114 年 國立臺灣大學環境工程研究所科學與工程乙組《流體力學（F）》

核心觀念

此題考察兩平行平板間的穩態 Couette flow。液體不可壓縮、穩態且無壓力梯度時，速度分布為線性：

$$\frac{d^2u}{dy^2}=0$$

因此可利用各平板的速度作為邊界條件求得速度分布。流體剪應力為

$$\tau_{xy}=\mu\frac{du}{dy}$$

其中 $\mu$ 為液體動黏度。

設定：

• 下方固定座標：$y=0$
• 中間平板：$y=H$
• 上方固定平板：$y=3H$
• $u$ 為水平向右速度
• 下方平板速度：$u=-1\ \mathrm{m/s}$
• 中間平板速度：$u=3\ \mathrm{m/s}$
• 上方平板速度：$u=0$

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(a) 速度分布

下方液體區域：$0\le y\le H$

邊界條件為

$$u(0)=-1,\qquad u(H)=3$$

線性插值可得

$$u_1(y)=-1+\frac{3-(-1)}{H}y$$

因此

$$\boxed{u_1(y)=-1+\frac{4y}{H}},\qquad 0\le y\le H$$

此區域速度由下方的 $-1\ \mathrm{m/s}$ 線性增加至中間平板的 $3\ \mathrm{m/s}$。

上方液體區域：$H\le y\le 3H$

邊界條件為

$$u(H)=3,\qquad u(3H)=0$$

因此

$$u_2(y)=3+\frac{0-3}{3H-H}(y-H)$$

整理得

$$\boxed{u_2(y)=3-\frac{3(y-H)}{2H}},\qquad H\le y\le 3H$$

此區域速度由中間平板的 $3\ \mathrm{m/s}$ 線性下降至上方固定平板的 $0$。

速度剖面為兩段直線：

• $y=0$ 時，$u=-1$
• $y=H$ 時，$u=3$
• $y=3H$ 時，$u=0$

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(b) 液體速度為零的位置

下方液體區域

令

$$u_1(y)=0$$

則

$$-1+\frac{4y}{H}=0$$

因此

$$\boxed{y=\frac{H}{4}}$$

也就是距離下方平板 $H/4$ 處。

上方液體區域

令

$$u_2(y)=0$$

則

核心觀念

本題是水平沉降室（settling chamber）的重力沉降問題。空氣沿水平方向流動，粒子以終端沉降速度向下移動。

對於直徑極小、粒子雷諾數很低的粒子，採用 Stokes 定律：

$$v_s=\frac{(\rho_p-\rho_a)g d_p^2}{18\mu}$$

其中：

• $\rho_p=2000\ \mathrm{kg/m^3}$：粒子密度
• $\rho_a=1.2\ \mathrm{kg/m^3}$：空氣密度
• $\mu=1.8\times10^{-5}\ \mathrm{kg/(m\cdot s)}$：空氣動黏度
• $d_p=0.1\ \mu\mathrm{m}=1.0\times10^{-7}\ \mathrm{m}$
• $g=9.81\ \mathrm{m/s^2}$

假設粒子均勻分布於高 $H=2\ \mathrm{m}$ 的截面，則要達到 95% 沉降，粒子平均需沉降的距離為

$$0.95H=0.95(2)=1.9\ \mathrm{m}$$

解題方法

1. 計算粒子的沉降速度

$$v_s = \frac{(2000-1.2)(9.81)(1.0\times10^{-7})^2} {18(1.8\times10^{-5})}$$ $$v_s\approx 6.05\times10^{-7}\ \mathrm{m/s}$$

此粒子的沉降速度非常小，符合低雷諾數下的 Stokes 沉降假設。

2. 計算空氣平均流速

體積流率為

$$Q=5000\ \mathrm{m^3/day} =\frac{5000}{86400} \approx 0.05787\ \mathrm{m^3/s}$$

方形風管的截面積為

$$A=2\times2=4\ \mathrm{m^2}$$

因此平均流速為

$$U=\frac{Q}{A} =\frac{0.05787}{4} \approx 0.01447\ \mathrm{m/s}$$

3. 計算所需沉降時間

$$t_s=\frac{0.95H}{v_s} =\frac{1.9}{6.05\times10^{-7}} \approx 3.14\times10^6\ \mathrm{s}$$

4. 計算所需風管長度

空氣在風管內的停留時間為 $L/U$，因此

$$\frac{L}{U}=t_s$$

核心觀念

本題考查：

• 速度場的散度與不可壓縮條件：$\nabla\cdot\vec V=0$
• 渦度定義：$\vec\omega=\nabla\times\vec V$
• Bernoulli 方程的適用條件
• 流線與粒子路徑線的關係
• 動壓與單位體積動能：
  $q=\frac12\rho V^2$
• 氣體流動採不可壓縮近似時的低馬赫數條件

