115 年 國立臺灣大學環境工程研究所科學與工程乙組《流體力學（F）》

本題主要在測試學生對曼寧公式的理解與應用，特別是在圓管全流情況下的推導與計算。

(a) 曼寧公式推導與應用：
首先，我們需要推導全圓管流動下的水力半徑 $R_h$。
對於一個直徑為 $D$ 的圓管，其斷面積 $A$ 為：
$A = \frac{\pi D^2}{4}$
其濕周 $P$ (wetted perimeter) 為圓周長：
$P = \pi D$
因此，水力半徑 $R_h$ 定義為 $A/P$：
$R_h = \frac{A}{P} = \frac{\frac{\pi D^2}{4}}{\pi D} = \frac{D}{4}$
這就證明了 $R_h = D/4$。

接著，我們將 $R_h = D/4$ 代入曼寧公式，並將 $A$ 用 $D$ 表示，以得到 $Q$ 僅以 $D, n, S_0$ 表示的式子：
$Q = \frac{1}{n} A R_h^{2/3} S_0^{1/2}$
$Q = \frac{1}{n} \left( \frac{\pi D^2}{4} \right) \left( \frac{D}{4} \right)^{2/3} S_0^{1/2}$
$Q = \frac{1}{n} \frac{\pi}{4} D^2 \left( \frac{D}{4} \right)^{2/3} S_0^{1/2}$
$Q = \frac{1}{n} \frac{\pi}{4} D^2 \frac{D^{2/3}}{4^{2/3}} S_0^{1/2}$
$Q = \frac{\pi}{4 \cdot 4^{2/3}} \frac{1}{n} D^{2 + 2/3} S_0^{1/2}$
$Q = \frac{\pi}{4^{5/3}} \frac{1}{n} D^{8/3} S_0^{1/2}$
我們可以將常數項合併。令 $C = \frac{\pi}{4^{5/3}}$，則：
$Q = C \frac{D^{8/3}}{n} S_0^{1/2}$
可以看到，流量 $Q$ 與直徑 $D$ 的 $8/3$ 次方成正比。

現在我們來解釋為什麼流量隨直徑增加的倍數與 $D^4$ 不同。
假設原來的直徑為 $D_1$，流量為 $Q_1$；新的直徑為 $D_2 = 2D_1$，流量為 $Q_2$。
根據 $Q \propto D^{8/3}$ 的關係：

核心觀念

本題考查沉澱池的平均水平流速、水力停留時間（HRT）與表面溢流率（SOR），以及實際流場偏離理想活塞流時，短流如何影響沉澱效率。

矩形池的平均水平流速，以流量除以垂直於流向的過水斷面積：

$$\bar{u}=\frac{Q}{WH}$$

水力停留時間是池內有效容積除以流量：

$$\mathrm{HRT}=\frac{LWH}{Q}$$

表面溢流率是流量除以池子的水平表面積：

$$\mathrm{SOR}=\frac{Q}{A_s}=\frac{Q}{LW}$$

解題方法

（a）平均水平流速與 HRT

水流通過池子的過水斷面積為：

$$A_c=WH=(6)(3)=18\ \mathrm{m^2}$$

因此，平均水平流速為：

$$\bar{u}=\frac{Q}{A_c} =\frac{0.054}{18} =0.003\ \mathrm{m/s}$$

池內有效容積為：

$$V=LWH=(30)(6)(3)=540\ \mathrm{m^3}$$

因此，水力停留時間為：

$$\mathrm{HRT}=\frac{V}{Q} =\frac{540}{0.054} =10{,}000\ \mathrm{s}$$

換算為小時：

$$\mathrm{HRT}=\frac{10{,}000}{3600} \approx 2.78\ \mathrm{h}$$

亦可用水池長度除以平均流速驗算：

$$\frac{L}{\bar{u}}=\frac{30}{0.003} =10{,}000\ \mathrm{s}$$

兩種算法相同。

短流的成因與改善設計

短流是指部分水流走了比池體設計流路更短的路徑，提早到達出水端，造成實際停留時間低於名目 HRT。此時即使平均流速符合設計值，池內各處的速度仍可能不均勻。

進水若集中形成高速水舌，會因為動量集中而直接穿越沉澱池，形成偏快流路。水流進入較大的池體時，若突然擴張或受到障礙物干擾，容易發生流動分離，形成回流區與低速死水區；高速主流則可能繞過這些區域、提早抵達出口。溫度或密度差也會造成分層流，使水流沿特定深度移動。

