111 年 國立臺灣大學環境工程研究所科學與工程甲組《衛生工程》

本題主要考驗學生對於水庫規劃設計中，如何利用累積流量圖法 (Mass curve) 來決定水庫蓄水容量的理解。

核心觀念：
累積流量圖法是利用歷史流量資料，繪製累積流量隨時間變化的曲線，藉此分析供需平衡，進而確定水庫所需的有效蓄水量。

解題步驟：

1. 收集歷史流量資料：取得水庫集水區長期的歷史流量紀錄，例如數十年。
2. 計算累積流量：將每日或每月（依分析精度需求）的流量累加，得到累積流量值。
3. 繪製累積流量曲線：以時間為橫軸，累積流量為縱軸，繪製累積流量曲線。
4. 繪製累積需水量曲線：根據水庫預計的用水需求（例如灌溉、民生用水、工業用水等），計算其累積需水量，並繪製成曲線。需水量曲線通常是線性或分段線性的，其斜率代表平均日需水量。
5. 找出供需不平衡點：
   • 若需水量曲線的斜率大於累積流量曲線的斜率，表示在該段時間內，需求大於供應，此時水庫會開始放水。
   • 若需水量曲線的斜率小於累積流量曲線的斜率，表示在該段時間內，供應大於需求，此時水庫會開始蓄水。
6. 決定水庫有效蓄水量：

本題主要考驗學生對水力學中管路設計、經濟考量與能源效率的理解。

核心觀念：
經濟管徑的決定是在輸水系統設計中，平衡管路建造成本（管徑越大，成本越高）與操作成本（管徑越小，流速越高，水頭損失越大，抽水機耗能越高）之間，找到一個最佳化的管徑，使得總成本（建造成本與營運成本的綜合考量）最低。

解題步驟：

1. 確定設計流量 (Q)：根據用水需求，確定系統需要輸送的水量。
2. 估計管路長度 (L) 和水頭損失：
   • 管路長度 (L)：根據輸水路線的實際距離確定。
   • 水頭損失 (h_f)：水頭損失是管徑選擇中的關鍵因素。主要的水頭損失來自於摩擦損失 (major loss) 和局部損失 (minor loss)。
     • 摩擦損失：可由 Darcy-Weisbach 方程式計算：$h_f = f \frac{L}{D} \frac{V^2}{2g}$，其中 $f$ 為摩擦係數，$L$ 為管長，$D$ 為管徑，$V$ 為平均流速，$g$ 為重力加速度。摩擦係數 $f$ 取決於雷諾數 (Reynolds number) 和管壁的相對粗糙度，通常需要迭代計算或使用 Moody 圖。
     • 局部損失：例如彎頭、閥門、進出口等造成的損失，可表示為 $h_m = \sum K_L \frac{V^2}{2g}$，其中 $K_L$ 為局部阻力係數。
3. 考慮抽水機的成本與能耗：
   • 抽水機揚程 (H)：總揚程 $H = h_f + h_m + \Delta z + H_{pressure}$，其中 $\Delta z$ 是高程差，$H_{pressure}$ 是所需的壓力頭。
   • 抽水機功率：抽水機的軸功率 (BHP) 約為 $\text{BHP} = \frac{\rho g Q H}{\eta_p \eta_m}$，其中 $\rho$ 為水的密度，$Q$ 為流量，$H$ 為總揚程，$\eta_p$ 為水泵效率，$\eta_m$ 為馬達效率。
   • 操作成本：主要為電費，與抽水機功率和運行時間成正比。
4. 考慮管路建造成本：管徑越大，材料費和施工費越高。通常管路建造成本與管徑的某次方成正比，例如 $C_{\text{pipe}} \propto D^x$，其中 $x$ 通常介於 1 到 2 之間。
5. 經濟管徑的選擇（總成本最小化）：
   • 經濟管徑的選擇目標是使總成本（建造成本 + 操作成本）最低。
   • 總成本 $C_{\text{total}} = C_{\text{pipe}} + C_{\text{operation}}$。

