112 年 國立臺灣大學環境工程研究所科學與工程乙組《工程數學（H）》

核心觀念

本題是二階常係數非齊次線性微分方程：

$$y''-4y'+5y=e^{2x}+e^x\sin 2x.$$

完整解由兩部分組成：

$$y=y_h+y_p,$$

其中：

• $y_h$：齊次方程的通解；
• $y_p$：非齊次項所對應的特解。

右側有兩個非齊次項，因此可利用線性原理分別求特解：

$$y_p=y_{p1}+y_{p2}.$$

---

一、求齊次方程的通解

先考慮齊次方程：

$$y''-4y'+5y=0.$$

其特徵方程為

$$r^2-4r+5=0.$$

解得

$$r=\frac{4\pm\sqrt{16-20}}{2} =2\pm i.$$

特徵根為 $2\pm i$，因此齊次解為

$$y_h=e^{2x}\left(C_1\cos x+C_2\sin x\right).$$

---

二、求對應於 $e^{2x}$ 的特解

令微分算子

$$L(D)=D^2-4D+5.$$

因為 $e^{2x}$ 對應特徵根 $r=2\pm i$，並不與 $r=2$ 重合，所以可設

$$y_{p1}=Ae^{2x}.$$

代入左側：

$$y_{p1}'=2Ae^{2x},\qquad y_{p1}''=4Ae^{2x}.$$

因此

$$y_{p1}''-4y_{p1}'+5y_{p1} = (4A-8A+5A)e^{2x} =Ae^{2x}.$$

與右側的 $e^{2x}$ 比較係數，得到

$$A=1.$$

所以

$$y_{p1}=e^{2x}.$$

---

三、求對應於 $e^x\sin 2x$ 的特解

由於右側為 $e^x\sin 2x$，設

$$y_{p2}=e^x\left(A\cos 2x+B\sin 2x\right).$$

令

$$v=A\cos 2x+B\sin 2x, \qquad y_{p2}=e^xv.$$

則

$$y_{p2}'=e^x(v+v'),$$ $$y_{p2}''=e^x(v+2v'+v'').$$

代入微分方程左側：

\begin{align*}
y_{p2}''-4y_{p2}'+5y_{p2}
&=e^x\left[(v+2v'+v'')-4(v+v')+5v\right]\
&=e^x\left(v''-2v'+2v\right).
\end{align*}

又

$$v'=-2A\sin 2x+2B\cos 2x,$$ $$v''=-4A\cos 2x-4B\sin 2x.$$

因此

觀念說明

矩陣 $B$ 可對角化分解為 $B = PDP^{-1}$，其中對角矩陣 $D$ 由 $B$ 的特徵值（Eigenvalues）組成，可逆矩陣 $P$ 的行向量（Column vectors）則由相對應的線性獨立特徵向量（Eigenvectors）組成。

---

步驟一：求特徵值（Eigenvalues）

解特徵方程式 $\det(B - \lambda I) = 0$：
$\det \begin{bmatrix} 4-\lambda & 0 & -2 \\ 2 & 5-\lambda & 4 \\ 0 & 0 & 5-\lambda \end{bmatrix} = (4-\lambda)(5-\lambda)^2 = 0$
解得特徵值為 $\lambda = 4$（代數重數 1）與 $\lambda = 5$（代數重數 2）。

---

步驟二：求特徵向量（Eigenvectors）

1. 當 $\lambda = 4$ 時：
   解 $(B - 4I)\mathbf{v} = \mathbf{0}$：
   $\begin{bmatrix} 0 & 0 & -2 \\ 2 & 1 & 4 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} \implies \begin{cases} z = 0 \\ 2x + y + 4z = 0 \end{cases} \implies y = -2x$
   特徵向量為 $\mathbf{v}_1 = c_1 \begin{bmatrix} 1 \\ -2 \\ 0 \end{bmatrix}$（$c_1 \neq 0$）。

2. 當 $\lambda = 5$ 時：
   解 $(B - 5I)\mathbf{v} = \mathbf{0}$：
   $\begin{bmatrix} -1 & 0 & -2 \\ 2 & 0 & 4 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} \implies x = -2z$
   $y$ 與 $z$ 為自由變數，得特徵空間之兩個線性獨立基底向量：