可採用以下設計來改善流況：

1. 設置進水擋板或穿孔配水牆：將集中進水的動量消散，並把水流均勻分配到池寬及池深方向，降低高速水舌與局部流動分離。
2. 設置出水擋板並均勻配置出水堰：出水擋板可攔截表面流或底部流等偏流；

本題主要測試學生對物質導數 (Material Derivative)、雷諾傳輸定理 (Reynolds Transport Theorem, RTT) 的理解，以及如何將其應用於質量守恆（連續方程式）的推導與簡化。

(a) 物質導數的物理意義：
物質導數 $\frac{DB}{Dt}$ 描述的是一個特定物質（或跟隨特定物質移動的觀察者）所經歷的某物理量 $B$ 的變化率。對於一個跟隨流體質點移動的觀察者而言，其位置 $(x, y, z)$ 隨時間 $t$ 變化。
此處以污染物濃度 $C(x,y,z,t)$ 為例。

• $\frac{\partial C}{\partial t}$ 的意義：
  這個項代表在固定空間點 $(x, y, z)$ 處，污染物濃度隨時間的變化率。這是一個局部變化率 (local rate of change)。例如，如果某個固定地點的污染物濃度正在隨時間增加，那麼 $\frac{\partial C}{\partial t}$ 就會是正值。這包含了由於化學反應、污染物來源或匯入等因素造成的濃度變化。

• $\nabla \cdot (\rho \mathbf{v} C)$ 的意義：
  這個項代表由於流體運動（對流）導致的污染物濃度在空間中的淨通量變化率 (net rate of change due to convection)。
  $\rho \mathbf{v}$ 是質量通量（單位體積的質量流率）。
  $\rho \mathbf{v} C$ 是單位面積上的質量流率乘以濃度，其單位是質量/(面積·時間)，代表了通過單位面積的污染物質量流率。
  $\nabla \cdot (\rho \mathbf{v} C)$ 是散度 (divergence) 操作，表示從一個無限小的控制體積中，通過其表面流出的淨通量。如果某個區域的 $\nabla \cdot (\rho \mathbf{v} C)$ 為正，表示從該區域流出的污染物總量多於流入的總量，即該區域的污染物因對流而減少。反之，若為負，則表示污染物因對流而增加。
  這個項描述了污染物如何被流體帶著「移動」而造成的濃度分佈變化。

• $\frac{DC}{Dt} = 0$ 的條件：
  物質導數 $\frac{DC}{Dt}$ 代表污染物濃度隨時間的總變化率，它包含了局部變化和對流變化。
  $\frac{DC}{Dt} = \frac{\partial C}{\partial t} + \nabla \cdot (\rho \mathbf{v} C)$
  要使 $\frac{DC}{Dt} = 0$，即使 $\frac{\partial C}{\partial t}$ 和 $\nabla \cdot (\rho \mathbf{v} C)$ 都非零，有兩種主要情況：

  1. 穩態流動且濃度分佈恆定： 如果系統處於穩態，那麼 $\frac{\partial C}{\partial t} = 0$。此時，要使 $\frac{DC}{Dt} = 0$，必須有 $\nabla \cdot (\rho \mathbf{v} C) = 0$。這意味著污染物在空間中沒有淨對流量變化，即污染物濃度分佈是穩定的，並且濃度場與速度場是相容的。
  2. 對流效應與局部變化相互抵銷： 即使 $\frac{\partial C}{\partial t} \neq 0$ 且 $\nabla \cdot (\rho \mathbf{v} C) \neq 0$，如果兩者大小相等但方向相反，則總和為零。例如，在某一點，污染物濃度隨時間正在快速增加（$\frac{\partial C}{\partial t} > 0$），但同時有更大量的污染物通過對流從該點流出（$\nabla \cdot (\rho \mathbf{v} C) < 0$），且其負值恰好抵銷了 $\frac{\partial C}{\partial t}$ 的正值，使得 $\frac{DC}{Dt} = 0$。這表示雖然該點的濃度正在變化，但從一個跟隨該點流體質點的角度來看，其相對濃度變化為零。這通常發生在污染物被稀釋或擴散的過程中，或者當污染物被帶入一個濃度較低的區域時。
     更常見的物理意義是，當 $\frac{DC}{Dt} = 0$ 時，表示污染物濃度沿著流體質點的運動軌跡是不變的，即濃度場是「凍結」在流動中的，或者說，污染物濃度沒有沿著流動方向發生淨變化（相對於跟隨流體移動的觀察者）。

