112 年 國立臺灣大學環境工程研究所科學與工程乙組《流體力學（F）》

此題主要考驗對於流體在管路中流動時，壓力損失 (pressure drop, $\Delta P$) 的影響因素的理解。壓力損失主要與流體黏度 (viscosity, $\mu$)、流體流速 (velocity, $U$)、管路幾何特性（如直徑 $D$、長度 $L$）以及管壁粗糙度 (surface roughness, $\epsilon$) 有關。

核心觀念：
壓力損失是流體在流動過程中克服阻力（黏滯力與表面粗糙度）所消耗的能量，這些能量轉換為熱能耗散。

解題過程：

1. 黏度 (Viscosity, $\mu$) 的影響：

   • 黏度代表流體抵抗剪應力的能力。流體黏度越高，內部流動的阻力越大，需要更大的壓力差來維持相同的流速。
   • 在層流 (laminar flow) 情況下，壓力降與黏度成正比。例如，在圓管層流中，Hagen-Poiseuille 方程式指出：
     $\Delta P = \frac{128 \mu L Q}{\pi D^4}$
     其中 $Q$ 是體積流量。若以平均速度 $\bar{U} = Q / (\pi D^2 / 4)$ 表示，則
     $\Delta P = \frac{32 \mu L \bar{U}}{D^2}$
     此式明確顯示 $\Delta P \propto \mu$。
   • 在紊流 (turbulent flow) 情況下，雖然黏度對整體阻力的影響不如層流顯著，但黏滯力仍然是形成速度剖面和動量傳輸的基礎，高黏度仍會導致較大的壓力損失，但關係較為複雜，通常透過摩擦係數 $\boldsymbol{f}$ 來體現，而 $\boldsymbol{f}$ 的計算又與雷諾數 $Re$ (其中包含 $\mu$) 有關。

2. 流速 (Velocity, $U$) 的影響：

   • 流速越高，流體動能越大，克服阻力所需的能量也越大。
   • 在層流情況下，壓力降與流速近似成正比。從上述 Hagen-Poiseuille 方程式可見，$\Delta P \propto \bar{U}$。
   • 在紊流情況下，壓力降與流速的關係更為顯著，通常近似為流速的平方。摩擦係數 $\boldsymbol{f}$ 在高雷諾數下趨於定值，此時壓力降與平均速度 $\bar{U}$ 的關係為：
     $\Delta P = f \frac{L}{D} \frac{\rho \bar{U}^2}{2}$
     其中 $\rho$ 是流體密度。因此，在紊流中 $\Delta P \propto \bar{U}^2$。

3. 表面粗糙度 (Surface Roughness, $\epsilon$) 的影響：

   • 表面粗糙度主要影響紊流中的壓力損失。

此題考驗對於兩相流在平行板間層流運動時速度剖面的理解與繪製能力。重點在於兩不同密度流體共存時，其速度分佈的特性。

核心觀念：
在平行板之間的層流中，流體速度剖面通常是拋物線形，最大速度在中心，貼近板面速度為零。當兩種流體共存時，界面處的速度連續性以及各自的流動特性（在此題中，密度不同但假設黏度相同，且為層流）會影響其剖面。

解題過程：
題目假設兩種流體（乙腈，acetonitrile；二氯甲烷，dichloromethane）分別佔據平行板間距的一半，且皆為層流。我們需要繪製並解釋其速度剖面。

假設：

1. 兩流體皆為不可壓縮流體。
2. 兩流體之間的界面是平坦的，且無相對滑動（速度連續）。
3. 兩流體的黏度 $\mu$ 相同，但密度 $\rho$ 不同。
4. 流動是穩定的，且為層流。
5. 流動方向為 $x$ 方向，垂直於板面方向為 $y$ 方向。平行板間的距離為 $2h$。假設乙腈佔據 $-h$ 到 $0$ 的區域，二氯甲烷佔據 $0$ 到 $h$ 的區域（或反之，結果相同）。

速度剖面繪製與解釋：

對於平行板間的層流，若只有單一流體，其速度剖面 $u(y)$ 應為拋物線：
$u(y) = A \left(h^2 - y^2\right)$
其中 $A$ 是由壓力梯度和黏度決定的常數。速度最大值在中心 ($y=0$)，為 $u_{max} = Ah^2$，在板面 ($y=\pm h$) 速度為零。

在此題中，有兩種流體。我們假設乙腈 (密度 $\rho_1 = 0.786 \text{ g/cm}^3$) 佔據 $-h$ 到 $0$ 的區域，二氯甲烷 (密度 $\rho_2 = 1.33 \text{ g/cm}^3$) 佔據 $0$ 到 $h$ 的區域。

