109 年 國立臺灣大學工程科學及海洋工程學系碩士班丙組《近代物理》

核心觀念

本題考查近代物理發展史中五組重要研究者及其代表性貢獻。作答重點不是只列出人物與名詞，而是要說明：

1. 研究對象與物理問題。
2. 使用的實驗方法或理論工具。
3. 得到的主要發現。
4. 對現代物理的影響。

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解題方法

依人物逐一整理其「研究主題—方法—結論—影響」，即可完整回答。每小題占 $3\%$，建議每位人物以數句話交代代表性成果，避免只寫單一名詞。

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(a) Marie Curie（居禮夫人）

Marie Curie 的主要研究是放射性（radioactivity）。她研究鈾礦石所發出的穿透性輻射，發現放射性是原子本身的性質，而不是化合物或分子排列所造成的現象。

她與 Pierre Curie 進一步研究瀝青鈾礦，發現其中的放射性強度高於純鈾，因而推論礦石中含有尚未被發現的放射性元素，最後分離出：

• 釙（polonium, Po）
• 鐳（radium, Ra）

她的研究建立了放射性研究的重要基礎，也促成對原子內部結構與核反應的深入研究。放射性衰變可用指數律表示：

$$N(t)=N_0e^{-\lambda t},$$

其中 $\lambda$ 為衰變常數；半衰期為

$$T_{1/2}=\frac{\ln 2}{\lambda}.$$

居禮夫人因放射性研究獲得多項重要肯定，並於 $1911$ 年獲得諾貝爾化學獎。

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(b) Wilhelm Röntgen（倫琴）

Wilhelm Röntgen 的代表性研究是發現X 射線（X-rays）。

$1895$ 年，Röntgen 研究陰極射線管放電現象時，發現即使將放電管遮蔽，附近的螢光屏仍會發光。他判斷有一種未知、穿透力很強的輻射由放電管產生，並命名為 X 射線。

X 射線具有下列特性：

• 不帶電，因此不易受電場與磁場偏轉。
• 能穿透人體軟組織，但較容易被骨骼與金屬吸收。
• 可使螢光物質發光。
• 本質上是高能電磁波，現代觀點可視為高能光子。

X 射線的光子能量為

$$E=hf=\frac{hc}{\lambda}.$$

Röntgen 以妻子手部的 X 光影像展示其穿透能力，開創醫學影像技術與放射物理。X 射線的發現也證明自然界存在肉眼無法直接觀察的新型輻射，對近代物理與醫學均具有重大影響。

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(c) Ernest Rutherford（拉塞福）

Ernest Rutherford 的核心研究包括放射性衰變、原子核的發現，以及原子核模型的建立。

1. 放射性研究

Rutherford 將放射線分為 $\alpha$ 射線與 $\beta$ 射線，並研究其在電場與磁場中的偏轉：

• $\alpha$ 粒子帶正電。
• $\beta$ 粒子本質上是高速電子，帶負電。
• 後來的研究顯示，放射性衰變會使元素轉變為另一種元素。

他提出放射性衰變具有統計性的指數律：

$$N=N_0e^{-\lambda t}.$$

2. 金箔散射實驗與原子核

Rutherford 的研究團隊以 $\alpha$ 粒子轟擊薄金箔，觀察散射角度。大多數 $\alpha$ 粒子幾乎直穿金箔，少數發生大角度偏轉，極少數甚至反彈。

此結果表示：

• 原子大部分是空間。
• 原子的正電荷與幾乎全部質量集中在極小區域。
• 這個核心稱為原子核（nucleus）。

因此，他否定了正電荷均勻分布的 Thomson 原子模型，提出 Rutherford 原子模型。

對庫侖散射而言，散射角與撞擊參數、粒子能量及核電荷有關；定性上，粒子越接近原子核，受到的庫侖斥力越強，散射角越大。其庫侖位能為

$$U(r)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{Zze^2}{r}.$$

Rutherford 的原子核模型奠定了核物理與後續 Bohr 原子模型的基礎。$1919$ 年，他又以 $\alpha$ 粒子轟擊氮原子核，觀察到質子的產生，完成首次人工核反應之一。

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(d) Hendrik Casimir（卡西米爾）

Hendrik Casimir 的代表性研究是量子真空與 Casimir effect（卡西米爾效應）。

在量子場論中，即使沒有真實粒子存在，電磁場仍具有零點能量。兩片彼此平行、距離為 $a$ 的理想導體平板會限制電磁場允許的模態，使平板內外的真空能量不同，因而產生吸引力。

