109 年 國立臺灣大學工程科學及海洋工程學系碩士班丙組《動力學（C）》

本題主要考驗對速度－時間圖的解析能力，以及如何由速度－時間圖推導出位移－時間圖和加速度－時間圖。

核心觀念：

1. 位移與速度的關係： 位移是速度對時間的積分，即速度－時間圖下的面積代表位移。
2. 加速度與速度的關係： 加速度是速度對時間的微分，即速度－時間圖的斜率代表加速度。

解題步驟：

第一部分：求總位移

速度－時間圖可以分成兩個階段：

• 階段一： $0 \le t \le 30$ s。在此區間，速度函數為 $v(t) = t$。
• 階段二： $30 < t \le 90$ s。在此區間，速度函數為 $v(t) = -0.5t + 45$。

汽車在 $t=90$ s 時停止，因為此時速度為零（$v(90) = -0.5 \times 90 + 45 = -45 + 45 = 0$）。

總位移即為速度－時間圖在 $0 \le t \le 90$ s 區間下的總面積。

• 階段一的位移 ($\Delta x_1$)：
  此為一個底為 30 s，高為 30 m/s 的三角形面積。
  $\Delta x_1 = \frac{1}{2} \times \text{底} \times \text{高} = \frac{1}{2} \times 30 \text{ s} \times 30 \text{ m/s} = 450 \text{ m}$
  或者，積分計算：
  $\Delta x_1 = \int_0^{30} v(t) dt = \int_0^{30} t dt = \left[ \frac{1}{2} t^2 \right]_0^{30} = \frac{1}{2} (30^2) - 0 = \frac{900}{2} = 450 \text{ m}$

• 階段二的位移 ($\Delta x_2$)：
  此為一個梯形面積，上底為 $v(30) = 30$ m/s，下底為 $v(90) = 0$ m/s，高為 $90 - 30 = 60$ s。
  $\Delta x_2 = \frac{1}{2} \times (\text{上底} + \text{下底}) \times \text{高} = \frac{1}{2} \times (30 \text{ m/s} + 0 \text{ m/s}) \times 60 \text{ s} = \frac{1}{2} \times 30 \times 60 = 900 \text{ m}$
  或者，積分計算：
  $\Delta x_2 = \int_{30}^{90} v(t) dt = \int_{30}^{90} (-0.5t + 45) dt = \left[ -0.25t^2 + 45t \right]_{30}^{90}$
  $= (-0.25(90)^2 + 45(90)) - (-0.25(30)^2 + 45(30))$
  $= (-0.25 \times 8100 + 4050) - (-0.25 \times 900 + 1350)$
  $= (-2025 + 4050) - (-225 + 1350) = 2025 - 1125 = 900 \text{ m}$

• 總位移 ($\Delta x_{total}$):
  $\Delta x_{total} = \Delta x_1 + \Delta x_2 = 450 \text{ m} + 900 \text{ m} = 1350 \text{ m}$

第二部分：繪製位移－時間圖 ($x$ vs. $t$)

位移 $x(t)$ 是速度 $v(t)$ 對時間的積分。我們假設 $x(0) = 0$。

本題考驗相對速度的概念，特別是在有水流影響下的船隻航行問題。需要利用向量分解與合成來求解。

核心觀念：

• 向量合成： 船隻的實際速度（對地的速度）是船隻在靜水中的速度（船速）與水流速度（水速）的向量和。
• 相對速度： $\vec{v}_{\text{boat/ground}} = \vec{v}_{\text{boat/water}} + \vec{v}_{\text{water/ground}}$。
  • $\vec{v}_{\text{boat/ground}}$：船隻對地的速度 (Ground velocity of the boat)。
  • $\vec{v}_{\text{boat/water}}$：船隻在靜水中的速度 (Velocity of the boat relative to water)，其大小為 16 km/h。
  • $\vec{v}_{\text{water/ground}}$：水流對地的速度 (Velocity of the water relative to ground)，其大小為 4 km/h。

解題步驟：

1. 定義向量與座標系統：

   • 設目的地方向為 x 軸正方向。
   • 水流速度 $\vec{v}_w$ 的方向與目的地方向（x 軸）夾角為 $70^\circ$。
   • 船隻在靜水中的速度 $\vec{v}_b$ 的大小為 $|\vec{v}_b| = 16$ km/h。
   • 水流速度 $\vec{v}_w$ 的大小為 $|\vec{v}_w| = 4$ km/h。
   • 船隻實際對地的速度 $\vec{v}_g$ 必須沿著目的地方向（x 軸正方向），所以 $\vec{v}_g = (v_g, 0)$，其中 $v_g > 0$。
   • 船隻在靜水中的速度 $\vec{v}_b$ 方向未知，設其與 x 軸（目的地方向）夾角為 $\theta$。所以 $\vec{v}_b = (16 \cos\theta, 16 \sin\theta)$。
   • 水流速度 $\vec{v}_w$ 的方向與 x 軸夾角為 $70^\circ$。所以 $\vec{v}_w = (4 \cos 70^\circ, 4 \sin 70^\circ)$。

2. 建立向量方程式：
   根據相對速度公式：$\vec{v}_g = \vec{v}_b + \vec{v}_w$
   將各向量分量代入：
   $(v_g, 0) = (16 \cos\theta, 16 \sin\theta) + (4 \cos 70^\circ, 4 \sin 70^\circ)$

3. 分量方程：

   • y 方向分量：
     $0 = 16 \sin\theta + 4 \sin 70^\circ$
     $16 \sin\theta = -4 \sin 70^\circ$
     $\sin\theta = -\frac{4 \sin 70^\circ}{16} = -\frac{\sin 70^\circ}{4}$

