109 年 國立臺灣大學環境工程研究所科學與工程乙組《流體力學（F）》

此題主要在考察學生對流體基本性質定義的理解，包含「比重」與「單位重量」。

比重 (Specific Gravity, SG)

比重定義為某物質的密度與參考物質（通常是特定溫度下的純水）密度的比值。由於是密度的比值，因此比重是一個無因次量。

$\text{SG} = \frac{\rho_{\text{substance}}}{\rho_{\text{reference}}}$

在常溫常壓下，參考物質常選用 4°C 的純水，其密度約為 $1000 \, \text{kg/m}^3$。

• SI 單位: 比重是無因次量，沒有單位。

單位重量 (Specific Weight, $\gamma$)

單位重量定義為單位體積的重量。重量是質量乘以重力加速度，因此單位重量可以表示為密度乘以重力加速度。

$\gamma = \frac{W}{V} = \frac{mg}{V} = \rho g$

此題考驗學生對「體積彈性模數」的定義與 SI 單位的掌握。

體積彈性模數 (Bulk Modulus of Elasticity, $K$ 或 $E_v$)

體積彈性模數用來描述物質抵抗均勻壓力（壓縮）的能力。它定義為體積應力（壓力變化）與體積應變（相對體積變化）的比值。當壓力增加時，體積會減小，因此體積應變為負值，為了使體積彈性模數為正，定義中常包含負號。

$K = -V \frac{dP}{dV} = -\frac{dP}{dV/V}$

其中：

• $K$ 是體積彈性模數
• $V$ 是原始體積
• $dP$ 是壓力變化
• $dV$ 是體積變化
• $dV/V$ 是體積應變 (volumetric strain)

此題要求解釋「動態黏度」的定義及其 SI 單位。

動態黏度 (Dynamic Viscosity, $\mu$)

動態黏度是流體內部的摩擦力，用來衡量流體抵抗剪切應力的能力。它描述了流體層之間由於分子間作用力及動量傳遞而產生的內在阻力。對於牛頓流體，動態黏度與剪應力 ($\tau$) 和速度梯度 ($\frac{du}{dy}$) 的關係由牛頓黏度定律描述：

$\tau = \mu \frac{du}{dy}$

其中：

• $\tau$ 是剪應力
• $\mu$ 是動態黏度
• $\frac{du}{dy}$ 是速度梯度（速度 $u$ 相對於垂直於流動方向的距離 $y$ 的變化率）

動態黏度越大，表示流體越「黏稠」，抵抗流動的阻力越大。

此題要求解釋牛頓流體與非牛頓流體的區別，並繪製圖形說明，同時探討哪種流體適用於製作防彈背心。

核心觀念： 流體分類（牛頓 vs. 非牛頓），非牛頓流體的行為（剪應力-速度梯度關係、視黏度-速度梯度關係），以及材料性質與應用之間的關聯。

第一部分：牛頓流體與非牛頓流體（圖一：剪應力 vs. 速度梯度）

• 牛頓流體 (Newtonian Fluids)：
  其剪應力 ($\tau$) 與速度梯度 ($\frac{du}{dy}$) 成正比，比例常數即為動態黏度 ($\mu$)。此關係為線性，且動態黏度 $\mu$ 不隨速度梯度改變。
  $\tau = \mu \frac{du}{dy}$

• 非牛頓流體 (Non-Newtonian Fluids)：
  其剪應力與速度梯度的關係不是線性的，或者黏度隨速度梯度而變化。

  • 假塑性流體 (Pseudoplastic Fluids) / 剪切稀化流體 (Shear-thinning Fluids)：
    隨著速度梯度增加，剪應力增加的速率減緩，表示其「視黏度」下降。例如：油漆、血液、聚合物溶液。

  • 剪脹性流體 (Dilatant Fluids) / 剪切增稠流體 (Shear-thickening Fluids)：
    隨著速度梯度增加，剪應力增加的速率加快，表示其「視黏度」上升。例如：玉米澱粉水溶液（太白粉水）。

  • ** Bingham 塑性流體 (Bingham Plastic Fluids)**：
    需要達到一定的起始剪應力（屈服應力, $\tau_y$）後，才會開始流動，且流動時的剪應力與速度梯度呈線性關係（視為一條平行於橫軸的線，然後斜率為 $\mu$）。例如：牙膏、番茄醬。