核心觀念

傅立葉轉換適用於具有無限或半無限空間範圍的問題，藉由將空間變數轉換至頻率域，使偏微分方程中的微分運算轉為代數運算：

$$\mathcal{F}\left\{\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}\right\} =-k^2\widehat{u}(k,y).$$

因此，若二維穩態問題的控制方程為拉普拉斯方程或泊松方程，例如

$$\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} +\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}=0,$$

且在被轉換的方向上，定義域為整條無限直線或可合理延拓至無限域，則可使用傅立葉轉換。

圖形資訊限制

目前提供的圖片是考試注意事項頁，未包含第 3 題所指的邊界條件與幾何圖形。因此無法依「圖中實際條件」判斷唯一答案；關鍵缺少的是：

• 二維區域的範圍是否為無限或有限；
• 各邊界的 Dirichlet 或 Neumann 條件；
• 欲進行傅立葉轉換的方向是否具有無限延伸或可週期延拓的條件。

判斷方法

若圖中問題為有限矩形區域，例如

$$0<x<a,\qquad 0<y<b,$$

則通常不直接使用傅立葉轉換，而使用傅立葉級數、分離變數法或特徵函數展開。原因是有限區間上的邊界條件會導致離散特徵值，對應的是傅立葉級數而非連續頻率的傅立葉轉換。

若圖中區域在某一方向為無限延伸，例如

核心觀念

拉普拉斯轉換主要適用於含有時間變數的初值問題（initial value problem, IVP），其初始條件必須集中給在同一個起始點，例如 $t=0$。利用

$$\mathcal{L}\{y'(t)\}=sY(s)-y(0),$$ $$\mathcal{L}\{y''(t)\}=s^2Y(s)-sy(0)-y'(0),$$

可將微分方程轉換成代數方程，再由反拉普拉斯轉換求得 $y(t)$。

解題方法

題目所附圖片只有考卷封面，未包含第 3 題（1）的方程式、初始條件或邊界條件，因此無法依原題判定其具體形式。

在通常假設第（1）題為含時間變數 $t$，且條件為

$$y(0)=a,\qquad y'(0)=b$$

的常微分方程初值問題時，可以使用拉普拉斯轉換。其步驟為：

1. 對第（1）題的微分方程兩邊取拉普拉斯轉換。
2. 將 $y(0),y'(0)$ 等初始條件代入微分項的轉換公式。
3. 解出 $Y(s)$。

核心觀念

Gabriel’s horn（Torricelli’s Trumpet）通常定義為曲線

$$y=\frac{1}{x},\qquad x\ge 1$$

繞 $x$ 軸旋轉所形成的旋轉體。須使用：

• 體積：

$$V=\pi\int_a^b y^2\,dx$$

• 曲面積：

$$S=2\pi\int_a^b y\sqrt{1+\left(\frac{dy}{dx}\right)^2}\,dx$$

題目文字未明確標示旋轉軸與起始位置；以下採用 Gabriel’s horn 的標準定義：$y=1/x$、$x\ge1$、繞 $x$ 軸旋轉。

解題方法

1. 體積 $V$

由 $y=1/x$，截面半徑為 $1/x$，因此

$$V=\pi\int_1^\infty \left(\frac{1}{x}\right)^2dx$$ $$V=\pi\int_1^\infty \frac{1}{x^2}\,dx =\pi\left[-\frac{1}{x}\right]_1^\infty$$

由於

$$\lim_{x\to\infty}\left(-\frac1x\right)=0$$

所以

$$V=\pi(0-(-1))=\pi$$

因此其體積有限。

核心觀念

Clairaut 方程的標準形式為

$$y=x y'+g(y').$$

令

$$p=y',$$

則本題為

$$y=xp+\frac{1}{p},\qquad p\neq 0.$$

Clairaut 方程的解包含兩類：

1. 一般解：令 $p$ 為常數。
2. 奇異解：對方程微分後，取另一個因子為零，求出包絡線。

---

解題方法

原方程寫成

$$y=xp+\frac{1}{p}.$$

對 $x$ 微分。由於 $p=y'$，左側微分為 $p$，右側使用乘積法則：

$$p=\frac{d}{dx}\left(xp+\frac{1}{p}\right) =p+x\frac{dp}{dx}-\frac{1}{p^2}\frac{dp}{dx}.$$