   • x 方向分量：
     $v_g = 16 \cos\theta + 4 \cos 70^\circ$

4. 求解 $\theta$：
   首先計算 $\sin 70^\circ$ 的近似值。
   $\sin 70^\circ \approx 0.9397$
   $\sin\theta = -\frac{0.9397}{4} \approx -0.2349$

   現在我們需要找到 $\theta$。由於 $\sin\theta$ 是負值，表示 $\theta$ 在第三或第四象限。從物理意義上講，船隻為了抵銷水流的影響，必須稍微逆著水流或側向調整方向。觀察圖形，目的地是沿著某個方向（假設是右邊），水流是從左下方往右上方（約 70 度角），船隻的靜水速度要能夠合成出一個對地速度指向目的地。為了抵銷水流的垂直分量，船隻的靜水速度的垂直分量必須與水流的垂直分量大小相等方向相反。

   我們從 y 方向的分量方程 $16 \sin\theta = -4 \sin 70^\circ$ 得到 $\sin\theta$ 的值。

本題考驗圓周運動中的向心加速度與力的概念，以及如何應用在飛行器繞垂直曲線運動的情境。

核心觀念：

1. 向心加速度： 物體沿半徑為 $r$ 的圓周運動時，其向心加速度 $a_n = \frac{v^2}{r}$，方向指向圓心。
2. 牛頓第二運動定律： $\sum \vec{F} = m\vec{a}$。在圓周運動中，合力在徑向上的分量提供向心力。
3. 垂直曲線運動： 在垂直平面上的圓周運動，重力會改變合力在徑向上的分量。

解題步驟：

第一部分：求最大恆定速度 $v$

題目給定最大允許的向心加速度 $a_n = 8g = 78.5$ m/s²，以及曲率半徑 $\rho = 800$ m。
向心加速度的公式為 $a_n = \frac{v^2}{\rho}$。
我們需要求解 $v$。

$a_n = \frac{v^2}{\rho}$
$v^2 = a_n \times \rho$
$v = \sqrt{a_n \times \rho}$
代入數值：
$v = \sqrt{78.5 \text{ m/s}^2 \times 800 \text{ m}}$
$v = \sqrt{62800} \text{ m/s}$
$v \approx 250.6 \text{ m/s}$

此為飛行員可以承受的最大恆定速度，以確保向心加速度不超過 $8g$。

第二部分：求最低點時的法向力 $N$

當飛機在垂直曲線的最低點時，其運動軌跡是向上彎曲的。
在此點，作用在飛行員身上的力有：

1. 重力 ($W$)： 方向向下，大小為 $W = mg$。
2. 法向力 ($N$)： 飛機座位對飛行員的支持力，方向向上。

由於飛機正在做圓周運動，在最低點，合力在徑向（向上）必須提供向心力。
徑向上的合力為 $N - W$。
向心加速度的方向是指向圓心，在最低點時，圓心在飛行員的上方，所以向心加速度方向向上。

本題考驗動量守恆定律和能量守恆定律（或功-能定理）的綜合應用。首先利用動量守恆求出碰撞後的瞬間速度，然後利用功-能定理或牛頓第二運動定律與運動學公式求出滑行距離。

核心觀念：

1. 動量守恆定律： 在沒有外力的系統中，總動量保持不變。碰撞過程通常可以視為動量守恆的範例。
2. 功-能定理： 物體動能的變化量等於外力對物體所做的總功。
3. 動摩擦力： 當物體相對運動時，動摩擦力做負功，將動能轉化為熱能。

解題步驟：

第一部分：碰撞過程（動量守恆）

• 系統： 子彈 + 靜止的木塊。

• 外力： 在碰撞的極短時間內，外力（重力、支持力）遠小於內力（子彈與木塊之間的碰撞力），因此可以近似認為系統動量守恆。

• 狀態：

  • 碰撞前：子彈速度 $v_b = 400$ m/s，質量 $m_b = 20$ g $= 0.02$ kg。木塊速度 $v_w = 0$，質量 $m_w = 2$ kg。
  • 碰撞後（瞬間）：子彈嵌入木塊，兩者一起以共同速度 $V$ 移動。

• 動量守恆方程式：
  $m_b v_b + m_w v_w = (m_b + m_w) V$
  $(0.02 \text{ kg}) \times (400 \text{ m/s}) + (2 \text{ kg}) \times (0 \text{ m/s}) = (0.02 \text{ kg} + 2 \text{ kg}) V$
  $8 \text{ kg} \cdot \text{m/s} = (2.02 \text{ kg}) V$
  $V = \frac{8}{2.02} \text{ m/s} \approx 3.96 \text{ m/s}$
  這是子彈嵌入木塊後的瞬間速度。

第二部分：木塊滑行過程（功-能定理）

• 系統： 木塊（含嵌入的子彈）。

• 初狀態： 木塊速度 $V \approx 3.96$ m/s，動能 $K_i = \frac{1}{2}(m_b + m_w)V^2$。

• 末狀態： 木塊停止，速度為 0，動能 $K_f = 0$。

• 外力：

  • 重力：垂直向下，不做功。
  • 支持力：垂直向上，不做功。
  • 動摩擦力：方向與運動方向相反，做負功。

• 動摩擦力計算：
  木塊（含子彈）的總質量 $M = m_b + m_w = 2.02$ kg。
  垂直方向受重力 $W = Mg$ 和支持力 $N$。由於平面是水平的，所以 $N = W = Mg$。
  動摩擦力 $f_k = \mu_k N = \mu_k Mg$。
  $f_k = 0.2 \times (2.02 \text{ kg}) \times (9.8 \text{ m/s}^2) \approx 0.2 \times 19.796 \text{ N} \approx 3.96 \text{ N}$