理想導體平板間單位面積的 Casimir 力為

$$\frac{F}{A} = -\frac{\pi^2\hbar c}{240a^4},$$

其中負號代表吸引力，$\hbar$ 是約化普朗克常數，$c$ 是光速。

相對應的真空能量密度可寫為

$$\frac{E}{A} = -\frac{\pi^2\hbar c}{720a^3}.$$

Casimir 效應的重要意義在於：真空不是完全空無一物，而是具有可影響可觀測物理量的量子場結構。

核心觀念

本題考查光子的 Compton effect（康普頓效應）。X 光子與近似自由、初始靜止的電子碰撞後，光子波長增加，部分能量與動量轉移給電子。

康普頓波長位移公式為

$$\Delta \lambda=\lambda'-\lambda =\frac{h}{m_ec}(1-\cos\theta),$$

其中：

• $\lambda$：入射光子波長
• $\lambda'$：散射後光子波長
• $\theta$：光子的散射角
• $\dfrac{h}{m_ec}=2.426\ \text{pm}$：電子的 Compton wavelength

此外，利用動量守恆：

$$\vec p_i=\vec p_f+\vec p_e,$$

其中 $p_i,p_f$ 分別為入射與散射光子的動量，$p_e$ 為反衝電子動量。

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(a) X 光波長的改變量

已知

$$\lambda=80\ \text{pm},\qquad \theta=120^\circ.$$

由康普頓位移公式，

$$\Delta\lambda =\frac{h}{m_ec}(1-\cos120^\circ).$$

因為

$$\cos120^\circ=-\frac12,$$

所以

$$\Delta\lambda =(2.426\ \text{pm}) \left(1+\frac12\right)$$ $$\boxed{\Delta\lambda=3.64\ \text{pm}}.$$

因此散射後光子的波長為

$$\lambda'=\lambda+\Delta\lambda =80+3.64$$ $$\boxed{\lambda'=83.64\ \text{pm}}.$$

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(b) 反衝電子與入射光子方向的夾角

光子動量為

$$p=\frac{h}{\lambda}.$$

因此

$$\frac{p_f}{p_i} =\frac{\lambda}{\lambda'} =\frac{80}{83.64} \approx0.9565.$$

設反衝電子與入射光子方向的夾角為 $\phi$。由動量向量關係

$$\vec p_e=\vec p_i-\vec p_f,$$

可得反衝電子動量的分量：

• 垂直入射方向分量：

$$p_{e,y}=p_f\sin\theta$$

• 平行入射方向分量：

$$p_{e,x}=p_i-p_f\cos\theta$$

因此

$$\tan\phi =\frac{p_f\sin\theta}{p_i-p_f\cos\theta}.$$

除以 $p_i$，得到

$$\tan\phi =\frac{(p_f/p_i)\sin120^\circ} {1-(p_f/p_i)\cos120^\circ}.$$

代入 $p_f/p_i=0.9565$：

核心觀念

本題考查中子的德布羅意物質波與晶體繞射。中子通過晶體時，若相鄰原子平面反射出的物質波彼此同相，便會產生建設性干涉，需滿足布拉格定律：

$$n\lambda=2d\sin\theta$$

其中：

• $n=1,2,3,\ldots$ 為繞射階數；
• $\lambda$ 為中子的德布羅意波長；
• $d$ 為相鄰原子平面間距；
• $\theta$ 為入射中子與晶面所夾的角度。

題目問的是「相對於原始入射方向」的繞射角，因此最後應報告的角度是 $2\theta$，不是 $\theta$。

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解題方法

先由中子的動能求其德布羅意波長：

$$\lambda=\frac{h}{p}$$

非相對論性中子的動能為

$$K=\frac{p^2}{2m_n}$$

因此

$$p=\sqrt{2m_nK}$$

代入

$$K=0.05\ \text{eV} =0.05(1.602\times10^{-19})\ \text{J}$$

以及

$$m_n=1.675\times10^{-27}\ \text{kg}, \qquad h=6.626\times10^{-34}\ \text{J}\cdot\text{s},$$

得到

$$\lambda = \frac{6.626\times10^{-34}} {\sqrt{2(1.675\times10^{-27}) (0.05)(1.602\times10^{-19})}}$$ $$\lambda\approx1.28\times10^{-10}\ \text{m} =0.128\ \text{nm}$$