令

$$u=x^2y-z,\qquad v=z^2y-x,\qquad w=y^2z-x.$$

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(a) 不可壓縮性與 Bernoulli 方程

1. 判斷是否為不可壓縮流

不可壓縮流要求速度場散度為零：

$$\nabla\cdot\vec V = \frac{\partial u}{\partial x} +\frac{\partial v}{\partial y} +\frac{\partial w}{\partial z}.$$

分別計算：

$$\frac{\partial u}{\partial x}=2xy,$$ $$\frac{\partial v}{\partial y}=z^2,$$ $$\frac{\partial w}{\partial z}=y^2.$$

因此

$$\nabla\cdot\vec V=2xy+y^2+z^2.$$

此結果一般不等於零，因此此速度場不是不可壓縮流。

對於穩態流動，連續方程為

$$\nabla\cdot(\rho\vec V)=0.$$

展開後可得

$$\frac{D\rho}{Dt}+\rho\nabla\cdot\vec V=0.$$

由於 $\nabla\cdot\vec V$ 一般不為零，氣體密度會沿流線改變，具有可壓縮性。

2. Bernoulli 方程能否直接使用

標準 Bernoulli 方程

$$\frac{p}{\rho}+\frac{V^2}{2}+gz=\text{constant}$$

通常要求：

1. 穩態流；
2. 無黏性；
3. 沿同一條流線使用；
4. 流體為不可壓縮，或為適當的定熵可壓縮流；
5. 若要在整個流場使用同一常數，還需為無旋流。

本題雖然是穩態速度場，但

$$\nabla\cdot\vec V\neq 0,$$

且後面的渦度計算顯示

$$\nabla\times\vec V\neq\vec 0.$$

因此不能直接套用「不可壓縮、無旋流」形式的 Bernoulli 方程，也不能僅由此速度場求出靜壓分布。若要對氣體使用可壓縮流 Bernoulli 關係，還必須知道熱力學條件，例如定熵關係、比熱比與狀態方程。

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(b) 渦度、物理意義與停滯點

1. 計算渦度

渦度定義為

$$\vec\omega=\nabla\times\vec V.$$

因此

$$\vec\omega = \left( \frac{\partial w}{\partial y}-\frac{\partial v}{\partial z} \right)\hat i + \left( \frac{\partial u}{\partial z}-\frac{\partial w}{\partial x} \right)\hat j + \left( \frac{\partial v}{\partial x}-\frac{\partial u}{\partial y} \right)\hat k.$$

