109 年 國立臺灣大學工程科學及海洋工程學系碩士班丙組《控制系統（B）》

核心觀念

本題考查二階系統的極點位置、根軌跡，以及阻尼比定義。

依原卷圖示，可變參數為加速度回授增益 $C_a$，且

$$M=1,\qquad D=K=C_v=2$$

因此特徵方程式為分母：

$$(C_a+M)s^2+(C_v+D)s+K=0$$

代入已知數值得

$$(C_a+1)s^2+4s+2=0$$

令

$$A=C_a+1,\qquad A\geq 1$$

則特徵方程式為

$$As^2+4s+2=0$$

---

（a）$C_a$ 變化時的根軌跡

1. 起始極點

當 $C_a=0$ 時，$A=1$，特徵方程式為

$$s^2+4s+2=0$$

故兩個閉迴路極點為

$$s=\frac{-4\pm\sqrt{16-8}}{2} =-2\pm\sqrt{2}$$

因此起始位置為

$$s_1=-2+\sqrt{2}\approx -0.586$$ $$s_2=-2-\sqrt{2}\approx -3.414$$

---

2. 極點進入重根的位置

特徵方程式的判別式為

$$\Delta=4^2-4(A)(2)=16-8A$$

當 $\Delta=0$ 時形成重根：

$$16-8A=0 \quad\Rightarrow\quad A=2$$

因此

$$C_a=A-1=1$$

此時重根為

$$s=-\frac{4}{2A}=-1$$

所以兩個實極點分別由 $-0.586$ 與 $-3.414$ 向 $-1$ 移動，並在 $s=-1$ 匯合。

---

3. 複數極點軌跡

令

$$s=\sigma+j\omega$$

由特徵方程式

$$As^2+4s+2=0$$

取虛部：

$$2A\sigma\omega+4\omega=0$$

對 $\omega\neq 0$，可得

$$A\sigma=-2 \quad\Rightarrow\quad A=-\frac{2}{\sigma}$$

再代入實部：

$$A(\sigma^2-\omega^2)+4\sigma+2=0$$

整理得

$$\omega^2=-\sigma(1+\sigma)$$

因此複數根的軌跡為

$$\sigma^2+\sigma+\omega^2=0$$

配方後：

$$\left(\sigma+\frac12\right)^2+\omega^2 =\left(\frac12\right)^2$$

這是一個圓心在 $(-1/2,0)$、半徑為 $1/2$ 的圓。由於系統係數為正，實部始終為負，因此只取左半平面內的上下兩段圓弧：

• 從 $s=-1$ 出發；
• 上、下對稱地沿圓弧移動；
• 當 $C_a\to\infty$ 時，極點趨近原點 $s=0$；
• 不會穿越虛軸。

根軌跡示意如下：

核心觀念

此題考查單位負回授系統的根軌跡。閉迴路特徵方程式由

$$1+D(s)G(s)=0$$

決定。

但原卷 Fig.2 僅標示方塊 $G(s)$，未提供 $G(s)$ 的實際傳遞函數。因此無法得到唯一的數值根軌跡、虛軸交點、$K$ 與 $a$。以下以

$$G(s)=\frac{B(s)}{A(s)}$$

表示一般形式，給出完整定案公式。

---

(a) $D(s)=K$ 的根軌跡

此時開迴路傳遞函數為

$$L(s)=K\frac{B(s)}{A(s)}$$

閉迴路特徵方程式為

$$A(s)+KB(s)=0$$

根軌跡的基本規則如下：

1. 根軌跡由開迴路極點出發，終止於開迴路零點或無限遠。
2. 實軸上的根軌跡區段，其右側開迴路極點與零點總數必須為奇數。
3. 若極點數為 $n$、零點數為 $m$，則無限遠漸近線數為

$$n-m$$

4. 漸近線交點為

$$\sigma_a= \frac{\displaystyle\sum p_i-\displaystyle\sum z_i}{n-m}$$

5. 漸近線角度為

$$\theta_k=\frac{(2k+1)180^\circ}{n-m}, \qquad k=0,1,\ldots,n-m-1$$

虛軸交點與對應增益

令

$$s=j\omega$$

代入特徵方程式：

$$A(j\omega)+KB(j\omega)=0$$

因此

$$K=-\frac{A(j\omega)}{B(j\omega)}$$

必須同時滿足：

$$\operatorname{Im}\left[-\frac{A(j\omega)}{B(j\omega)}\right]=0$$

且

$$K>0$$

所得的 $\omega$ 即為虛軸交點 $s=\pm j\omega$，所得實數即為相對應的 $K$。

由於題目未給出 $A(s)$ 與 $B(s)$，無法繪製唯一的根軌跡，也無法列出數值漸近線與虛軸交點。

---

(b) 求使根軌跡通過 $s_0=-1+j4$ 的 $a$

控制器為

$$D(s)=K\frac{s+2}{s+a}$$

閉迴路特徵方程式為

$$1+K\frac{s+2}{s+a}G(s)=0$$

在指定點 $s_0=-1+j4$，令

$$Q=G(s_0)(s_0+2)$$

其中

$$s_0+2=1+j4$$

設

$$Q=q_r+jq_i$$

以及

核心觀念

本題考查：

• 狀態空間模型轉換為開迴路轉移函數：
  $G(s)=C(sI-A)^{-1}B$
• 積分控制器：
  $\frac{k_i}{s}$
• 狀態回授控制律：
  $u=k_i z-Kx,\qquad K=\begin{bmatrix}k_1&k_2\end{bmatrix}$
• 以閉迴路特徵多項式係數比對法求回授增益。