圖一：剪應力 ($\tau$) vs. 速度梯度 ($\frac{du}{dy}$) 的示意圖

🖼️【此處有附圖，請對照原卷】
圖一通常是一個圖，橫軸為速度梯度 ($\frac{du}{dy}$)，縱軸為剪應力 ($\tau$)。

• 牛頓流體：是一條通過原點的直線，斜率為 $\mu$。
• 假塑性流體：圖形通過原點，但斜率隨 $\frac{du}{dy}$ 增加而減小（曲線越來越平緩）。
• 剪脹性流體：圖形通過原點，但斜率隨 $\frac{du}{dy}$ 增加而增大（曲線越來越陡峭）。
• Bingham 塑性流體：圖形在 $\tau$ 軸上有一個截距 $\tau_y$（屈服應力），超過此值後，圖形通過原點（假設其流動時的行為類似牛頓流體，但有起始應力）。

第二部分：視黏度 vs. 速度梯度

核心觀念

1. 流態判別準則（雷諾數 $Re$）：
   流體流動狀態為層流（Laminar flow）或紊流（Turbulent flow），取決於慣性力（Inertia force）與黏滯力（Viscous force）的相對比值，即雷諾數（Reynolds Number）：

   $$Re = \frac{\text{Inertia Force}}{\text{Viscous Force}} = \frac{\rho V L_c}{\mu} = \frac{V L_c}{\nu}$$

   其中：

   • $\rho$ 為流體密度（$\text{kg/m}^3$）
   • $V$ 為斷面平均流速（$\text{m/s}$）
   • $L_c$ 為特徵長度（Characteristic length, $\text{m}$）
   • $\mu$ 為動力黏滯係數（Dynamic viscosity, $\text{Pa}\cdot\text{s}$ 或 $\text{N}\cdot\text{s/m}^2$）
   • $\nu = \mu / \rho$ 為運動黏滯係數（Kinematic viscosity, $\text{m}^2/\text{s}$）

2. 幾何特徵長度定義：

   • 圓管流：特徵長度為管內徑 $D$。非圓形截面則採用水力直徑（Hydraulic Diameter）$D_h = \frac{4A}{P}$（$A$ 為截面積，$P$ 為潤周）。
   • 明渠流：特徵長度通常採用水力半徑（Hydraulic Radius）$R_h = \frac{A}{P_w}$（$P_w$ 為與固體邊界接觸之潤周，不計自由液面）。

3. 微流體系統（Microfluidics）之流動特性：
   微流道尺度通常在微米等級（$1\,\mu\text{m} \sim 500\,\mu\text{m}$），由於特徵尺寸極小，在一般工作流速下雷諾數極低（通常 $Re \ll 1$ 至 $Re < 100$），流場天然處於穩定層流狀態（Stokes flow 或 Hele-Shaw flow 區間），兩股流體在 Y 型交會處主要依靠分子擴散（Molecular diffusion）進行質傳。

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解題方法

本題分為三大部分回答：管流流態判別、明渠流流態判別、以及 Y 型微流體晶片幾何與流速設計。

一、管流（Pipe Flow）之流態判別

1. 公式計算：
   對於圓管流，特徵長度 $L_c = D$（內徑），雷諾數定義為：

   $$Re = \frac{\rho V D}{\mu} = \frac{V D}{\nu}$$

   （若為非圓形封閉管道，則以水力直徑 $D_h = \frac{4A}{P}$ 取代 $D$）。

2. 判別準則（臨界雷諾數 $Re_{cr}$）：

   • 層流（Laminar Flow）：$Re < 2100 \sim 2300$
     （流體呈規則分層流動，流線平行無橫向混雜）。
   • 過渡流（Transitional Flow）：$2100 \le Re \le 4000$
     （流場不穩定，層流與微渦旋交替出現）。
   • 紊流（Turbulent Flow）：$Re > 4000$
     （流體質點呈現強烈無序脈動與渦流混合）。

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二、明渠流（Open-Channel Flow）之流態判別

1. 公式計算：
   明渠流具有自由液面（Free surface），其水力特性由重力與邊界剪應力主導，特徵長度取水力半徑 $R_h$：

   $$R_h = \frac{A}{P_w}$$

   雷諾數公式定義為：

   $$Re = \frac{\rho V R_h}{\mu} = \frac{V R_h}{\nu}$$

2. 判別準則（以 $R_h$ 為特徵長度）：

   • 層流（Laminar Flow）：$Re < 500$
   • 過渡流（Transitional Flow）：$500 \le Re \le 2000$（部分文獻定義為 $500 \sim 1000$）
   • 紊流（Turbulent Flow）：$Re > 2000$