本題考驗學生對地下水流動理論，特別是達西定律及其在抽水試驗中的應用。

核心觀念：
達西定律描述飽和多孔介質中地下水的流動，其抽水井的流量與水力坡降、含水層性質、抽水井幾何參數有關。對於非拘限含水層，當抽水產生水位下降時，其水力坡降的計算方式與拘限含水層有所不同。

(a) 根據達西定律推導抽水量(Q)和水利傳導係數(K)、影響圈半徑(R)、含水層厚度(D)、抽水井半徑(r)和抽水井水位(d)的關係。

解題步驟：

1. 達西定律：
   地下水流速 $v$ 與水力坡降 $\frac{dh}{dl}$ 成正比：$v = -K \frac{dh}{dl}$，其中 $K$ 為水力傳導係數 (hydraulic conductivity)。負號表示流動方向與水力坡降方向相反。
   流量 $Q$ 等於流速 $v$ 乘以過水斷面積 $A$：$Q = v \times A$。

2. 考慮非拘限含水層抽水情況：
   在非拘限含水層中，抽水時地下水位會下降，形成一個圓錐形的洩降曲面。假設抽水井半徑為 $r$，抽水後水位為 $d$。在距離抽水井 $x$ 處，地下水位為 $h(x)$。
   過水斷面積 $A$ 隨距離 $x$ 變化，為一圓柱體，其高度為該處的地下水位 $h(x)$，厚度為含水層厚度 $D$（在水位高於 $D$ 時）。在抽水井附近，水位可能低於含水層頂部，此時斷面積為 $h(x) \times 2\pi x$。
   然而，對於完整的非拘限含水層抽水分析，通常採用一個簡化模型，假設穩態流動，並且水位變化不大，近似認為過水斷面積為 $D \times 2\pi x$。但更精確的處理會考慮水位 $h(x)$ 的變化。

   我們採用一個較為標準的推導，考慮水位 $h(x)$ 的變化。
   流量 $Q = -K \times A \times \frac{dh}{dx}$。
   在距離抽水井 $x$ 處，過水斷面積為 $A = 2\pi x h(x)$。
   因此，$Q = -K \times (2\pi x h(x)) \times \frac{dh}{dx}$。
   整理得：$Q = -2\pi K x h(x) \frac{dh}{dx}$。

3. 積分求關係式：
   將上式整理為：$Q \frac{dx}{x} = -2\pi K h(x) dh(x)$。
   對上式進行積分，積分範圍是從抽水井半徑 $r$ 到影響半徑 $R$。
   在 $x=r$ 處，水位為 $h(r) = d$ (抽水井內水位)。
   在 $x=R$ 處，水位為 $h(R) = D$ (未受抽水影響的原始地下水位，或稱為靜止水位)。
   $\int_{r}^{R} Q \frac{dx}{x} = \int_{d}^{D} -2\pi K h dh$
   $Q [\ln x]_{r}^{R} = -2\pi K [\frac{1}{2} h^2]_{d}^{D}$
   $Q (\ln R - \ln r) = -2\pi K \times \frac{1}{2} (D^2 - d^2)$
   $Q \ln \left(\frac{R}{r}\right) = -\pi K (D^2 - d^2)$
   $Q \ln \left(\frac{R}{r}\right) = \pi K (d^2 - D^2)$

   這個公式是基於穩態流動假設，且水位變化範圍 $d$ 和 $D$ 都在含水層厚度 $D$ 範圍內。
   如果我們考慮的是水位下降量 $s = D - d$，則 $d = D - s$。
   $Q \ln \left(\frac{R}{r}\right) = \pi K ( (D-s)^2 - D^2 )$
   $Q \ln \left(\frac{R}{r}\right) = \pi K ( D^2 - 2Ds + s^2 - D^2 )$
   $Q \ln \left(\frac{R}{r}\right) = \pi K ( s^2 - 2Ds )$

   然而，在許多情況下，特別是當 $s$ 相對於 $D$ 很小時，會使用另一個簡化公式。
   若使用水力坡降近似為 $\frac{D-d}{\ln(R/r)}$，則 $Q = K \times D \times \frac{D-d}{\ln(R/r)}$ （此公式更接近拘限含水層公式）。