由於兩種流體都處於層流，且假設黏度 $\mu$ 相同，流動是由一個恆定的壓力梯度 $\frac{dP}{dx}$ 驅動的。對於平行板間的層流，其速度剖面由 Navier-Stokes 方程式簡化得到：
$\mu \frac{d^2 u}{dy^2} = \frac{dP}{dx}$
積分兩次並考慮邊界條件 $u(\pm h) = 0$，得到：
$u(y) = -\frac{1}{2\mu} \frac{dP}{dx} (h^2 - y^2)$
這個方程式表明，在相同的壓力梯度驅動下，速度剖面形式 $A(h^2 - y^2)$ 僅取決於板間距 $2h$ 和壓力梯度 $\frac{dP}{dx}$ 以及黏度 $\mu$，而與密度 $\rho$ 無關。

因此，儘管兩種流體的密度不同，只要它們共享相同的壓力梯度和黏度，且各自在各自的區域內流動，它們的速度剖面將具有相同的拋物線形狀。

此題包含兩個部分：一是估計無摩擦力影響下的質量流量，二是討論流體在虹吸管中可能發生的沸騰現象。

核心觀念：
第一部分考驗白努利定律 (Bernoulli's equation) 的應用，用於計算無摩擦力條件下的流體速度和流量。
第二部分考驗對流體壓力與溫度關係的理解，特別是汽化壓力的概念，以及在虹吸管壓力降低時可能發生的空蝕 (cavitation) 或沸騰現象。

解題過程：
第一部分：估計質量流量 (假設無摩擦力)

1. 應用白努利定律:
   白努利定律描述了理想流體（無黏性、不可壓縮）在穩定的流動中，沿著流線的總壓（靜壓 + 動壓 + 位能壓）守恆。
   $P_1 + \frac{1}{2} \rho v_1^2 + \rho g h_1 = P_2 + \frac{1}{2} \rho v_2^2 + \rho g h_2$
   其中：

   • $P$ 是靜壓
   • $\rho$ 是流體密度
   • $v$ 是流體速度
   • $g$ 是重力加速度
   • $h$ 是高度

2. 設定參考點:

   • 點 1： tank 表面。
   • 點 2： hose 的出口 (discharge)。
   • 我們也可以考慮 hose 的最高點作為另一個參考點，但直接比較 tank 表面和出口點是最簡潔的方式。

3. 列出各點參數:

   • 點 1 (Tank 表面):
     • $P_1$: 大氣壓力 ($P_{atm}$)。
     • $v_1$: tank 表面水位下降速度。由於 tank 遠大於 hose 直徑，可假設 $v_1 \approx 0$。
     • $h_1$: 設為基準面 (例如 hose 出口處的高度)。則 $h_1 = 1 \text{ m}$。
   • 點 2 (Hose 出口):
     • $P_2$: 流體流出時承受大氣壓力 ($P_{atm}$)。
     • $v_2$: hose 出口的流體速度。這是我們需要計算的。
     • $h_2$: hose 出口的高度，設為基準面，故 $h_2 = 0 \text{ m}$。

4. 應用白努利定律:
   $P_{atm} + \frac{1}{2} \rho (0)^2 + \rho g h_1 = P_{atm} + \frac{1}{2} \rho v_2^2 + \rho g (0)$
   $\rho g h_1 = \frac{1}{2} \rho v_2^2$
   $v_2^2 = 2 g h_1$
   $v_2 = \sqrt{2 g h_1}$

5. 代入數值:

   • $g \approx 9.81 \text{ m/s}^2$
   • $h_1 = 1 \text{ m}$
   • $v_2 = \sqrt{2 \times 9.81 \text{ m/s}^2 \times 1 \text{ m}} \approx \sqrt{19.62} \text{ m/s} \approx 4.43 \text{ m/s}$

6. 計算質量流量 ($\dot{m}$):
   質量流量 $\dot{m}$ 是密度 $\rho$ 乘以體積流量 $Q$。體積流量 $Q$ 是速度 $v_2$ 乘以管路截面積 $A$。

   • 管路直徑 $D = 3 \text{ cm} = 0.03 \text{ m}$。
   • 管路截面積 $A = \frac{\pi D^2}{4} = \frac{\pi (0.03 \text{ m})^2}{4} = \frac{\pi \times 0.0009}{4} \text{ m}^2 \approx 7.068 \times 10^{-4} \text{ m}^2$。
   • 流體：三氯乙烯 (trichloroethylene)。需要查找其密度。在常溫常壓下，三氯乙烯的密度約為 $\rho = 1.46 \text{ g/cm}^3 = 1460 \text{ kg/m}^3$。
   • 體積流量 $Q = v_2 A \approx 4.43 \text{ m/s} \times 7.068 \times 10^{-4} \text{ m}^2 \approx 3.13 \times 10^{-3} \text{ m}^3/\text{s}$。
   • 質量流量 $\dot{m} = \rho Q \approx 1460 \text{ kg/m}^3 \times 3.13 \times 10^{-3} \text{ m}^3/\text{s} \approx 4.57 \text{ kg/s}$。