附註：若部分水力學文獻以水力直徑 $D_h = 4R_h$ 作為特徵長度，則其臨界雷諾數門檻將放大 4 倍，即 $Re_{D_h} < 2000$ 為層流，$Re_{D_h} > 8000$ 為紊流。

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三、Y 型微流體晶片（Y-Channel Microfluidic Chip）之設計步驟

為確保流體在 Y 型微流道內（兩支入流道及匯流主流道）保持穩定的層流，設計流程與參數決定步驟如下：

Branch 1 (w1, h) ───\
                     ├─── Main Channel (w_m, h) ───> Outlet
Branch 2 (w2, h) ───/

1. 決定幾何截面尺寸（寬度 $w$ 與深度 $h$）

• 斷面幾何參數：
  設微流道截面為矩形，通道寬度為 $w$、深度為 $h$。
  • 截面積：$A = w \cdot h$
  • 潤周：$P = 2(w + h)$
• 計算水力直徑 $D_h$： $$D_h = \frac{4A}{P} = \frac{4wh}{2(w+h)} = \frac{2wh}{w+h}$$
• 尺寸選取依據：
  • 一般微流體晶片微加工製程（如 PDMS 光微影軟微影技術）之典型尺寸範圍：

核心觀念

本題考查：

• 伯努力方程式與連續方程式
• 水火箭噴流水流速度
• 變質量系統的火箭方程式
• 推力作用時間與重力造成的速度損失

假設水排出期間瓶內壓力維持 $32\ \text{kPa}$ 表壓，且火箭初始靜止、噴流出口壓力等於大氣壓。

解題方法

1. 求噴嘴出口速度

火箭內部截面積為

$$A_1=\frac{\pi D^2}{4} =\frac{\pi(0.1)^2}{4} =7.854\times10^{-3}\ \text{m}^2$$

出口面積為

$$A_2=0.1A_1 =7.854\times10^{-4}\ \text{m}^2$$

由連續方程式：

$$A_1v_1=A_2v_2$$

因此

$$v_1=0.1v_2$$

在水面與出口間使用伯努力方程式。以大氣壓為基準，水面表壓為 $32\ \text{kPa}$，出口表壓為 $0$：

$$\frac{p_1}{\rho}+\frac{v_1^2}{2} = \frac{p_2}{\rho}+\frac{v_2^2}{2}$$

取水在 $4^\circ\text{C}$ 時的密度 $\rho=1000\ \text{kg/m}^3$，得

$$\frac{32000}{1000} +\frac{(0.1v_2)^2}{2} = \frac{v_2^2}{2}$$

所以

$$v_2 = \sqrt{\frac{2(32000)} {1000(1-0.1^2)}} = 8.04\ \text{m/s}$$

此速度為水相對於火箭的噴出速度。

2. 求水排出的時間

水的質量為 $314\ \text{g}$，因此體積為

$$V_w=\frac{0.314}{1000} =3.14\times10^{-4}\ \text{m}^3$$

體積流率為

$$Q=A_2v_2 =(7.854\times10^{-4})(8.04) =6.31\times10^{-3}\ \text{m}^3/\text{s}$$

故排水時間為

核心觀念

本題考查 Buckingham $\Pi$ 定理。若物理關係包含 $n$ 個有因次變數，且基本因次數為 $r$，則可組成 $n-r$ 個相互獨立的無因次參數。

題目變數為

$$Q,\ N,\ D,\ h_p,\ \mu,\ \rho,\ g$$

共有 $n=7$ 個變數，基本因次為質量 $M$、長度 $L$、時間 $T$，因此 $r=3$，可得到

$$7-3=4$$

個無因次群。

各物理量因次如下：

$$\begin{aligned} [Q]&=L^3T^{-1},\\ [N]&=T^{-1},\\ [D]&=L,\\ [h_p]&=L,\\ [\mu]&=ML^{-1}T^{-1},\\ [\rho]&=ML^{-3},\\ [g]&=LT^{-2}. \end{aligned}$$

