

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(a) 判斷非反相輸入端

當 $V_1$ 上升時，M1 電流增加；經由 PMOS 電流鏡負載後，輸出端注入的電流增加，因此 $V_o$ 上升。

因此：

$$\boxed{V_1\text{ 為非反相輸入端}}$$

而 $V_2$ 為反相輸入端。

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(b) 求 $V_{BN1}$ 與 $V_{BP1}$

1. 求 $V_{BN1}$

M3 的電流為

$$I_{D3}=250\,\mu\text{A}.$$

其過驅電壓為

$$V_{OV3} = \sqrt{\frac{2I_{D3}} {\mu_n C_{\mathrm{ox}}(W/L)}} = \sqrt{\frac{2(250)} {100(16)}}.$$

因此

$$V_{OV3}=0.559\text{ V}.$$

NMOS 的閘極電壓為

$$V_{BN1}=V_{SS}+V_{tn}+V_{OV3}.$$

代入 $V_{SS}=-5\text{ V}$、$V_{tn}=0.5\text{ V}$：

$$V_{BN1} = -5+0.5+0.559 = \boxed{-3.94\text{ V}}.$$

2. 求 $V_{BP1}$

以 M5 的指定電流

$$I_{D5}=200\,\mu\text{A}$$

求其過驅電壓：

$$V_{OV5} = \sqrt{\frac{2I_{D5}} {\mu_p C_{\mathrm{ox}}(W/L)}} = \sqrt{\frac{2(200)} {50(16)}}.$$

所以

$$V_{OV5}=0.707\text{ V}.$$

PMOS 的閘極電壓為

$$V_{BP1} = V_{DD}-|V_{tp}|-V_{OV5}.$$

因此

$$V_{BP1} = 5-0.5-0.707 = \boxed{3.79\text{ V}}.$$

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(c) 靜態功率消耗

由圖中上下電源支路：

• $V_{DD}$ 端供應 M4、M5 電流
• $V_{SS}$ 端承受 M3、M10、M11 電流

因此

$$I_{DD}=I_{D4}+I_{D5} =250+200 =450\,\mu\text{A}.$$

下方電源電流為

$$I_{SS}=I_{D3}+I_{D10}+I_{D11} =250+250+200 =700\,\mu\text{A}.$$

電源總電壓為

$$V_{DD}-V_{SS}=5-(-5)=10\text{ V}.$$

故靜態功率為

$$P_{\mathrm{static}} = 10(450+700)\,\mu\text{W}.$$

所以

$$\boxed{P_{\mathrm{static}}=11.5\text{ mW}}.$$

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(d) 輸入共模範圍

平衡操作時，尾電流平均分配：

$$I_{D1}=I_{D2}=\frac{I_{D3}}2 =125\,\mu\text{A}.$$

M1、M2 的過驅電壓為

$$V_{OV1} = \sqrt{\frac{2(125)} {100(16)}} = 0.395\text{ V}.$$

1. 下限 $ICMR^-$

M3 必須保持飽和，因此輸入對的共源節點最低為

$$V_S^{\min}=V_{SS}+V_{OV3}.$$

輸入電壓為

$$V_{CM,\min} = V_S^{\min}+V_{GS1} = V_{SS}+V_{OV3}+V_{tn}+V_{OV1}.$$

代入數值：

$$V_{CM,\min} = -5+0.559+0.5+0.395.$$

因此

$$\boxed{ICMR^-=-3.55\text{ V}}.$$

2. 上限 $ICMR^+$

輸入 NMOS 的汲極由上方兩個 PMOS 疊接電晶體限制。上方節點最高電壓為

$$V_D^{\max} = V_{DD}-|V_{tp}|-V_{OV4}-V_{OV6}.$$

對 $250\,\mu\text{A}$ 的 PMOS，

$$V_{OV4}=V_{OV6} = \sqrt{\frac{2(250)}{50(16)}} = 0.791\text{ V}.$$

又輸入 NMOS 飽和條件為

$$V_D\ge V_S+V_{OV1}.$$

因此

$$V_{CM,\max} = V_D^{\max}+V_{tn}.$$

代入：

$$V_{CM,\max} = 5-0.5-0.791-0.791+0.5.$$

所以

$$\boxed{ICMR^+=3.42\text{ V}}.$$

故輸入共模範圍為

$$\boxed{-3.55\text{ V}\le V_{CM}\le 3.42\text{ V}}.$$

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(e) 使輸出範圍最大的 $V_{BP2}$ 與 $V_{BN2}$