(b) 從 RTT 推導連續方程式：
雷諾傳輸定理 (RTT) 的一般形式為：
$\frac{dB_{sys}}{dt} = \frac{\partial}{\partial t} \int_{CV} \rho b \, dV + \int_{CS} \rho b \, (\mathbf{v} \cdot \mathbf{n}) \, dA$
其中 $B$ 是系統的總性質，$b = B/m$ 是其強度性質，$m$ 是質量。

我們要證明的是質量守恆定律，即連續方程式。
對於質量守恆，我們選擇的廣延性質是總質量 $B = m_{sys}$。
則其強度性質為 $b = \frac{m_{sys}}{m_{sys}} = 1$。
此外，質量守恆定律指出，系統的總質量不隨時間改變，即 $\frac{dB_{sys}}{dt} = \frac{dm_{sys}}{dt} = 0$。

將 $b=1$ 和 $\frac{dm_{sys}}{dt} = 0$ 代入 RTT：
$0 = \frac{\partial}{\partial t} \int_{CV} \rho (1) \, dV + \int_{CS} \rho (1) \, (\mathbf{v} \cdot \mathbf{n}) \, dA$
$0 = \frac{\partial}{\partial t} \int_{CV} \rho \, dV + \int_{CS} \rho \, (\mathbf{v} \cdot \mathbf{n}) \, dA$
這就是連續方程式的積分形式。
其中：

• $\frac{\partial}{\partial t} \int_{CV} \rho \, dV$ 代表控制體積 $CV$ 內總質量的時間變化率。

本題主要測試學生對邊界層理論的基礎概念，包括無滑動條件、邊界層的形成原因、層流邊界層的剪應力計算，以及柏努利方程式的適用性。

(a) 無滑動條件 (No-slip Condition) 及其物理起源與邊界層形成：
無滑動條件的陳述：
無滑動條件是指在固體表面的流體，其速度與該固體表面速度相同。對於靜止的固體表面，這意味著緊貼表面的流體速度為零。

物理起源（分子層面）：
在分子層面，流體與固體表面之間的相互作用是導致無滑動條件的原因。

1. 分子吸引力 (Adhesion)： 固體表面的分子會對緊鄰的流體分子產生吸引力（范德華力等）。
2. 動量傳遞： 當流體流過固體表面時，表面上的分子會與流體中的分子發生碰撞。如果流體分子與固體表面之間的分子吸引力足夠強，流體分子會將部分動量傳遞給固體表面（或從固體表面接收動量）。
3. 粘滯性 (Viscosity)： 流體自身的粘滯性也起作用。流體內部相鄰流層之間的動量交換（通過分子碰撞或渦流）會傳遞動量。靠近表面的流體層與表面相互作用後速度降低，進而通過粘滯性影響其上方緊鄰的流體層，依此類推，形成一個速度梯度。
   對於大多數情況，特別是對於宏觀尺度的流動，這些分子間的相互作用和動量傳遞效應非常顯著，使得緊貼固體表面的流體層的速度幾乎完全被「固定」在表面的速度上。

無滑動條件與自由流速度 $U_\infty$ 如何導致邊界層的產生：

1. 邊界條件衝突： 在固體表面，流體速度必須為零（無滑動條件）。然而，在遠離表面（自由流區域）的地方，流體速度為 $U_\infty$。
2. 動量傳遞區域： 由於粘滯力的存在，固體表面零速度的影響會逐漸向上方的流體傳遞。這種動量傳遞（或說動量耗散）並非瞬間完成，而是需要一個有限的距離來發展。
3. 速度梯度形成： 在靠近表面的區域，速度從零（在表面）逐漸增加到自由流速度 $U_\infty$。這個速度從零到 $U_\infty$ 的變化區域，就是邊界層 (Boundary Layer)。在邊界層內，速度沿垂直於表面的方向（通常是 $y$ 方向）存在顯著的梯度 ($\frac{\partial u}{\partial y} \neq 0$)，這意味著存在剪應力。
4. 無粘性外區 (Inviscid Outer Region)： 在邊界層之外，即距離表面足夠遠的地方，粘滯力的影響可以忽略不計。流體可以被視為無粘性的，速度接近自由流速度 $U_\infty$。