其中 $h_p$ 為泵浦揚程，因次為長度；$\mu$ 為動黏度以外的「動力黏度」，因次為 $ML^{-1}T^{-1}$。

解題方法

選取 $N$、$D$、$\rho$ 作為重複變數。它們涵蓋 $T$、$L$、$M$ 三種基本因次，且彼此獨立。

1. 流量所形成的無因次群

設

$$\Pi_Q=Q N^aD^b\rho^c$$

代入因次：

$$[\Pi_Q] = (L^3T^{-1})(T^{-1})^a(L)^b(ML^{-3})^c$$

整理得

$$[\Pi_Q] = M^cL^{3+b-3c}T^{-1-a}.$$

要求其為無因次量：

$$\begin{aligned} c&=0,\\ 3+b-3c&=0,\\ -1-a&=0. \end{aligned}$$

因此

$$a=-1,\qquad b=-3,\qquad c=0.$$

故

$$\Pi_Q=\frac{Q}{ND^3}.$$

2. 揚程所形成的無因次群

設

$$\Pi_h=h_pN^aD^b\rho^c.$$

由於 $[h_p]=L$，有

$$[\Pi_h] = M^cL^{1+b-3c}T^{-a}.$$

令各基本因次指數為零：

$$\begin{aligned} c&=0,\\ 1+b-3c&=0,\\ -a&=0. \end{aligned}$$

得到

$$a=0,\qquad b=-1.$$

此結果只形成 $h_p/D$，但泵浦相似律中通常以轉速所造成的速度尺度 $ND$ 表示揚程，因此應將揚程理解為單位質量能量或壓力形式所對應的泵浦性能變數。對題目要求的標準泵浦無因次形式，揚程參數為

$$\Pi_1=\frac{h_p}{N^2D^2/g} =\frac{gh_p}{N^2D^2}.$$

等價地，也可將其倒數或將 $g$ 納入重力參數中表達。

3. 黏度所形成的無因次群

設

$$\Pi_\mu=\mu N^aD^b\rho^c.$$

代入因次：

$$[\Pi_\mu] = (ML^{-1}T^{-1})(T^{-1})^a(L)^b(ML^{-3})^c$$

整理：

$$[\Pi_\mu] = M^{1+c}L^{-1+b-3c}T^{-1-a}.$$

令各指數為零：

$$\begin{aligned} 1+c&=0,\\ -1+b-3c&=0,\\ -1-a&=0. \end{aligned}$$

因此

$$c=-1,\qquad a=-1,\qquad b=-2.$$

故

核心觀念

本題考查圓管內定常、不可壓縮、牛頓流體的完全發展層流。由於管內沒有壓力梯度，流動完全由重力沿管軸方向的分量所驅動。

管軸方向取為 $x$ 軸，且管子沿 $x$ 軸向下傾斜角 $a$，因此重力在管軸方向的分量為

$$g_x=g\sin a.$$

軸向速度僅為半徑 $r$ 的函數：

$$u=u(r).$$

解題方法與速度分布推導

對圓管內的軸向動量方程式，有

$$0=-\frac{dP}{dx} +\mu\left[\frac{1}{r}\frac{d}{dr} \left(r\frac{du}{dr}\right)\right] +\rho g\sin a.$$

題目給定

$$\frac{dP}{dx}=0,$$

故

$$\frac{1}{r}\frac{d}{dr} \left(r\frac{du}{dr}\right) =-\frac{\rho g\sin a}{\mu}.$$

乘以 $r$ 後積分：

$$\frac{d}{dr}\left(r\frac{du}{dr}\right) =-\frac{\rho g\sin a}{\mu}r,$$ $$r\frac{du}{dr} =-\frac{\rho g\sin a}{2\mu}r^2+C_1.$$

在管中心 $r=0$，速度梯度必須有限，因此 $C_1=0$。繼續積分得

$$\frac{du}{dr} =-\frac{\rho g\sin a}{2\mu}r,$$ $$u(r)=-\frac{\rho g\sin a}{4\mu}r^2+C_2.$$

管壁滿足無滑移條件

$$u(R)=0,$$

因此

$$C_2=\frac{\rho g\sin a}{4\mu}R^2.$$

所以軸向速度分布為

$$\boxed{ u(r)=\frac{\rho g\sin a}{4\mu}(R^2-r^2) }$$

或以管徑 $D=2R$ 表示：

$$\boxed{ u(r)=\frac{\rho g\sin a}{4\mu} \left(\frac{D^2}{4}-r^2\right) }.$$

最大速度位於管中心：

$$u_{\max}=u(0)=\frac{\rho g\sin a}{4\mu}R^2.$$

體積流率

體積流率為

$$Q=\int_A u\,dA =2\pi\int_0^R u(r)r\,dr.$$

代入速度分布：