整理得

$$p=p+\left(x-\frac{1}{p^2}\right)\frac{dp}{dx},$$

因此

$$\left(x-\frac{1}{p^2}\right)\frac{dp}{dx}=0.$$

由乘積為零，可分成兩種情形。

一般解

若

$$\frac{dp}{dx}=0,$$

則 $p=C$ 為常數，其中 $C\neq 0$。代回原方程：

$$y=Cx+\frac{1}{C}.$$

因此一般解為

$$\boxed{y=Cx+\frac{1}{C}},\qquad C\neq 0.$$

奇異解

另一種情形為

$$x-\frac{1}{p^2}=0,$$

即

$$x=\frac{1}{p^2}.$$

由原方程，

$$y=xp+\frac{1}{p}.$$

代入 $x=1/p^2$：

$$y=\frac{1}{p^2}p+\frac{1}{p} =\frac{2}{p}.$$

因此

$$x=\frac{1}{p^2},\qquad y=\frac{2}{p}.$$

消去參數 $p$：

核心觀念

本題考查：

1. 等值面的切平面。
2. 梯度向量 $\nabla f$ 的幾何意義。
3. 梯度大小 $|\nabla f|$ 的物理與幾何意義。

若曲面由

$$f(x,y,z)=C$$

表示，且 $\nabla f(x_0,y_0,z_0)\neq \mathbf{0}$，則在點 $(x_0,y_0,z_0)$ 的切平面為

$$\nabla f(x_0,y_0,z_0)\cdot \left\langle x-x_0,\ y-y_0,\ z-z_0\right\rangle=0.$$

---

（1）切平面

題目給定

$$f(x,y,z)=3x^2+2y^2-z^2.$$

先求梯度：

$$\nabla f = \left\langle \frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}, \frac{\partial f}{\partial z} \right\rangle = \langle 6x,\ 4y,\ -2z\rangle.$$

在 $(2,1,3)$ 處，

$$\nabla f(2,1,3) = \langle 12,\ 4,\ -6\rangle.$$

因此，以 $\nabla f(2,1,3)$ 為法向量的平面為

$$12(x-2)+4(y-1)-6(z-3)=0.$$

整理得

$$12x+4y-6z-10=0,$$

所以切平面可寫成

$$\boxed{6x+2y-3z=5}.$$

題目資料的幾何一致性

題目標示曲面為

$$3x^2+2y^2-z^2=6,$$

但代入指定點 $(2,1,3)$ 得

$$3(2)^2+2(1)^2-(3)^2 =12+2-9=5.$$

因此 $(2,1,3)$ 並不在題目所寫的曲面 $f=6$ 上。嚴格而言，曲面 $f=6$ 在該點沒有切平面；上述計算是依照合理假設「右側常數應為 $5$」所得的切平面。

---

（2）$\nabla f$ 與 $|\nabla f|$ 的意義

$\nabla f$ 的意義

梯度為

$$\nabla f(x,y,z)=\langle 6x,4y,-2z\rangle.$$

在點 $(2,1,3)$，

$$\nabla f(2,1,3)=\langle 12,4,-6\rangle.$$

其主要意義如下：

1. 梯度垂直於等值面

等值面 $f(x,y,z)=C$ 上的函數值固定不變，因此沿著曲面的切線方向移動時，函數值的一階變化為零。梯度則垂直於所有切線方向，所以

$$\nabla f$$

是等值面的法向量。

建立微分方程

設 $y(t)$ 為時間 $t$（分鐘）時水箱中的含鹽量（公克）。

• 水箱總水量保持不變：$V = 100\text{ L}$
• 鹽分流入速率：$R_{\text{in}} = 40 \times (1 + \cos t) = 40 + 40\cos t\text{ (g/min)}$
• 鹽分流出速率：$R_{\text{out}} = 40 \times \frac{y(t)}{100} = \frac{2}{5} y(t)\text{ (g/min)}$
• 初始條件：$y(0) = 5\text{ g}$

根據質量守恆定律 $\frac{dy}{dt} = R_{\text{in}} - R_{\text{out}}$，整理得一階線性常微分方程：
$\frac{dy}{dt} + \frac{2}{5}y = 40 + 40\cos t$

---

求解微分方程

1. 計算積分因子 $\mu(t)$
   $\mu(t) = e^{\int \frac{2}{5} dt} = e^{\frac{2}{5}t}$

2. 求解通解
   等式兩邊同乘以 $e^{\frac{2}{5}t}$：