因此，無滑動條件（在表面速度為零）和自由流速度 $U_\infty$ 的存在，以及流體的粘滯性，共同作用，在固體表面附近形成了一個速度梯度區域，即邊界層。在這個區域內，粘滯效應顯著；在這個區域外，粘滯效應可以忽略，流動近似為無粘性流動。

(b) 計算壁面剪應力 $\tau_w$：
給定的速度剖面為：
$\frac{u}{U_\infty} = \frac{3}{2} \left( \frac{y}{\delta} \right) - \frac{1}{2} \left( \frac{y}{\delta} \right)^3$
即：
$u(y) = U_\infty \left[ \frac{3}{2} \left( \frac{y}{\delta} \right) - \frac{1}{2} \left( \frac{y}{\delta} \right)^3 \right]$
剪應力 $\tau$ 的定義為 $\tau = \mu \frac{\partial u}{\partial y}$。我們首先需要計算速度梯度 $\frac{\partial u}{\partial y}$。
$\frac{\partial u}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y} \left( U_\infty \left[ \frac{3}{2} \frac{y}{\delta} - \frac{1}{2} \frac{y^3}{\delta^3} \right] \right)$
$\frac{\partial u}{\partial y} = U_\infty \left[ \frac{3}{2\delta} - \frac{1}{2} \frac{3y^2}{\delta^3} \right]$

本題主要測試學生對沉體在流體中運動的分析能力，包括終端速度的推導、相關假設的識別，以及在管道內和多粒子系統中的變化討論。

(a) 示意圖與符號定義：

示意圖：
想像一個球體正在垂直向下沉入靜止的流體中。

[Diagram Description]:
A sphere of radius $r$ and mass $m_s$ is submerged in a fluid of density $\rho_f$ and viscosity $\mu$. The sphere is falling with a downward velocity $V$.
Forces acting on the sphere:

1. Weight ($W$): Acting downwards.
2. Buoyancy Force ($F_B$): Acting upwards.
3. Drag Force ($F_D$): Acting upwards, opposing the motion.

      ^ y (upwards)
      |
      |     Fluid (density rho_f, viscosity mu)
      |     ----------------------------------
      |        _______
      |       /       \
      |      |   O     |  <-- Sphere (radius r, mass m_s, velocity V downwards)
      |       \_______/
      |          |  ^ F_D (Drag Force, upwards)
      |          |  ^ F_B (Buoyancy Force, upwards)
      |          V  W (Weight, downwards)
      |
      ----------------------------------

符號定義：

• $V$: 球體終端速度 (Terminal Velocity) (m/s) - 向下。
• $r$: 球體半徑 (radius) (m)。
• $m_s$: 球體質量 (mass of sphere) (kg)。
• $\rho_s$: 球體密度 (density of sphere) (kg/m³)。
• $\rho_f$: 流體密度 (density of fluid) (kg/m³)。
• $\mu$: 流體動力黏度 (dynamic viscosity of fluid) (Pa·s 或 kg/(m·s))。
• $g$: 重力加速度 (acceleration due to gravity) (m/s²)。
• $W$: 球體重量 (Weight) = $m_s g$ (N) - 向下。
• $F_B$: 浮力 (Buoyancy Force) = $\rho_f V_{sphere} g$ (N) - 向上。
• $F_D$: 阻力 (Drag Force) (N) - 向上。
• $V_{sphere}$: 球體體積 (volume of sphere) = $\frac{4}{3}\pi r^3$ (m³)。

(b) 終端速度的推導：
當球體從靜止開始下沉時，它受到重力（向下）、浮力（向上）和流體阻力（向上）的作用。隨著速度 $V$ 的增加，阻力 $F_D$ 也會增加。當向上的總合力（浮力加阻力）等於向下的重力時，淨力為零，球體將以恆定的速度運動，這個速度就是終端速度 $V_T$。