7. 總結假設:

   • 流體是不可壓縮的。
   • 流體是理想流體，無黏滯性，因此摩擦力可以忽略 (neglected frictional effects)。
   • 流動是穩定的 (steady flow)。
   • tank 表面水位下降速度遠小於出口速度，可視為零。
   • tank 表面與 hose 出口處的壓力均為大氣壓力。
   • hose 內流體從 tank 表面到出口的總高度差為 1 m。
   • hose 內最高點的高度低於 tank 表面，且最高點的壓力高於流體在該點的汽化壓力（這是虹吸作用能持續的條件，也與第二部分有關）。

第二部分：三氯乙烯在 hose 中沸騰的可能性

1. 核心概念：汽化壓力 (Vapor Pressure)

   • 任何液體在特定溫度下都有一個汽化壓力 $P_v$。當液體局部的靜壓力低於或等於其汽化壓力時，液體就會汽化（沸騰）。
   • 汽化壓力隨溫度升高而升高。

2. 虹吸管內的壓力分佈:

   • 在虹吸管中，流體從高處（tank 表面）流向低處（hose 出口），但為了使流體能「向上」越過 tank 的邊緣，hose 的最高點的壓力會比 tank 表面壓力低。
   • 假設 hose 最高點的高度為 $h_{max}$ (相對於 tank 表面)，則在最高點的壓力 $P_{max}$ 可以用白努利定律從 tank 表面計算：
     $P_{atm} + \rho g (h_{max}) = P_{max} + \frac{1}{2} \rho v_{max}^2$
     (這裡假設最高點相對於出口的高度差為 $h_{max}$，且 tank 表面高度設為 $h_{max}$，出口高度設為 0。

此題考驗對層流與紊流中壓力損失與流速關係的理解，以及白努利定律在不同流動條件下的適用性。

核心觀念：

1. 層流與紊流的壓力損失公式:
   • 層流 (Laminar Flow): 壓力損失 $\Delta P$ 與流速 $U$ 成正比。
   • 紊流 (Turbulent Flow): 壓力損失 $\Delta P$ 與流速 $U$ 的平方成正比。
2. 白努利定律的適用條件:
   • 理想流體（無黏性）。
   • 穩定的、不可壓縮的流動。
   • 沿著一條流線。
   • 在考慮實際流體時，需要加入能量損失項。

解題過程：
題目給定「每單位長度的水頭損失」(head loss per unit length) 是固定的。水頭損失 $h_L/L$ 與壓力損失 $\Delta P/L$ 的關係是 $\Delta P = \rho g (h_L/L) L$。因此，「給定的水頭損失每單位長度」意味著 $\Delta P/L$ 是固定的。我們令 $\Delta P/L = K$ (常數)。

情況 (a): 層流 (Laminar Flow)

1. 層流壓力損失公式:
   對於圓管層流，Hagen-Poiseuille 方程式給出壓力損失 $\Delta P$：
   $\Delta P = \frac{128 \mu L Q}{\pi D^4}$
   其中 $Q$ 是體積流量，$D$ 是管徑，$\mu$ 是黏度，$L$ 是管長。
   壓力損失每單位長度為：
   $\frac{\Delta P}{L} = \frac{128 \mu Q}{\pi D^4}$
   我們已知 $\frac{\Delta P}{L} = K$ 是固定的。
   $K = \frac{128 \mu Q}{\pi D^4}$
   體積流量 $Q$ 可以用平均速度 $\bar{U}$ 表示：$Q = \bar{U} A = \bar{U} \frac{\pi D^2}{4}$。
   $K = \frac{128 \mu (\bar{U} \frac{\pi D^2}{4})}{\pi D^4} = \frac{32 \mu \bar{U}}{D^2}$
   所以，$\bar{U} = \frac{K D^2}{32 \mu}$。
   這表明在層流下，平均速度 $\bar{U}$ 與管徑平方 $D^2$ 成正比。
   體積流量 $Q = \bar{U} \frac{\pi D^2}{4} = \frac{K D^2}{32 \mu} \frac{\pi D^2}{4} = \frac{\pi K D^4}{128 \mu}$。
   因此，流量 $Q \propto D^4$。

2. 影響:
   如果將管徑 $D$ 加倍 (變成 $2D$)，則流量 $Q$ 將變成：
   $Q' = \frac{\pi K (2D)^4}{128 \mu} = \frac{\pi K 16 D^4}{128 \mu} = 16 \left(\frac{\pi K D^4}{128 \mu}\right) = 16 Q$
   流量將增加為原來的 16 倍。

情況 (b): 完全紊流 (Completely Turbulent Flow)