各分量為

$$\frac{\partial w}{\partial y}=2yz,\qquad \frac{\partial v}{\partial z}=2yz,$$

所以

$$\omega_x=0.$$

又

$$\frac{\partial u}{\partial z}=-1,\qquad \frac{\partial w}{\partial x}=-1,$$

所以

$$\omega_y=0.$$

最後，

$$\frac{\partial v}{\partial x}=-1,\qquad \frac{\partial u}{\partial y}=x^2,$$

故

$$\omega_z=-1-x^2.$$

因此

$$\boxed{\vec\omega=-(1+x^2)\hat k}.$$

2. 物理意義

由於

$$\omega_z=-(1+x^2)<0$$

對所有實數 $x$ 都成立，流場在每一點均具有非零渦度，表示流體微小元素具有繞 $z$ 軸的局部旋轉運動。

流體微小元素的局部角速度為

$$\vec\Omega=\frac12\vec\omega = -\frac{1+x^2}{2}\hat k.$$

負號表示依右手定則，從 $+z$ 軸方向朝原點觀看時，局部旋轉方向為順時針。此流場不是無旋流，因此不存在全域速度勢函數 $\phi$ 使得

$$\vec V=\nabla\phi.$$

3. 求停滯點

停滯點滿足

$$u=v=w=0.$$

也就是

$$x^2y-z=0,$$ $$z^2y-x=0,$$ $$y^2z-x=0.$$

情況一：$x=0$

由第二式得

$$z^2y=0.$$

配合第一式 $z=x^2y=0$，得到

$$z=0.$$

此時第三式自動成立，因此得到一條停滯點集合：

$$\boxed{(x,y,z)=(0,y,0)}$$

其中 $y$ 可為任意實數。

情況二：$x\neq 0$

由第一式與第二式：

$$z=x^2y,\qquad x=z^2y.$$

代入 $z=x^2y$：

$$x=(x^2y)^2y=x^4y^3.$$

因為 $x\neq0$，可得

$$1=x^3y^3=(xy)^3,$$

因此

$$xy=1.$$

故

$$x=\frac1y,\qquad z=x^2y=\frac1y.$$

得到另一組停滯點：

$$\boxed{(x,y,z)=\left(\frac1y,y,\frac1y\right)},\qquad y\neq0.$$

所以停滯點不是單一點，而是兩組曲線：

$$\boxed{(0,y,0)}$$

以及

$$\boxed{\left(\frac1y,y,\frac1y\right),\ y\neq0}.$$

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(c) $xy$ 平面上的流線與起始點的粒子路徑

1. 流線基本方程

流線滿足

$$\frac{dx}{u} = \frac{dy}{v} = \frac{dz}{w}.$$

若只考察 $xy$ 平面 $z=0$ 上的流線投影，速度分量變為

$$u=x^2y,\qquad v=-x,\qquad w=-x.$$

因此平面內的投影流線滿足

$$\frac{dy}{dx}=\frac{v}{u} = \frac{-x}{x^2y} = -\frac1{xy}.$$

分離變數：

$$y\,dy=-\frac{dx}{x}.$$

積分得

$$\frac{y^2}{2}=-\ln|x|+C.$$

整理為

$$\boxed{y^2+2\ln|x|=C}.$$

核心觀念

本題考查開放渠道中河床邊界層的成長，以及牛頓流體壁面剪應力定義：

$$\tau_w=\mu\left.\frac{du}{dy}\right|_{y=0} =\rho\nu\left.\frac{du}{dy}\right|_{y=0},$$

其中 $\mu$ 為動力黏度、$\rho$ 為密度、$\nu=\mu/\rho$ 為運動黏度。

速度分布採用

$$u(y)=U_\infty\left(\frac{y}{\delta}\right)^{1/7}.$$

此種 $1/7$ 次方分布常用於湍流邊界層的工程近似，但它在非常靠近壁面處並不符合真實的黏性底層速度分布。

解題方法

（a）影響邊界層厚度 $\delta(x)$ 成長的因素

邊界層厚度代表由河床黏性與剪切作用影響的流體區域範圍。水流沿河床向下游發展時，河床對流體的阻滯作用逐漸向外傳遞，因此通常有

$$\frac{d\delta}{dx}>0.$$

其成長主要受下列因素影響：

1. 下游距離 $x$
   流體沿河床流動的距離越長，黏性效應累積越充分，邊界層越厚。

2. 自由流速度 $U_\infty$
   速度越大，慣性作用越強，通常會改變邊界層的成長速率與壁面剪應力。

3. 運動黏度 $\nu$
   $\nu$ 越大，動量擴散越快，邊界層成長越迅速。

4. 雷諾數與流況
   局部雷諾數可寫成

   $$Re_x=\frac{U_\infty x}{\nu}.$$

   雷諾數決定邊界層屬於層流、轉捩流或湍流；湍流中的動量交換較強，邊界層通常成長較快。

5. 河床表面條件與壓力梯度
   本題設定為 smooth riverbed，因此粗糙度影響可忽略，但河床粗糙度、逆壓力梯度、河床坡度、自由液面與流道幾何仍會影響 $\delta(x)$ 的發展。逆壓力梯度會使邊界層增厚，嚴重時甚至造成分離。

（b）河床壁面剪應力

由題給速度分布：

$$u(y)=U_\infty\left(\frac{y}{\delta}\right)^{1/7}.$$

對 $y$ 微分：

$$\frac{du}{dy} = U_\infty\cdot\frac{1}{7} \left(\frac{y}{\delta}\right)^{-6/7} \frac{1}{\delta}.$$

因此距離河床 $y$ 處的局部剪應力為

$$\tau(y) = \rho\nu\frac{du}{dy} = \frac{\rho\nu U_\infty}{7\delta} \left(\frac{y}{\delta}\right)^{-6/7}.$$

壁面剪應力應取 $y\to0^+$ 的極限：

$$\tau_w = \lim_{y\to0^+} \frac{\rho\nu U_\infty}{7\delta} \left(\frac{y}{\delta}\right)^{-6/7}.$$

由於

核心觀念

本題考查管內流動的：

1. 平均流速與 Reynolds 數。
2. Darcy–Weisbach 摩擦損失。
3. Darcy 摩擦因子 $f$ 的估算。
4. 流動入口段長度與充分發展流的判定。

