109 年 國立臺灣大學工程科學及海洋工程學系碩士班乙組《工程力學（僅考靜力學及動力學）》

核心觀念

本題考查：

1. 矩形面積的形心位置。
2. 矩形對形心軸的面積慣性矩。
3. 慣性矩由 $x,y$ 軸轉換至傾斜 $u,v$ 軸的公式。

由圖可知，截面為寬 $175\ \text{mm}$、高 $400\ \text{mm}$ 的矩形；$y$ 軸距離矩形左側 $20\ \text{mm}$，且 $u$ 軸由 $x$ 軸順時針旋轉 $60^\circ$。

解題方法

(a) 形心位置

矩形自身的形心距左側為

$$\frac{175}{2}=87.5\ \text{mm}$$

因此，相對於圖示 $y$ 軸：

$$\tilde{x}=87.5-20=67.5\ \text{mm}$$

形心位於圖示 $y$ 軸右側 $67.5\ \text{mm}$。

(b) 對 $u,v$ 軸的慣性矩

先求矩形對形心 $x,y$ 軸的慣性矩：

$$I_x=\frac{bh^3}{12} =\frac{(175)(400)^3}{12} =9.3333\times10^8\ \text{mm}^4$$ $$I_y=\frac{hb^3}{12} =\frac{(400)(175)^3}{12} =1.78646\times10^8\ \text{mm}^4$$

由於矩形關於形心 $x,y$ 軸對稱：

$$I_{xy}=0$$

令 $u$ 軸相對於 $x$ 軸的旋轉角為

$$\theta=-60^\circ$$

轉軸公式為

$$I_u=\frac{I_x+I_y}{2} +\frac{I_x-I_y}{2}\cos 2\theta -I_{xy}\sin 2\theta$$

核心觀念

本題使用平衡條件：

$\sum F_y=0$

由圖形對稱性，左右兩側對 bar $AB$ 的作用力相等，因此每側承受總力的一半。已知：

• 人的重量：$W_m=875\ \text{N}$
• 平台重量：$W_p=150\ \text{N}$
• 人與平台總重量：

$W_m+W_p=875+150=1025\ \text{N}$

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解題方法

（a）第一種方法

由圖可知，bar $AB$ 承受人與平台的總重量。左右兩側對稱分擔，因此每側受力為

$\frac{1025}{2}=512.5\ \text{N}$

所以人對 bar $AB$ 所施加的總力為

$F=2(512.5)=1025\ \text{N}$

對人體作垂直方向受力分析。bar 對人的作用力方向向下，大小為 $F=1025\ \text{N}$；平台對人的正向力為 $N_C$，方向向上。因此

$\sum F_y=0$

$N_C-875-1025=0$

$N_C=1900\ \text{N}$

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（b）第二種方法

此配置下，bar $AB$ 對人的作用力方向向上，且左右兩手平均分擔。每手所受作用力為

核心觀念

連續分布載重可用等效合力 $F_R$ 取代，其大小等於載重圖形面積，作用位置由力矩定理決定：

$$F_R=\int_0^L w(x)\,dx$$ $$F_R\bar{x}=\int_0^L xw(x)\,dx$$

圖中 $A$ 到 $B$ 的接觸長度為 $L=0.15\ \text{m}$，載重強度由 $A$ 點的 $200\ \text{N/m}$ 以拋物線形式增加至 $B$ 點的 $300\ \text{N/m}$。