1. 紊流壓力損失公式:
   在完全紊流區，摩擦係數 $\boldsymbol{f}$ 主要取決於相對粗糙度 $\epsilon/D$，而與雷諾數 $Re$ 無關。達西-韋斯巴赫 (Darcy-Weisbach) 方程式為：
   $\Delta P = f \frac{L}{D} \frac{\rho \bar{U}^2}{2}$
   壓力損失每單位長度為：
   $\frac{\Delta P}{L} = f \frac{1}{D} \frac{\rho \bar{U}^2}{2} = K$
   在完全紊流區，$\boldsymbol{f}$ 是 $\epsilon/D$ 的函數。我們令 $\boldsymbol{f} = g(\epsilon/D)$。
   $K = g(\epsilon/D) \frac{1}{D} \frac{\rho \bar{U}^2}{2}$
   假設管壁粗糙度 $\epsilon$ 保持不變。當管徑 $D$ 加倍時，相對粗糙度 $\epsilon/(2D)$ 會減半。根據 Moody 圖，在完全紊流區，隨著 $\epsilon/D$ 減小，摩擦係數 $\boldsymbol{f}$ 通常也會減小。
   然而，題目給定的是「給定水頭損失每單位長度」，即 $K$ 是固定的。所以我們從 $K$ 來反推流量變化。
   $K = f \frac{1}{D} \frac{\rho \bar{U}^2}{2}$
   $\bar{U}^2 \propto \frac{K D}{f}$
   $\bar{U} \propto \sqrt{\frac{D}{f}}$
   當 $D$ 加倍為 $2D$ 時，新的摩擦係數 $f'$ 對應於 $\epsilon/(2D)$。
   $\bar{U}' \propto \sqrt{\frac{2D}{f'}}$
   因為 $f'$ 在完全紊流區取決於 $\epsilon/D$，且 $\epsilon/(2D) < \epsilon/D$，所以 $f' < f$。
   流量 $Q = \bar{U} A = \bar{U} \frac{\pi D^2}{4}$。
   $Q \propto \bar{U} D^2 \propto \sqrt{\frac{D}{f}} D^2 = D^{2.5} / \sqrt{f}$。
   當 $D$ 加倍為 $2D$，則 $Q' \propto (2D)^{2.5} / \sqrt{f'} = 2^{2.5} D^{2.5} / \sqrt{f'}$。
   $2^{2.5} = 2^2 \sqrt{2} = 4\sqrt{2} \approx 5.66$。
   所以，流量 $Q'$ 大約是 $5.66 \times (D^{2.5} / \sqrt{f'})$。
   由於 $f'$ 變小，$\sqrt{f'}$ 也變小，這會使得流量 $Q'$ 相對於 $D^{2.5}$ 的增加還要更多。

核心觀念

本題考查：

• 黏性流體的水力邊界層定義；
• 以速度達到自由流速度的 $99\%$ 作為邊界層厚度；
• 穩態吸入流造成的邊界層厚度不隨流向位置 $x$ 增長；
• 邊界層厚度與雷諾數的尺度關係。

給定速度分布為

$$U_x=U_\infty\left(1-e^{-\frac{V y\rho}{\mu}}\right), \qquad U_y=-V.$$

其中 $V$ 為流體穿過多孔板的吸入速度，$\rho$ 為密度，$\mu$ 為動力黏度。

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解題方法

邊界層厚度通常定義為速度達到自由流速度 $99\%$ 的位置，即

$$U_x(\delta)=0.99U_\infty.$$

將速度分布代入：

$$U_\infty\left(1-e^{-\frac{V\delta\rho}{\mu}}\right) =0.99U_\infty.$$

約去 $U_\infty$：

$$1-e^{-\frac{V\delta\rho}{\mu}}=0.99.$$

因此

$$e^{-\frac{V\delta\rho}{\mu}}=0.01.$$

兩邊取自然對數：

$$-\frac{V\delta\rho}{\mu}=\ln(0.01)=-\ln(100).$$

故邊界層厚度為

$$\boxed{ \delta_{99} =\frac{\mu}{\rho V}\ln(100) }$$

亦可寫成

$$\boxed{ \delta_{99} \approx 4.605\frac{\mu}{\rho V} }$$

若僅要求特徵厚度，而不指定 $99\%$ 判定標準，則可取指數衰減的特徵尺度

$$\delta_c=\frac{\mu}{\rho V}.$$

因此二者差別只在常數因子 $\ln(100)\approx4.605$。

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與雷諾數的關係

若以外部流速 $U_\infty$ 與特徵長度 $L$ 定義雷諾數：

$$Re_L=\frac{\rho U_\infty L}{\mu},$$

則

$$\frac{\mu}{\rho V} = \frac{U_\infty}{V}\frac{L}{Re_L}.$$

所以

$$\boxed{ \frac{\delta_{99}}{L} = 4.605\frac{U_\infty/V}{Re_L} }$$