1. 上方 PMOS 疊接偏壓

輸出上限為

$$V_{o,\max} = V_{DD}-V_{OV5}-V_{OV7}.$$

M5、M7 皆承受約 $200\,\mu\text{A}$，因此

$$V_{OV5}=V_{OV7}=0.707\text{ V}.$$

PMOS 疊接管的偏壓為

$$V_{BP2} = V_{DD}-V_{OV5}-|V_{tp}|-V_{OV7}.$$

因此

$$V_{BP2} = 5-0.707-0.5-0.707 = \boxed{3.09\text{ V}}.$$

相應的輸出上限為

$$V_{o,\max} = 5-0.707-0.707 = \boxed{3.59\text{ V}}.$$

2. 下方 NMOS 疊接偏壓

下方輸出支路電流約為 $200\,\mu\text{A}$，其過驅電壓為

核心觀念

放大器具有三個極點，其開迴路傳遞函數可寫成

$$A(s)=\frac{A_0}{\left(1+\frac{s}{\omega_{p1}}\right) \left(1+\frac{s}{\omega_{p2}}\right) \left(1+\frac{s}{\omega_{p3}}\right)}$$

低頻增益為

$$A_0=10^{80/20}=10^4$$

三個極點頻率為

$$f_{p1}=1\text{ kHz},\qquad f_{p2}=1\text{ MHz},\qquad f_{p3}=100\text{ MHz}$$

幅值與相位分別為

$$|A(f)|= \frac{10^4} {\sqrt{ \left[1+\left(\frac{f}{1\text{ kHz}}\right)^2\right] \left[1+\left(\frac{f}{1\text{ MHz}}\right)^2\right] \left[1+\left(\frac{f}{100\text{ MHz}}\right)^2\right] }}$$ $$\angle A(f)= -\tan^{-1}\left(\frac{f}{1\text{ kHz}}\right) -\tan^{-1}\left(\frac{f}{1\text{ MHz}}\right) -\tan^{-1}\left(\frac{f}{100\text{ MHz}}\right)$$

相位裕度定義為

$$\mathrm{PM}=180^\circ+\angle A(f_{gc})$$

其中 $f_{gc}$ 是增益交越頻率，也就是 $|A(f_{gc})|=1$ 的頻率。

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(a) Bode plot

增益圖

低頻時增益為 $80$ dB。每遇到一個極點，斜率增加 $-20$ dB/decade。

頻率範圍	增益斜率	近似增益
$f<1$ kHz	$0$ dB/decade	$80$ dB
$1$ kHz 至 $1$ MHz	$-20$ dB/decade	$80-20\log_{10}(f/1\text{ kHz})$
$1$ MHz 至 $100$ MHz	$-40$ dB/decade	約由 $20$ dB 下降至 $-60$ dB
$f>100$ MHz	$-60$ dB/decade	持續下降

以漸近線估算：

• $1$ kHz：增益約 $80$ dB
• $1$ MHz：經過三個 decade，下降 $60$ dB，因此約為 $20$ dB
• $100$ MHz：再下降 $80$ dB，因此約為 $-60$ dB

增益曲線可用下列方式繪製：

1. 從 $1$ kHz 前的 $80$ dB 水平線開始。
2. $1$ kHz 後以 $-20$ dB/decade 下降。
3. $1$ MHz 後改為 $-40$ dB/decade。
4. $100$ MHz 後改為 $-60$ dB/decade。
5. 增益穿越 $0$ dB 的位置即為增益交越頻率。

利用精確幅值計算，令 $f$ 以 MHz 為單位：

$$1= \frac{10^4} {\sqrt{ \left[1+(1000f)^2\right] (1+f^2) \left[1+(0.01f)^2\right] }}$$

解得

$$f_{gc}\approx 3.08\text{ MHz}$$

因此，實際增益交越頻率約為 $3.08$ MHz。Bode 漸近線估算通常會得到約 $3.16$ MHz，兩者相當接近。

相位圖

每個一階極點的相位由 $0^\circ$ 逐漸變化至 $-90^\circ$，主要變化範圍約為極點頻率的 $0.1$ 倍至 $10$ 倍。

三個極點的相位貢獻為：

$$\phi_1=-\tan^{-1}\left(\frac{f}{1\text{ kHz}}\right)$$ $$\phi_2=-\tan^{-1}\left(\frac{f}{1\text{ MHz}}\right)$$ $$\phi_3=-\tan^{-1}\left(\frac{f}{100\text{ MHz}}\right)$$

總相位為三者相加。重要頻率附近的相位約如下：

頻率	總相位
$1$ kHz	$-50.7^\circ$
$10$ kHz	$-84.9^\circ$