108 年 國立臺灣大學工程科學及海洋工程學系碩士班乙組《工程力學（含靜力及動力）》

核心觀念

這題考察靜力平衡與最大靜摩擦力。設兩段 wire 與水平桿的夾角皆為 $\theta$，每段張力為 $T$。最大間距發生在兩側 ring 恰好要滑動時，此時所需摩擦力等於最大靜摩擦力 $\mu_s N$。

解題方法

由左右對稱，兩段 wire 長度皆為 $l/2$。對懸掛於 $B$ 的 ring 作垂直方向平衡：

對 $A$（或 $C$）作垂直方向平衡。wire 張力有向下分量，因此桿對 ring 的正向力為

水平方向所需的摩擦力為 $T\cos\theta$。在最大間距的臨界狀態：

利用 $T\sin\theta=W$，可得

核心觀念

本題考剛體平衡與機構的力傳遞。先把手柄單獨取出，利用力與力矩平衡求出連桿傳給夾臂的水平力；再對夾臂取矩，求出 A 點的夾持力。

提供的題幹漏了施力大小。依照圖中的尺寸與題型，以下採用 $F=350\ \text{N}$；同一題型的解答資料亦列出此施力值。題型與解答資料

解題方法

**手柄的自由體圖：**手柄受外力 $F=350\ \text{N}$、C 點銷接反力 $C_x,C_y$，以及沿二力構件 $BE$ 作用的連桿力 $F_{BE}$。取 C 點為力矩中心，可消去 C 點反力。

依圖示尺寸與角度，對 C 點取矩：

解得：

再由手柄的水平力平衡：

核心觀念

以軸心 $O$ 為原點，利用質心條件的力矩式

求垂直細桿 $DC$ 的長度 $L$。接著用平行軸定理，或直接對各桿積分，計算組合體對 $O$ 的轉動慣量。

由圖可讀出：$A$ 在 $O$ 左方 $0.8\,\text{m}$，$B$ 在 $O$ 右方 $0.5\,\text{m}$；圓盤半徑為 $0.2\,\text{m}$，所以圓盤中心在 $O$ 左方 $1.0\,\text{m}$。桿 $DC$ 以 $AB$ 的水平軸為中點，位於 $O$ 右方 $0.5\,\text{m}$。

解題方法

線密度為 $\lambda=2\,\text{kg/m}$。因此 $AB$ 長度為 $0.8+0.5=1.3\,\text{m}$，質量為 $2.6\,\text{kg}$，其質心座標為

圓盤質量為 $6\,\text{kg}$，質心座標為 $-1.0\,\text{m}$；桿 $DC$ 質量為 $2L$，質心座標為 $0.5\,\text{m}$。令總質心位於 $O$：

計算轉動慣量時，圓盤對 $O$ 使用平行軸定理：

核心觀念

本題使用繩長不變的運動約束，以及等加速度運動公式。圖中繩索依序連接滑塊 $A$、繞過與 $B$ 相連的活動滑輪，再繞過上方固定滑輪，最後繩端固定在 $B$ 上。因此，$B$ 向下移動時，有三段繩長會增加。

解題方法

取 $A$ 向右、$B$ 向下為正方向。令 $x_A$ 為滑塊 $A$ 向右的位移，$y_B$ 為 $B$ 向下的位移。繩長固定，因此可寫成

對時間微分兩次，得到速度與加速度約束：

因 $B$ 由靜止開始，且繩索約束使 $A$ 也由靜止開始。已知 $A$ 移動 $0.4\,\text{m}$ 時速度為 $4\,\text{m/s}$，使用等加速度公式：

因此

核心觀念

本題使用無滑動滾動的速度關係、圓盤的轉動慣量，以及機械能守恆。圓盤轉過 $90^\circ$ 後，桿件當下水平且瞬間純平移，因此桿件沒有轉動動能。

解題方法

圖中大圓盤半徑為 $0.150\text{ m}$、質量 $6\text{ kg}$；小圓盤半徑為 $0.075\text{ m}$、質量 $1.5\text{ kg}$；桿 $BC$ 質量為 $5\text{ kg}$。兩圓盤在水平面上滾動，$B$ 點距大圓盤中心 $A$ 為 $0.075\text{ m}$，$C$ 點位於小圓盤中心。

大圓盤順時針轉過 $90^\circ$ 時，$B$ 點由與 $A$ 同高的位置降到 $A$ 下方 $0.075\text{ m}$。此時 $B$ 與 $C$ 等高，桿 $BC$ 水平。由大圓盤與地面的接觸點作瞬時轉動中心，該點到 $B$ 的距離為 $0.075\text{ m}$，故若大圓盤角速度大小為 $\omega$，則

在此瞬間，$B$、$C$ 的速度皆為水平方向；水平桿的角速度因此為零，故桿作純平移，且 $v_{\text{rod}}=v_C=v_B=0.075\omega$。小圓盤無滑動滾動，所以其角速度大小為 $v_C/0.075=\omega$。

大圓盤的轉動慣量為

其平移與轉動動能合計為

桿件瞬間純平移，動能為

核心觀念

本題考查質點的簡諧運動（Simple Harmonic Motion, SHM）之運動學特性。
簡諧運動的位移、速度與加速度可由三角函數表示：

1. 位移方程式：

   $$x(t) = x_m \sin(\omega t + \phi)$$

   其中 $x_m$ 為振幅（Amplitude），$\omega$ 為角頻率（Angular frequency），$\phi$ 為初始相位角。

2. 速度與最大速度：

   $$v(t) = \dot{x}(t) = \omega x_m \cos(\omega t + \phi)$$

   速度大小之極大值為：

   $$v_m = \omega x_m$$

3. 加速度與最大加速度：

   $$a(t) = \ddot{x}(t) = -\omega^2 x_m \sin(\omega t + \phi) = -\omega^2 x(t)$$

   加速度大小之極大值為：

   $$a_m = \omega^2 x_m = \omega v_m$$

4. 頻率與角頻率的關係：

   $$\omega = 2\pi f$$

   其中 $f$ 為線性頻率（單位為 $\text{Hz}$ 或 $1/\text{s}$）。

解題方法

題目已知：

• 最大加速度 $a_m = 60\text{ m/s}^2$
• 頻率 $f = 40\text{ Hz}$

Step 1：求角頻率 $\omega$

利用頻率 $f$ 與角頻率 $\omega$ 之關係式：

Step 2：求振幅 $x_m$

利用最大加速度與振幅之關係式 $a_m = \omega^2 x_m$：