   更標準的非拘限含水層穩態流公式 (Thiem Equation for Unconfined Aquifer)：
   Thiem 方程式適用於穩態流動，其形式為：
   $Q = 2\pi K \frac{h_2^2 - h_1^2}{2 \ln(r_2/r_1)}$
   在這裡，我們將 $r_1 = r$ (抽水井半徑)，$h_1 = d$ (抽水井水位)；$r_2 = R$ (影響半徑)，$h_2 = D$ (原始水位)。
   所以，$Q = 2\pi K \frac{D^2 - d^2}{2 \ln(R/r)}$
   $Q = \pi K \frac{D^2 - d^2}{\ln(R/r)}$

   這個公式是從達西定律積分推導而來，並且假設抽水井周圍的水力坡降是平均的。
   我們將 $d$ 表達為 $D-s$：
   $Q = \pi K \frac{D^2 - (D-s)^2}{\ln(R/r)}$
   $Q = \pi K \frac{D^2 - (D^2 - 2Ds + s^2)}{\ln(R/r)}$
   $Q = \pi K \frac{2Ds - s^2}{\ln(R/r)}$

   這個公式表示抽水量 $Q$ 與水利傳導係數 $K$、含水層厚度 $D$、抽水井半徑 $r$、影響半徑 $R$ 以及抽水井水位 $d$ (或洩降 $s$) 的關係。

   題目要求的關係式：
   題目要求的是 $Q$ 和 $K, R, D, r, d$ 的關係，使用 Thiem 方程式最為貼切。
   $Q = \pi K \frac{D^2 - d^2}{\ln(R/r)}$

   重要說明：

   • 題目中的 $K$ 是水力傳導係數 (hydraulic conductivity)，單位為 m/day。
   • $D$ 是含水層厚度 (m)。
   • $d$ 是抽水井水位 (m)。
   • $r$ 是抽水井半徑 (m)。
   • $R$ 是影響半徑 (m)。
   • $Q$ 是抽水量 (m³/day)。

核心概念
本題主要測驗考生對於污染物持久性與治理技術的認識，包括 (a) 持久性有機污染物的特性與環境風險，(b) 好氧消化在有機污泥處理中的機制與效益，(c) A²O（厭氧‑缺氧‑好氧）流程的組成與在營養鹽（N、P）去除上的應用。掌握這三個概念能說明現代污水處理與大氣/水體保護的整體策略。

(a) Persistent organic pollutants（持久性有機污染物，簡稱 POPs）

定義
持久性有機污染物是指在環境中化學結構穩定、難以被微生物降解，且易於在食物鏈中累積的有機化合物。常見例子包括多氯聯苯（PCBs）、二噁英（PCDD/Fs）、多環芳香烴（PAHs）以及某些農藥（如滴滴涕、DDT）。

環境意涵

結論：POPs 因其持久性與生物放大效應，對生態系統與人類健康構成長期、全球性的危害，需透過源頭管制、污染物監測與高效處理技術（如高溫焚燒或活性碳吸附）加以控制。
【答案】持久性有機污染物是一類在環境中極難分解、能長距離傳播、易在食物鏈中累積且具顯著毒性的有機化合物，對環境與健康造成持續且廣泛的負面影響。

(b) Aerobic digestion（好氧消化）

機制
好氧消化是利用含氧微生物在 氧氣充足的條件 下將有機污泥中的 可生物降解有機質（COD） 轉化為 二氧化氧化碳、氮氧化物、微量水 及 新細胞質 的過程。典型反應式為

$\text{有機物} + O_2 \rightarrow CO_2 + H_2O + \text{生物量}$

其中，氧氣供給（曝氣）是控制速率的關鍵參數。

環境意涵

操作要點

1. 曝氣系統：需保持溶氧（DO）≈2‑4 mg/L，以維持微生物活性。
2. 混合均勻：防止污泥沉積與死角，確保氧氣與有機物充分接觸。

本題核心概念

1. 溢流率 (Overflow rate, $V_o$)：指單位沉澱池表面積的進水體積流量，單位常用 m³ · m⁻² · day⁻¹ 或 m · day⁻¹。在水平流沉澱池中，若顆粒的沉降速度 $V_s$ 大於 $V_o$，顆粒即可在池中沉降。
2. 去除效率 (Removal efficiency)：根據實驗得到的不同沉降速度顆粒的重量分配，統計所有 $V_s>V_o$ 的顆粒佔總重量的比例，即為整體去除效率。