晶面間距為

$$d=0.2\ \text{nm}$$

代入布拉格定律：

$$n(0.128)=2(0.2)\sin\theta$$

因此

$$\sin\theta=0.320n$$

必須滿足 $\sin\theta\leq1$，所以允許的階數為

參考書等級：大學部《大學物理（上）/近代物理》

(a) Bohr 軌道之旋轉頻率

$$f_n=\frac{v_n}{2\pi r_n},\qquad r_n=n^{2}a_0,\;v_n=\frac{v_1}{n},\; a_0=5.29\times10^{-11}\,\text{m},\; v_1=\alpha c=2.19\times10^{6}\,\text{m/s}$$ $$\begin{aligned} n=1:&\;f_1=\frac{2.19\times10^{6}}{2\pi(5.29\times10^{-11})}=6.6\times10^{15}\,\text{Hz}\\[4pt] n=2:&\;f_2=\frac{2.19\times10^{6}/2}{2\pi(4a_0)}= \frac{1.095\times10^{6}}{2\pi(2.116\times10^{-10})}=8.2\times10^{14}\,\text{Hz} \end{aligned}$$

(b) 由 $n=2\rightarrow n=1$ 輻射光子的頻率

從三維球形方形井

$$V(r)=\begin{cases} - V_{0}\;(V_{0}=70\ \text{MeV}), & r<R\\[2pt] 0, & r\ge R\;(R=1.42\times10^{-13}\,\text{cm}) \end{cases}$$

的定態 Schrödinger 方程

$\left[-\frac{\hbar^{2}}{2\mu}\nabla^{2}+V(r)\right]\psi=E\psi\qquad (E<0)$

寫成徑向方程（分離變數）

$$\frac{d^{2}u_{l}}{dr^{2}}+\left[k^{2}-\frac{l(l+1)}{r^{2}}\right]u_{l}=0 \quad\text{(內部， }k^{2}=2\mu(V_{0}+|E|)/\hbar^{2})$$ $$\frac{d^{2}u_{l}}{dr^{2}}-\kappa^{2}u_{l}=0 \quad\text{(外部， }\kappa^{2}=2\mu|E|/\hbar^{2})$$

在井內須滿足 $u_{l}(0)=0$，故解為球面 Bessel 函數

$u_{l}(r)\propto j_{l}(kr)$

在井外 $u_{l}(r)\propto h^{(1)}_{l}(i\kappa r)$（指數衰減）。
匹配 $r=R$ 處的波函與導數得到離散條件（對每個 $l$）

$$\frac{j'_{l}(kR)}{j_{l}(kR)}= -\frac{\kappa}{k}\frac{h^{(1)'}_{l}(i\kappa R)}{h^{(1)}_{l}(i\kappa R)} .$$

對深而寬的井，可用半經典近似：對給定 $l$ 的最大徑向節點數 $n_{\max }(l)$ 為

$$n_{\max }(l)=\Big\lfloor\frac{1}{\pi}\sqrt{x_{0}^{2}-l(l+1)}\;\Big\rfloor , \qquad x_{0}\equiv k_{0}R,\; k_{0}\equiv\sqrt{\frac{2\mu V_{0}}{\hbar^{2}}}.$$

參數計算

$\mu =2200\,m_{e}=2200\times9.109\times10^{-31}\,\text{kg}=2.00\times10^{-27}\,\text{kg}$

$V_{0}=70\ \text{MeV}=1.121\times10^{-11}\ \text{J}$

核心觀念

內層電子殼層已閉合，因此其總軌道角動量與總自旋角動量皆為零：

$$L_{\text{core}}=0,\qquad S_{\text{core}}=0$$

所以原子的總角動量 $J$ 完全由最外層單一電子決定。該電子具有：

• 軌道角動量量子數：$l$
• 自旋角動量量子數：$s=\dfrac12$

在 LS 耦合下，總角動量量子數 $j$ 可取

$$j=|l-s|,\ |l-s|+1,\ldots,l+s$$

由於閉殼層不貢獻角動量，原子的總角動量即為

$$J=j$$

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解題方法

先將光譜符號轉換為軌道角動量量子數：

$$P\Rightarrow l=1,\qquad D\Rightarrow l=2$$

再與電子自旋 $s=\dfrac12$ 進行角動量合成。

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（a）P 狀態

P 狀態代表

$$l=1$$

因此

$$J=|1-\tfrac12|,\ldots,1+\tfrac12$$

可得

$$J=\frac12,\frac32$$

因此 P 狀態可分裂為兩個精細結構能階，其項符號為

$${}^2P_{1/2},\qquad {}^2P_{3/2}$$