其中積分器狀態滿足：

$\dot z=r-y=r-Cx$

---

（a）開迴路轉移函數

由

$$A=\begin{bmatrix}-3&1\\3&-5\end{bmatrix},\quad B=\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix},\quad C=\begin{bmatrix}0&1\end{bmatrix}$$

可得

$$sI-A= \begin{bmatrix} s+3&-1\\ -3&s+5 \end{bmatrix}$$

其行列式為

$$\det(sI-A)=(s+3)(s+5)-3 =s^2+8s+12$$

因此

$$(sI-A)^{-1}B =\frac{1}{s^2+8s+12} \begin{bmatrix} s+5\\ 3 \end{bmatrix}$$

所以液壓系統的開迴路轉移函數為

$$G(s)=C(sI-A)^{-1}B =\frac{3}{s^2+8s+12}$$

圖中另有積分控制器 $\frac{k_i}{s}$，因此包含積分器的前向迴路傳遞函數為

$$L(s)=\frac{k_i}{s}G(s) =\frac{3k_i}{s(s^2+8s+12)}$$

---

（b）求 $K$ 與積分增益 $k_i$

控制律為

$u=k_i z-Kx$

其中

$K=\begin{bmatrix}k_1&k_2\end{bmatrix}$

增廣狀態向量取為

$x_a=\begin{bmatrix}x\\z\end{bmatrix}$

在計算閉迴路極點時令 $r=0$，則

$$\dot x=Ax+B(k_i z-Kx) =(A-BK)x+B k_i z$$

且

$\dot z=-Cx$

因此增廣閉迴路系統矩陣為

核心觀念

開迴路傳遞函數由 Fig. 4 可讀為

$$L(s)=\frac{K}{s(s^2+s+4)}$$

單位負回授系統的定義如下：

• 增益交越頻率 $\omega_{gc}$：$|L(j\omega_{gc})|=1$
• 相位裕度：

$$PM=180^\circ+\angle L(j\omega_{gc})$$

• 增益裕度：

$$GM=\frac{1}{|L(j\omega_{pc})|}$$

其中 $\omega_{pc}$ 為相位交越頻率，即 $\angle L(j\omega_{pc})=-180^\circ$。

---

(a) 求控制器增益 $K$ 與增益交越頻率

令 $s=j\omega$，則

$$L(j\omega)=\frac{K}{j\omega\left[(4-\omega^2)+j\omega\right]}$$

當 $\omega<2$ 時，

$$\angle L(j\omega) =-90^\circ-\tan^{-1}\left(\frac{\omega}{4-\omega^2}\right)$$

題目要求相位裕度為 $50^\circ$，因此增益交越頻率處的相位必須為

$$\angle L(j\omega_{gc}) =-180^\circ+50^\circ=-130^\circ$$

所以

$$-90^\circ-\tan^{-1}\left(\frac{\omega_{gc}}{4-\omega_{gc}^2}\right) =-130^\circ$$

得到

$$\tan^{-1}\left(\frac{\omega_{gc}}{4-\omega_{gc}^2}\right)=40^\circ$$

令 $t=\tan40^\circ$，則

$$\frac{\omega_{gc}}{4-\omega_{gc}^2}=t$$

整理為

$$t\omega_{gc}^2+\omega_{gc}-4t=0$$

取正根：

$$\omega_{gc} =\frac{-1+\sqrt{1+16t^2}}{2t}$$

代入 $t=\tan40^\circ$：

本題為一標準的根軌跡與穩態誤差設計問題。首先，利用閉迴路極點的位置來確定系統的特徵方程式，進而求解參數 $p$。接著，利用穩態誤差的要求，求解參數 $q$。最後，綜合以上條件，求解控制器增益 $K$。

系統為單位負回授系統，開迴路傳遞函數為 $G(s) = \frac{K(s+q)}{s(s+p)}$。
閉迴路傳遞函數為 $T(s) = \frac{G(s)}{1+G(s)} = \frac{K(s+q)}{s(s+p) + K(s+q)}$。
閉迴路系統的特徵方程式為 $s(s+p) + K(s+q) = 0$。
$s^2 + ps + Ks + Kq = 0$。
$s^2 + (p+K)s + Kq = 0$。

閉迴路極點要求在 $-1 \pm j1$。
這意味著特徵方程式的根為 $s_1 = -1+j1$ 和 $s_2 = -1-j1$。
由極點可以寫出特徵方程式：$(s - (-1+j1))(s - (-1-j1)) = 0$。
$(s+1-j1)(s+1+j1) = 0$。
$((s+1)-j1)((s+1)+j1) = 0$。
$(s+1)^2 - (j1)^2 = 0$。
$s^2 + 2s + 1 - (-1) = 0$。
$s^2 + 2s + 2 = 0$。

將此方程式與 $s^2 + (p+K)s + Kq = 0$ 比較係數：

1. $s$ 項：$p+K = 2$。
2. 常數項：$Kq = 2$。

穩態誤差要求為 0.1 對於斜坡輸入 (ramp input)。
斜坡輸入的拉氏轉換為 $R(s) = 1/s^2$。
穩態誤差 $e_{ss}$ 對於斜坡輸入的公式為 $e_{ss} = \frac{1}{K_v}$，其中 $K_v$ 是速度常數。
$K_v = \lim_{s \to 0} s G(s)$。
$s G(s) = s \frac{K(s+q)}{s(s+p)} = \frac{K(s+q)}{s+p}$。