解題方法

依圖示拋物線在 $A$ 點斜率為零，可表示為

$$w(x)=200+\left(300-200\right)\left(\frac{x}{0.15}\right)^2$$

因此

$$w(x)=200+\frac{100}{(0.15)^2}x^2$$

其中 $x$ 自點 $A$ 起算。

合力為

$$F_R=\int_0^{0.15} \left(200+\frac{100}{0.15^2}x^2\right)dx$$

核心觀念

本題考查：

• 功與能原理
• 重力位能變化
• 不可伸長繩索的速度約束
• 滑輪系統中的位移關係

由圖可知，$B$ 受到向左的 $150\ \text{N}$ 力，移動至左側支座 $C$，距離為

$$s_B=600\ \text{mm}=0.6\ \text{m}.$$

滑輪固定在 $B$ 上，$B$ 向左移動時，繩索的兩段水平部分各增加相同長度，因此懸掛的 $3\ \text{kg}$ 物體 $A$ 上升：

$$s_A=2s_B=2(0.6)=1.2\ \text{m}.$$

同理，速度關係為

$$v_A=2v_B.$$

假設繩索與滑輪皆為無質量且無摩擦。

解題方法

採用功－能原理。系統初始靜止，因此初始動能為零。

(a) 150-N 力全程作用

外力對系統所做的功包括：

1. $150\ \text{N}$ 力做功：

$$W_F=150(0.6)=90\ \text{J}.$$

2. $3\ \text{kg}$ 物體上升 $1.2\ \text{m}$，重力做負功：

$$W_g=-3(9.81)(1.2)=-35.316\ \text{J}.$$

因此系統總動能為

$$W_F+W_g = \frac12(8)v_B^2+\frac12(3)v_A^2.$$

代入 $v_A=2v_B$：

核心觀念

本題考查剛性桿長度不變的速度約束。由於桿 $AB$ 長度固定，

$$\mathbf r_{A/B}\cdot \mathbf v_{A/B}=0$$

因此可直接利用

$$\mathbf r_{A/B}\cdot \mathbf v_A = \mathbf r_{A/B}\cdot \mathbf v_B$$

求出套環 $A$ 的速度。

幾何關係

取圖中 $O$ 為原點，$\mathbf i,\mathbf j,\mathbf k$ 分別沿 $x,y,z$ 軸。

由圖：

$$\mathbf r_D=90\mathbf i,\qquad \mathbf r_C=180\mathbf k$$

因此

$$\mathbf r_{D/C}=90\mathbf i-180\mathbf k$$

其長度為

$$CD=\sqrt{90^2+180^2}=90\sqrt5\ \text{mm}$$

當 $c=120\text{ mm}$ 時，

$$\mathbf r_{B/C} =\frac{120}{180}\mathbf r_{D/C} =60\mathbf i-120\mathbf k$$

所以

$$\mathbf r_B =\mathbf r_C+\mathbf r_{B/C} =60\mathbf i+60\mathbf k$$

設套環 $A$ 的位置為 $\mathbf r_A=y\mathbf j$，則

本題考查簡諧運動的週期與彈簧常數、質量之間的關係。

【解題思路】
簡諧運動的週期 $T$ 與系統的質量 $m$ 和彈簧常數 $k$ 的關係為 $T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}$。
題目給予了兩種情況，需要利用第一種情況的資訊來求解彈簧常數 $k$，然後再計算第二種情況的週期。

【詳細步驟】

情況一：5 kg 質量懸掛在彈簧下端，週期 $T_1 = 6.8$ s。

• 質量 $m_1 = 5$ kg。
• 週期 $T_1 = 6.8$ s。
• 彈簧常數 $k$ (相同彈簧)。

根據週期公式：
$T_1 = 2\pi \sqrt{\frac{m_1}{k}}$
$6.8 = 2\pi \sqrt{\frac{5}{k}}$
平方兩邊：
$(6.8)^2 = (2\pi)^2 \frac{5}{k}$
$46.24 = 4\pi^2 \frac{5}{k}$
$k = \frac{4\pi^2 \times 5}{46.24} = \frac{20\pi^2}{46.24}$
$k \approx \frac{20 \times (3.14159)^2}{46.24} \approx \frac{20 \times 9.8696}{46.24} \approx \frac{197.392}{46.24} \approx 4.268 \text{ N/m}$
彈簧常數 $k \approx 4.268$ N/m。

情況二：3 kg 質量連接在同一彈簧的中間，且彈簧兩端固定。

• 質量 $m_2 = 3$ kg。
• 彈簧常數 $k$ (與情況一相同)。
• 彈簧的連接方式改變：質量 $m_2$ 連接到彈簧的中點，且彈簧的兩端固定。

分析彈簧的連接方式：
當質量 $m_2$ 連接到彈簧的中點，且彈簧兩端固定時，這相當於將一根彈簧分成兩段。
假設原彈簧總長度為 $L$，彈簧常數為 $k$。
當質量 $m_2$ 連接到中點時，相當於兩段長度為 $L/2$ 的彈簧串聯。
對於一段長度為 $l$ 的彈簧，其彈簧常數 $k'$ 與長度成反比：$k' \propto 1/l$。
所以，如果原彈簧常數為 $k$，那麼長度為 $L/2$ 的彈簧，其常數為 $k_{half} = 2k$。
當兩段長度為 $L/2$ 的彈簧串聯時，其總的等效彈簧常數 $k_{eq}$ 為：
$\frac{1}{k_{eq}} = \frac{1}{k_{half}} + \frac{1}{k_{half}} = \frac{1}{2k} + \frac{1}{2k} = \frac{2}{2k} = \frac{1}{k}$
$k_{eq} = k$
這個分析是錯誤的。

重新分析情況二的連接方式：
質量 $m_2$ 連接到彈簧的中點，且彈簧的兩端固定。
這意味著，質量 $m_2$ 被夾在兩段彈簧之間。
設原彈簧的長度為 $L$，彈簧常數為 $k$。
當質量 $m_2$ 連接到中點時，相當於有兩段長度為 $L/2$ 的彈簧，它們分別連接到質量 $m_2$ 和固定端。
這兩段彈簧實際上是並聯連接的，因為它們都連接到質量 $m_2$ 和固定端。