管內平均流速為

$$V=\frac{Q}{A}$$

其中圓管截面積

$$A=\frac{\pi D^2}{4}$$

Reynolds 數為

$$Re=\frac{VD}{\nu}$$

Darcy–Weisbach 方程式為

$$h_f=f\frac{L}{D}\frac{V^2}{2g}$$

因此，單位長度的能量損失為

$$\frac{h_f}{L}=f\frac{V^2}{2gD}$$

---

解題方法

（a）單位長度摩擦能量損失

1. 計算管內平均流速

圓管截面積為

$$A=\frac{\pi(0.3)^2}{4} =0.07069\ \text{m}^2$$

因此平均流速

$$V=\frac{0.1}{0.07069} =1.415\ \text{m/s}$$

2. 計算 Reynolds 數

$$Re=\frac{VD}{\nu} =\frac{(1.415)(0.3)}{1.0\times10^{-6}}$$ $$Re\approx4.24\times10^5$$

由於 $Re>4000$，流動屬於紊流。

相對粗糙度為

$$\frac{\epsilon}{D} =\frac{0.0002}{0.3} =6.67\times10^{-4}$$

3. 計算 Darcy 摩擦因子

題目提供 Haaland 方程式：

$$\frac{1}{\sqrt{f}} = -1.8\log_{10} \left[ \left(\frac{\epsilon/D}{3.7}\right)^{1.11} +\frac{6.9}{Re} \right]$$

代入數值：

$$\frac{\epsilon/D}{3.7} = \frac{6.67\times10^{-4}}{3.7} =1.80\times10^{-4}$$ $$\left(1.80\times10^{-4}\right)^{1.11} \approx6.98\times10^{-5}$$ $$\frac{6.9}{Re} = \frac{6.9}{4.24\times10^5} \approx1.63\times10^{-5}$$

因此

$$\frac{1}{\sqrt{f}} = -1.8\log_{10} \left(8.61\times10^{-5}\right) \approx7.32$$

得到

$$f\approx0.0187$$

使用 Colebrook 方程式迭代所得結果約為 $f=0.0185\sim0.0187$，故可採用

$$f\approx0.0186$$

4. 計算單位長度能量損失

$$\frac{h_f}{L} = f\frac{V^2}{2gD}$$

代入 $f=0.0186$、$V=1.415\ \text{m/s}$、$D=0.3\ \text{m}$：

$$\frac{h_f}{L} = 0.0186 \frac{(1.415)^2}{2(9.81)(0.3)}$$ $$\boxed{\frac{h_f}{L}\approx6.3\times10^{-3}\ \text{m/m}}$$

表示管線每增加 $1$ m，約損失 $0.0063$ m 的水頭。

若換算成單位長度壓力損失，取水的密度 $\rho\approx1000\ \text{kg/m}^3$：

$$\frac{\Delta p}{L} = \rho g\frac{h_f}{L}$$

核心觀念

此題考察兩平行平板間的穩態 Couette flow。液體不可壓縮、穩態且無壓力梯度時，速度分布為線性：

$$\frac{d^2u}{dy^2}=0$$

因此可利用各平板的速度作為邊界條件求得速度分布。流體剪應力為

$$\tau_{xy}=\mu\frac{du}{dy}$$

其中 $\mu$ 為液體動黏度。

設定：

• 下方固定座標：$y=0$
• 中間平板：$y=H$
• 上方固定平板：$y=3H$
• $u$ 為水平向右速度
• 下方平板速度：$u=-1\ \mathrm{m/s}$
• 中間平板速度：$u=3\ \mathrm{m/s}$
• 上方平板速度：$u=0$

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(a) 速度分布

下方液體區域：$0\le y\le H$

邊界條件為

$$u(0)=-1,\qquad u(H)=3$$

線性插值可得

$$u_1(y)=-1+\frac{3-(-1)}{H}y$$

因此

$$\boxed{u_1(y)=-1+\frac{4y}{H}},\qquad 0\le y\le H$$

此區域速度由下方的 $-1\ \mathrm{m/s}$ 線性增加至中間平板的 $3\ \mathrm{m/s}$。

上方液體區域：$H\le y\le 3H$

邊界條件為

$$u(H)=3,\qquad u(3H)=0$$

因此

$$u_2(y)=3+\frac{0-3}{3H-H}(y-H)$$

整理得

$$\boxed{u_2(y)=3-\frac{3(y-H)}{2H}},\qquad H\le y\le 3H$$

此區域速度由中間平板的 $3\ \mathrm{m/s}$ 線性下降至上方固定平板的 $0$。

速度剖面為兩段直線：

• $y=0$ 時，$u=-1$
• $y=H$ 時，$u=3$
• $y=3H$ 時，$u=0$

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(b) 液體速度為零的位置

下方液體區域

令

$$u_1(y)=0$$

則

$$-1+\frac{4y}{H}=0$$

因此

$$\boxed{y=\frac{H}{4}}$$

也就是距離下方平板 $H/4$ 處。

上方液體區域

令

$$u_2(y)=0$$

則