(a) 估算沉澱池的溢流率

沉澱池表面積

$A = \text{寬}\times\text{長}=6\;\text{m}\times30\;\text{m}=180\;\text{m}^2$

給定每日流量

$Q = 3800\;\text{m}^3\;\text{day}^{-1}$

溢流率 (以 m³ · m⁻² · day⁻¹ 表示)

$V_o = \frac{Q}{A}= \frac{3800}{180}=21.11\;\text{m}^3\;\text{m}^{-2}\;\text{day}^{-1}$

若要與沉降速度比較，需將 $V_o$ 轉換為 長度/時間（即垂直速度）：

$V_o\;(\text{m}\,\text{day}^{-1}) = 21.11\;\text{m}\,\text{day}^{-1}$

【答案】

• 溢流率 $V_o = 21.1\;\text{m}^3\;\text{m}^{-2}\;\text{day}^{-1}$（或等於 $0.0147\;\text{m min}^{-1}$）。

(b) 計算顆粒的總去除效率

本題核心觀念

此題測驗 凝聚作用的基本原理 以及 利用化學反應計算水中鹼度消耗量。

• (a) 需要說明凝聚（coagulation）如何透過電荷中和與絮凝物形成，使懸浮顆粒沉降。
• (b) 必須根據給定的化學方程式，將 液態明矾（Al₂(SO₄)₃·14H₂O）加入水中所消耗的 碳酸氫根 (HCO₃⁻) 轉換成 以 CaCO₃ 計算的鹼度，並以 mg/L 表示。

(a) 凝聚原理（5 分）

1. 電荷中和 (Charge neutralization)
   水中大部分懸浮顆粒表面帶負電，彼此因同電相斥而不易聚集。加入三價金屬鹽（如 Al³⁺、Fe³⁺）或高分子聚合物，可 吸附於顆粒表面，降低其表面電位，使德拜層厚度縮小，顆粒之間的排斥力減弱。

2. 形成微小絮凝核 (Micro‑flocs)
   當顆粒的表面電荷被部分中和後，凡德瓦爾斯力、疏水相互作用 等弱力開始顯著，顆粒會聚成微小的初級絮凝核。

3. 絮凝子聚成可沉降的絮團 (Rapid floc formation & settling)
   隨著攪拌或自然沉降，這些微小絮凝核相互碰撞、黏合，生成較大的 絮團 (flocs)。大顆粒因重力作用迅速沉降，將原本懸浮的固體、膠體與吸附的污染物一併除去。

4. 影響因素

   • pH：影響金屬離子的水解與沉澱形態，進而改變中和效率。
   • 投加量：過量會再度產生正電，使絮團重新帶電而穩定不沉；不足則電荷未被充分中和。
   • 混凝速率：快速混合有助於形成均勻的微絮凝核；之後的慢速攪拌促進絮團成長。

【答案】
凝聚是利用三價金屬鹽或聚合物中和懸浮顆粒的負電荷，使顆粒形成微小絮凝核，進而在適當的攪拌條件下聚合成可沉降的絮團，達到除去懸浮固體與膠體的目的。

(b) 計算 180 mg/L 液態明矾所消耗的鹼度（5 分）

步驟 1️⃣ 計算明矾的摩爾數

明矾的分子量 $M_{\text{Al}_2(\text{SO}_4)_3·14\text{H}_2\text{O}} = 594\ \text{g·mol}^{-1}$。

$\text{質量濃度}=180\ \text{mg·L}^{-1}=0.180\ \text{g·L}^{-1}$

核心觀念
此題測驗的是生物處理中 懸浮式 (suspended growth) 與 附著式 (attached growth) 兩種污泥培養方式的差異，以及在設計氮去除的廢水處理廠時，哪一種較適合且原因為何。

(a) 懸浮式 vs 附著式的差異

關鍵化學反應（以氨氮去除為例）

• 硝化 (Aerobic)
  $\mathrm{NH_4^+ + 2O_2 \rightarrow NO_3^- + 2H^+ + H_2O}$