假設球體速度為 $V$ 時，作用在其上的力為：

• 重力 (Weight): $W = m_s g$
  由於 $m_s = \rho_s V_{sphere} = \rho_s \left( \frac{4}{3}\pi r^3 \right)$，所以
  $W = \rho_s \frac{4}{3}\pi r^3 g$
• 浮力 (Buoyancy Force): $F_B = \rho_f V_{sphere} g$
  $F_B = \rho_f \frac{4}{3}\pi r^3 g$
• 阻力 (Drag Force): $F_D$。對於低雷諾數 (Stokes flow, $Re < 1$)，阻力遵循史托克斯定律：
  $F_D = 6 \pi \mu r V$
  （注意：題目沒有明確說明是哪種流動 regime，但推導終端速度通常會從 Stokes flow 開始，或者提供一個通用的阻力係數表達式。這裡假設是 Stokes flow。）

當球體達到終端速度 $V_T$ 時，合力為零：
$\sum F_y = 0$
$W - F_B - F_D = 0$
$\rho_s \frac{4}{3}\pi r^3 g - \rho_f \frac{4}{3}\pi r^3 g - 6 \pi \mu r V_T = 0$
將項移位：
$6 \pi \mu r V_T = (\rho_s - \rho_f) \frac{4}{3}\pi r^3 g$
解出 $V_T$:
$V_T = \frac{(\rho_s - \rho_f) \frac{4}{3}\pi r^3 g}{6 \pi \mu r}$
$V_T = \frac{(\rho_s - \rho_f) 4 \pi r^3 g}{18 \pi \mu r}$
$V_T = \frac{2 (\rho_s - \rho_f) r^2 g}{9 \mu}$

這就是球體在流體中（假設為 Stokes flow）的終端速度表達式。

(c) 推導中的假設：

1. 穩態流動 (Steady Flow)： 球體達到終端速度後，其速度不再隨時間變化。
2. 流體為牛頓流體 (Newtonian Fluid)： 阻力公式 $F_D = 6 \pi \mu r V$ 是基於牛頓流體的假設。
3. 低雷諾數流動 (Stokes Flow, $Re < 1$)： 應用了史托克斯定律 $F_D = 6 \pi \mu r V$。這意味著流速相對較慢，球體尺寸相對較小，流體黏度相對較大，使得慣性力遠小於粘滯力。
4. 無限大的流體介質 (Infinite Fluid Medium)： 假設球體周圍的流體是無限延伸的，沒有其他物體（如管道壁）的影響，因此阻力公式是獨立的。
5. 球體是剛性的，表面光滑且不可變形 (Rigid, Smooth, and Undeformable Sphere)。
6. 重力是唯一驅動力 (Gravity as the Sole Driving Force)。
7. 流體靜止 (Quiescent Fluid)： 假設流體本身沒有整體運動。

(d) 在垂直管道中下沉的變化：
當球體在一個半徑為 $R$ 的垂直管道中下沉時，情況會發生變化。

1. 限制效應 (Confinement Effect)： 管道壁的存在限制了球體周圍流體的流動。球體周圍的流體需要繞過球體流動，而管道壁的存在使得這種繞流變得更加困難。
2. 阻力增加： 由於流體流動受限，流體繞過球體的路徑被縮短，且壓力梯度可能會改變，導致總體阻力 $F_D$ 相較於在無限大流體中的情況會增加。
3. 終端速度降低： 由於阻力增加，為了使向上的總合力（浮力 + 阻力）等於向下的重力，球體必須以較低的終端速度 $V_T'$ 下沉。

具體表達式（非必須推導，但需討論）：
對於這種情況，史托克斯定律需要修正。例如，對於球體在圓柱形管道中的流動，Faxen's correction 或 Ladenburg's correction 等被用來修正阻力。Ladenburg 的修正公式給出了當球體半徑 $r$ 與管道半徑 $R$ 的比值 $r/R$ 較小時，修正後的阻力為：
$F_D' = F_D \left( 1 + \frac{2.4 r}{R} \right) \quad \text{or} \quad F_D' = F_D \left( 1 + \frac{9}{16} \frac{r}{R} \right) \quad \text{(不同來源有不同形式)}$
更精確的修正形式（例如，當 $r/R$ 接近 1 時）會更複雜。